數(shù)學(xué)建模答辯---制動(dòng)器試驗(yàn)臺的控制方法分析

1、制動(dòng)器試驗(yàn)臺的控制方法分析制動(dòng)器試驗(yàn)臺的控制方法分析 河南科技大學(xué)河南科技大學(xué) 2009年9月 2009年數(shù)學(xué)建模年數(shù)學(xué)建模A題題 一、問題分析一、問題分析 1.1.電慣量補(bǔ)償機(jī)械慣量的方法電慣量補(bǔ)償機(jī)械慣量的方法 控制器在控制系統(tǒng)制動(dòng)的過程中，制動(dòng)器的扭轉(zhuǎn)力矩控制器在控制系統(tǒng)制動(dòng)的過程中，制動(dòng)器的扭轉(zhuǎn)力矩 ，電動(dòng)，電動(dòng) 機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩 ，它們滿足的動(dòng)力學(xué)方程：，它們滿足的動(dòng)力學(xué)方程： 通過電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)姆椒梢詫?shí)現(xiàn)汽車慣量的電慣量的等效模通過電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償?shù)姆椒梢詫?shí)現(xiàn)汽車慣量的電慣量的等效模 擬。電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流控制下參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不擬。電動(dòng)機(jī)在一定規(guī)律的電流

2、控制下參與工作，補(bǔ)償由于機(jī)械慣量不 足而缺少的能量。足而缺少的能量。 M M m d MMJ dt 2.2.控制方法與評價(jià)控制方法與評價(jià) 由于制動(dòng)器性能的復(fù)雜性，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與時(shí)間之間的精確關(guān)由于制動(dòng)器性能的復(fù)雜性，電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流與時(shí)間之間的精確關(guān) 系很難得到。系很難得到。 工程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是：把整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為工程實(shí)際中常用的計(jì)算機(jī)控制方法是：把整個(gè)制動(dòng)時(shí)間離散化為 許多小的時(shí)間段，然后根據(jù)前面時(shí)間段觀測到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與許多小的時(shí)間段，然后根據(jù)前面時(shí)間段觀測到的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速與/ /或瞬時(shí)或瞬時(shí) 扭矩，設(shè)計(jì)出本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電流的值，這個(gè)過程逐次進(jìn)行，直至完成制扭矩，設(shè)計(jì)出本時(shí)段驅(qū)動(dòng)電

3、流的值，這個(gè)過程逐次進(jìn)行，直至完成制 動(dòng)。動(dòng)。 評價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小。評價(jià)控制方法優(yōu)劣的一個(gè)重要數(shù)量指標(biāo)是能量誤差的大小。 二、模型的基本假設(shè)二、模型的基本假設(shè) 根據(jù)對模型的分析提出以下假設(shè)：根據(jù)對模型的分析提出以下假設(shè)： 1.1.飛輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中除受制動(dòng)器和驅(qū)動(dòng)電機(jī)產(chǎn)生的扭矩外，不考慮其飛輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中除受制動(dòng)器和驅(qū)動(dòng)電機(jī)產(chǎn)生的扭矩外，不考慮其 他任何外力對其產(chǎn)生的扭矩。他任何外力對其產(chǎn)生的扭矩。 2.2.電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比。電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比。 3.3.不考慮觀測誤差、隨機(jī)誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。不考慮觀測誤差、隨

4、機(jī)誤差和連續(xù)問題離散化所產(chǎn)生的誤差。 4.4.忽略車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量。忽略車輪自身轉(zhuǎn)動(dòng)具有的能量。 5.5.認(rèn)為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致。認(rèn)為主軸的角速度與車輪的角速度始終一致。 三、模型的建立三、模型的建立 圖1 試驗(yàn)臺上電慣量式制動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖 1.1.模型的分析模型的分析 根據(jù)機(jī)械動(dòng)力學(xué)原理，機(jī)械慣根據(jù)機(jī)械動(dòng)力學(xué)原理，機(jī)械慣 性式制動(dòng)器滿足：性式制動(dòng)器滿足： ( )0 d JM t dt 制動(dòng)力矩恒定：制動(dòng)力矩恒定： dM dtJ 制動(dòng)力矩變化：制動(dòng)力矩變化： ( )dM t dtJ 根據(jù)以上分析，我們分別建立了基于恒定力矩和非恒定力矩根據(jù)以上分析，我們分別建立了基于

5、恒定力矩和非恒定力矩 的兩種數(shù)學(xué)模型。的兩種數(shù)學(xué)模型。 2. 2.模型一：基于恒定力矩的數(shù)學(xué)模型模型一：基于恒定力矩的數(shù)學(xué)模型 制動(dòng)器施加的扭矩制動(dòng)器施加的扭矩 ，電動(dòng)機(jī)施，電動(dòng)機(jī)施 加的扭矩加的扭矩 。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，實(shí)現(xiàn)電慣量對機(jī)械慣量的模擬。可得：時(shí)，實(shí)現(xiàn)電慣量對機(jī)械慣量的模擬。可得： 電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流為：電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流為： M M 圖2 飛輪組系統(tǒng)的在恒力矩下隨時(shí)間變化示意圖 系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定轉(zhuǎn)速系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定轉(zhuǎn)速 后，制動(dòng)器后，制動(dòng)器 開始制動(dòng)。開始制動(dòng)。 0 0M 0 1 J t M 0 2 m J t MM 12 tt (1) m J MM J (1) m J IKM J 曲線曲線1中，中，

6、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩 ，得，得 由曲線由曲線2，得，得 電流控制方法電流控制方法 依據(jù)以上模型，設(shè)計(jì)電流控制方法。這種方法根據(jù)前一時(shí)間段依據(jù)以上模型，設(shè)計(jì)電流控制方法。這種方法根據(jù)前一時(shí)間段 的瞬時(shí)扭矩與理論扭矩的相對大小，決定電機(jī)電流的增減值的瞬時(shí)扭矩與理論扭矩的相對大小，決定電機(jī)電流的增減值, ,然后逐然后逐 段向后遞推。段向后遞推。 首先根據(jù)試驗(yàn)需要模擬的初轉(zhuǎn)速、末轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算出首先根據(jù)試驗(yàn)需要模擬的初轉(zhuǎn)速、末轉(zhuǎn)速以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算出 扭矩的理論值扭矩的理論值 。根據(jù)。根據(jù) ，可以計(jì)算出前一段時(shí)間導(dǎo)，可以計(jì)算出前一段時(shí)間導(dǎo) 致扭矩不等于理論值的電流值為：致扭矩不等于理論值的電流值為

7、： 應(yīng)使下一段的電流在前一段的基礎(chǔ)上變化應(yīng)使下一段的電流在前一段的基礎(chǔ)上變化 。 假如假如 ，則，則 ； 假如假如 ，則，則 ； 假如假如 ，則，則 。 0 M io MM (1) m J IKM J io MM io MM 0 ()(1) m i J IK MM J 1 2 ii III 1 2 ii III 1ii II 2 I 3.3.模型二：基于非恒定力矩的數(shù)學(xué)模型模型二：基于非恒定力矩的數(shù)學(xué)模型 假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段。假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段。 第第k-2處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為處瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為 ，第，第k-1處處 瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為瞬時(shí)轉(zhuǎn)速為 ，則有：，則有： 則則A過程的

8、制動(dòng)力矩：過程的制動(dòng)力矩： 將將 應(yīng)用于應(yīng)用于B過程，設(shè)第過程，設(shè)第k處轉(zhuǎn)速處轉(zhuǎn)速 為為 ,則其滿足：則其滿足： 與上式聯(lián)立得與上式聯(lián)立得 圖3 求解驅(qū)動(dòng)電流時(shí)的分段示意圖 12 m MMJ t 12 m MMJ t 23 MJ t 32212 () m JMt tM JJJ 1 2 M 3 從而我們知道了下段時(shí)間末處即第處要盡量達(dá)到的瞬時(shí)速從而我們知道了下段時(shí)間末處即第處要盡量達(dá)到的瞬時(shí)速 。 3 第第k-1k-1處飛輪組的動(dòng)能為：處飛輪組的動(dòng)能為： 第第k k處飛輪組的動(dòng)能為：處飛輪組的動(dòng)能為： 由能量轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：由能量轉(zhuǎn)換關(guān)系可得： 從而得到第處的扭矩：從而得到第處的扭矩： 由它得第三

9、段的電流由它得第三段的電流I I。按上述方法向下工作，從而循環(huán)運(yùn)行。按上述方法向下工作，從而循環(huán)運(yùn)行。 該模型是電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，其本身該模型是電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)電流依賴于可觀測量的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，其本身 也是根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段的觀測值，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制也是根據(jù)前一個(gè)時(shí)間段的觀測值，設(shè)計(jì)本時(shí)間段電流值的計(jì)算機(jī)控制 方法。方法。 2 12 1 2 m QJ 2 23 1 2 m QJ 123 ()()QQMM dMMt 22 23 3 1 2 m MMJ t 求 四、模型的求解四、模型的求解 1.1.問題一的分析與求解問題一的分析與求解 車輛的平動(dòng)動(dòng)能：車輛的平動(dòng)

10、動(dòng)能： 等效的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：等效的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能： 令令 則有：則有： 代入數(shù)據(jù)得等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為代入數(shù)據(jù)得等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為52 222 11 22 Emvmr 2 1 2 EJ E E 2222 22 mvGrGr J gg 2 kg m 2.2.問題二的分析與求解問題二的分析與求解 飛輪模型如圖飛輪模型如圖4所示。所示。 圖4 飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量模型 22 111222 11 22 Jm RJm R、 2 11 mR d 2 22 mR d 44 1212 1 () 2 JJJd RR 由于由于 又知又知 可得可得 由上式計(jì)算得三個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為由上式計(jì)算得三個(gè)飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 2 30 60

11、 120 kg m、 、 （） 結(jié)合基礎(chǔ)慣量，經(jīng)組合可得結(jié)合基礎(chǔ)慣量，經(jīng)組合可得8種機(jī)械慣量，分別為種機(jī)械慣量，分別為 2 10 40 70 100 130 160 190 220()kg m、 、 、 、 、 、 、 可對可對 兩種機(jī)械慣量進(jìn)行補(bǔ)償，需要電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償兩種機(jī)械慣量進(jìn)行補(bǔ)償，需要電動(dòng)機(jī)補(bǔ)償 的慣量分別為的慣量分別為 2 1218 kg m、 （） 2 40 70()kg m、 由模型一可知：由模型一可知： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，得：時(shí)，得： 負(fù)號表示電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩與制動(dòng)器產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩方向相反。負(fù)號表示電動(dòng)機(jī)的扭轉(zhuǎn)力矩與制動(dòng)器產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)力矩方向相反。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，得：時(shí)，得： 假設(shè)制動(dòng)減速度為

12、常數(shù)的前提下，模型一、二等效，說明如下：假設(shè)制動(dòng)減速度為常數(shù)的前提下，模型一、二等效，說明如下： 由模型二的以下兩式由模型二的以下兩式 在假設(shè)條件下在假設(shè)條件下 可得可得 這與模型一的表達(dá)形式一樣，運(yùn)用模型二進(jìn)行求解的結(jié)果與模型一的這與模型一的表達(dá)形式一樣，運(yùn)用模型二進(jìn)行求解的結(jié)果與模型一的 結(jié)果相同。結(jié)果相同。 3.3.問題三的分析與求解問題三的分析與求解 (1) m J IKM J 2 40 m Jkg m 174.8252IA 2 70 m Jkg m262.234 IA 12 m MMJ t 23 MJ t 1223 (1) m J MM J 4.4.問題四的分析與求解問題四的分析與求

13、解 22224 21 1151422572 ()48 ()() 5.2150 10 226060 EJJ 理 11 4 11 4.9292 10 NN iii ii EEMtJ 5.21504.9292 100%100%5.48% 5.2150 EE E E 理 理 系統(tǒng)從制動(dòng)開始到制動(dòng)結(jié)束，能量的變化量的理論值為系統(tǒng)從制動(dòng)開始到制動(dòng)結(jié)束，能量的變化量的理論值為 能量的變化量的實(shí)際值為能量的變化量的實(shí)際值為 則得到能量的相對誤差為：則得到能量的相對誤差為： 從能量誤差這個(gè)主要指標(biāo)來看，這種控制方法是可行的，從能量誤差這個(gè)主要指標(biāo)來看，這種控制方法是可行的， 但不是很好。但不是很好。 5.1模型

14、一中的控制方法與評價(jià)模型一中的控制方法與評價(jià) 5.5.問題五的分析與求解問題五的分析與求解 采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。 由于隨機(jī)量的存在，每一次的程序運(yùn)行由于隨機(jī)量的存在，每一次的程序運(yùn)行 結(jié)果都會略有不同。經(jīng)多次運(yùn)行程序發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都會略有不同。經(jīng)多次運(yùn)行程序發(fā)現(xiàn)， 得到的能量誤差在得到的能量誤差在1.5%1.5%到到5%5%之間變動(dòng)。再從之間變動(dòng)。再從 轉(zhuǎn)速變化與勻減速的接近程度上看，該控制轉(zhuǎn)速變化與勻減速的接近程度上看，該控制 方法是可行的。方法是可行的。 圖6 模型一中轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線 圖5 模型一控制與模擬流程圖 5.2模型二中的控制方法與評價(jià)模型二

15、中的控制方法與評價(jià) 圖8 模型二轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線 模擬過程中選擇的隨機(jī)變模擬過程中選擇的隨機(jī)變 量比例與模型一中相同。得到量比例與模型一中相同。得到 的能量誤差在的能量誤差在2%2%到到7%7%之間變動(dòng)，之間變動(dòng)， 該控制方法是可行的。該控制方法是可行的。 采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。采用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方法。 圖7 模型二控制與模擬流程圖 6.16.1模型一的改進(jìn)與評價(jià)模型一的改進(jìn)與評價(jià) 6.6.問題六的分析與求解問題六的分析與求解 圖9 模型一改進(jìn)后轉(zhuǎn)速、扭矩隨時(shí)間的變化曲線 采用使電流值在最初階段迅速上升的方法采用使電流值在最初階段迅速上升的方法, ,盡量減小扭矩逐漸增加盡量減小

16、扭矩逐漸增加 的初始階段對轉(zhuǎn)速變化的平滑性的影響。的初始階段對轉(zhuǎn)速變化的平滑性的影響。 結(jié)果如圖結(jié)果如圖7 7，電流值上升階段的時(shí)間明顯地縮短整個(gè)轉(zhuǎn)速變化曲線，電流值上升階段的時(shí)間明顯地縮短整個(gè)轉(zhuǎn)速變化曲線 更加平滑。更加平滑。 6.26.2模型二的改進(jìn)與評價(jià)模型二的改進(jìn)與評價(jià) 該模型中初值的選擇對控制結(jié)果有一定程度影響該模型中初值的選擇對控制結(jié)果有一定程度影響, ,為減小能量為減小能量 誤差可采用如下方法。誤差可采用如下方法。 0 M 先隨意給定初值先隨意給定初值 后反向計(jì)算后反向計(jì)算 ，逐段向前推導(dǎo)，可推出一，逐段向前推導(dǎo)，可推出一 個(gè)初值，以該值作為初值可使電動(dòng)機(jī)力矩快速趨于正常。個(gè)初值

17、，以該值作為初值可使電動(dòng)機(jī)力矩快速趨于正常。 M 圖10 誤差與初值的關(guān)系圖 從圖從圖8中可以看出，誤差的變化范圍隨初值增大而減小，初中可以看出，誤差的變化范圍隨初值增大而減小，初 值（在一定范圍內(nèi)）較大時(shí)，誤差波動(dòng)范圍較小，控制比較穩(wěn)定。值（在一定范圍內(nèi)）較大時(shí)，誤差波動(dòng)范圍較小，控制比較穩(wěn)定。 五、模型的評價(jià)五、模型的評價(jià) 1.1.對模型一的評價(jià)對模型一的評價(jià) 優(yōu)點(diǎn)：從物理學(xué)角度出發(fā)建立的合適的數(shù)學(xué)模型優(yōu)點(diǎn)：從物理學(xué)角度出發(fā)建立的合適的數(shù)學(xué)模型 ，符合一般的符合一般的 實(shí)驗(yàn)情況。實(shí)驗(yàn)情況。 缺點(diǎn)：僅適用于恒力矩制動(dòng)的情況。缺點(diǎn)：僅適用于恒力矩制動(dòng)的情況。 2.2.對模型二的評價(jià)對模型二的評

18、價(jià) 優(yōu)點(diǎn)：基于變力矩補(bǔ)償慣量的數(shù)學(xué)模型優(yōu)點(diǎn)：基于變力矩補(bǔ)償慣量的數(shù)學(xué)模型 ，與模型一互補(bǔ)。與模型一互補(bǔ)。 缺點(diǎn)：假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段，該假設(shè)是提缺點(diǎn)：假定制動(dòng)器的阻力距是前一段適用于下一段，該假設(shè)是提 高模型的精度和模型的推廣方面的高模型的精度和模型的推廣方面的“瓶頸瓶頸”。 六、模型的進(jìn)一步改進(jìn)六、模型的進(jìn)一步改進(jìn) 1.1.基于能量基于能量補(bǔ)償補(bǔ)償?shù)目刂品椒ǖ目刂品椒?提出一種慣量模擬的能量補(bǔ)償法，通過控制電動(dòng)機(jī)輸出功來補(bǔ)償提出一種慣量模擬的能量補(bǔ)償法，通過控制電動(dòng)機(jī)輸出功來補(bǔ)償 待模擬的慣量。待模擬的慣量。 2.2.模糊整定模糊整定PIDPID控制算法計(jì)算機(jī)控制方案控制算法計(jì)算機(jī)