初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)最值問題解法探析

1、初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)最值問題解法探析初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)最值問題解法探析一、問題原型：（人教版八年級上冊第42頁探究）如圖1-1，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個“確定最短路線”問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、基本解法：對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點(diǎn)位置，計算線路最短長度。三、一般結(jié)論：(在線段上時取等號)（如圖1-2） 線段和最小，常見有三種類型：（一）“|定動|+|定動|”型：兩定點(diǎn)到一動點(diǎn)的距離和最小通過軸對稱，將動點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩個定點(diǎn)中的其中一個，映射到直

2、線的另一側(cè)，當(dāng)動點(diǎn)在這個定點(diǎn)的對稱點(diǎn)及另一定點(diǎn)的線段上時，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點(diǎn)線段的長。1.兩個定點(diǎn)+一個動點(diǎn)。如圖1-3，作一定點(diǎn)關(guān)于動點(diǎn)所在直線的對稱點(diǎn)，線段（是另一定點(diǎn)）與的交點(diǎn)即為距離和最小時動點(diǎn)位置，最小距離和。例1（2006年河南省中考題）如圖2，正方形的邊長為，是的中點(diǎn)，是對角線上一動點(diǎn)，則的最小值是。解析：與關(guān)于直線對稱，連結(jié)，則。連結(jié),在中，則故的最小值為例2（2009年濟(jì)南市中考題）如圖3，已知：拋物線的對稱軸為，與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，。（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）已知在對稱軸上存在一點(diǎn)，使得的周長最小，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)

3、。解析：（1）對稱軸為，由對稱性可知：。根據(jù)、三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，可求得拋物線為：（2）與關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，與對稱軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。設(shè)直線解析式為：。把、代入得，。當(dāng)時，則2.兩個定點(diǎn)+兩個動點(diǎn)。兩動點(diǎn)，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點(diǎn)間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點(diǎn)變成一個動點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)”類型來解。例3如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個村莊，為了村民出行方便，計劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動點(diǎn)為、，那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到，線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。四邊形為平行四

4、邊形，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。例4(2010年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點(diǎn)。（1）若為邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，為邊上的兩個動點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長最小時，求點(diǎn)，的坐標(biāo)。解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，。（1）連接交軸于點(diǎn)，連接，此時的周長最小。由可知 ，那么，則。（2）將向左平移2個單位（）到點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動點(diǎn)的距離和，即。從而把“兩個定點(diǎn)和兩個動點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點(diǎn)和一個動點(diǎn)”類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時值最小，則四邊形的周

5、長最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時，即，則。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）（二）“|動定|+|動動|”型：兩動點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動，一動點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動點(diǎn)的距離和最小。利用軸對稱變換，使一動點(diǎn)在另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。例5（2009年陜西省中考）如圖6，在銳角中，的平分線交于點(diǎn)，、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，當(dāng)時，最小。作于，交于，作交于，例6

6、如圖7，四邊形是等腰梯形，、在軸上，在軸上，拋物線過、兩點(diǎn)。（1）求、；（2）設(shè)是軸上方拋物線上的一動點(diǎn)，它到軸與軸的距離之和為，求的最大值；（3）當(dāng)（2）中點(diǎn)運(yùn)動到使取最大值時，此時記點(diǎn)為，設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)，求到點(diǎn)與到軸的距離之和的最小值，并求此時點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由，可得：、；根據(jù)、的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為（2）設(shè)，且，則，用零點(diǎn)分段法可求得，。當(dāng)時，。此時，則。（3）軸與直線關(guān)于對稱，作軸于，動點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在直線上，當(dāng)垂直于直線時，的值最小。，根據(jù)和可求直線的解析式，則有。由可知，。作，過點(diǎn)作軸的平行線，交于，那么。作于，則，當(dāng)是于的交點(diǎn)時，與重合，有最小值5。函數(shù)，此時，則，即。3.“|定動|+|動動|+|動定|”型：兩定點(diǎn)到兩動點(diǎn)的距離、以及兩動之間距離和最小。例7（2009年漳州中考）如圖8， ，是內(nèi)一點(diǎn)，、分別是和上的動點(diǎn)，求周長的最小值。解析：分別作關(guān)于、的對稱點(diǎn)、，連接，則，當(dāng)、在線段上時， 周長最小， ， 。 則周長的最小值為例8（2009年恩施中考）恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷（）和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山（）位于兩高速公路同側(cè)，到直線的距離為，到直線和的距離分別為和。請你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、