中值定理及導數(shù)應用

1、第四章中值定理及導數(shù)應用在這一章，我們應用上一章所學的導數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些形態(tài)，并利用這些知識來解決一些實際問題，為此，我們先要學習微分學的幾個中值定理，它們是導數(shù)應用的理論基礎(chǔ)。4.1中值定理我們先講羅爾(Roll)定理，然后根據(jù)它推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理。3.1.1 羅爾定理首先，我們觀察圖3-1-1。設曲線弧AB是函數(shù)圖 4-1-1y二f (x) (x a,b)的圖形。這是一條連續(xù)的曲線弧，除端 點外處處有不垂直于 x軸的切線，且兩個端點的縱坐標相等， 即f (a)二f (b)?？梢园l(fā)現(xiàn)在曲線弧的最高點或最低點 C處,曲線有水平的切線。如果記C點的橫坐標

2、為,那么就有)=0?，F(xiàn)在用分析語言把這個幾何現(xiàn)象描述出來，就可得下面的羅爾定理。為了應用方便，先介紹費馬引理。費馬引理設函數(shù)f (x)在點x0的某鄰域U (x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導，如果對任意的x U (x0),有f(X)一 f(X。)(或 f(X)一 f 化)那么 f (xj = 0。證 不妨設 x U (x0)時，f (x)乞f (x0)(如果f (x) _ f (x0)，可以類似地證明)。于是，對于x-x U (x0)，有f (xX)一 f (x)從而當 x 0時，f(X。. ：x) - f(X。)Ax-f (XoX) - f (Xo)0x-因f (x)存在，故極限lim-0f(

3、x0：x) - f (Xo)存在，且其左、右極限均都等于Xf (X0)。從而f (x) = f (X0)二f(X0X)- f(X0)Xf (Xo ：X) f (Xo)f (xo) = fj(xo) = lim0店 to -Ax所以, f (Xo) 0。證畢。通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點(或穩(wěn)定點，臨界點)。羅爾定理若函數(shù)f (X)滿足： 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2) 在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導；(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)二f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(:：: b)，使得=o。證 由于f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理,f (x)

4、在閉區(qū)間a,b上必能取得最大值 M和最小值m,此時，又有二種情況：(1) M -m，即f (x)在閉區(qū)間a,b上取得最大值和最小值相等，從而知，此時f (x)為常數(shù)：f(x)二M二m，由此，-x(a,b),有f (x) = o,因此，任取- (a,b)內(nèi)，都有f ()。(2) Mm。因為在區(qū)間端點處的函數(shù)值f (a)二f (b)，所以M和m這兩個數(shù)必有一個不等于f (a)或f(b)，不妨設M =f(a)(對m=f(a)同理證明)，這時必然在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)存在一點，使得f ( ) = M。因此，即f(x)在點得最大值，即，-x a,b,有f (x) _ f),從而由費馬引理可知 f ( J

5、 =o。定理證畢。我們再對羅爾定理的三個條件作如下幾點說明：1. 定理中的三個條件缺一不可，否則定理不一定成立，即指定理中的條件是充分的，但非必要。試看下例：(1)端點的值不等(圖3-1-2)1f ( X)= Xa,b“o,1f (x) 7圖3 T -2x非閉區(qū)間連續(xù)(圖3-1-3)f (x)=1x = 0f (x)=10 1，而 呼：。類似地，兩個無窮大的商的極限問題也是有的存在，有的XX不存在，對于這類極限，即使它存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一法則。當XT a(或XT吆)時，兩個函數(shù)f (X)與F(X)都趨向于 零或都趨向于 無窮大，那么，極限lim丄 可能存在，也可能不存在。通

6、常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為 0型或(X :畀 F (X)0Q0 型。O00旳4.1.1 基本類型的未定式一,一 型0 &定理1設(1)當x a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于零；(3) lim 匸兇 存在(或無窮大), x 訐 F (x)則佃他=佃3xTF(x) xTF(X)這就是說，當 lim f (x)存在時，lim f (x)也存在且等于 lim f (x)；當lim f (x)為 JaF(x)7F(x)Tpx)JaF(x)無窮大時，lim f(x)也是無窮大。這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確XT F (x)定未定式的值的方法稱為洛必達法則。證因為求極限lim

7、f(x)與函數(shù)值 f(a)、F(a)無關(guān)，那么我們可設 x a F(x)f (x)f(a)二F(a)=O,這并不會影響極限lim。由這一假設及條件 、(2)知，f(x)與T F (x)F(x)在點a的某個鄰域內(nèi)是連續(xù)的，設x是這鄰域內(nèi)的一點，那么在以x及a為端點的區(qū)間上，f(x)與F(x)全部地滿足柯西中值定理的條件，因此有3=3迪=4(介于x與a之間)F(x) F(x)-F(a) F ()當x a時，. a，而由條件(3)知 lim 匸 = lim丄兇TF(-)Fx)故lim3=lim3。XT F (x) XT F (x)注：1、此定理用來處理 x a時的0型未定式極限問題。 02、如果極限

8、lim匸兇 仍屬于0型，且f (x)、F (x)又滿足定理中的條件，則可 f (x)0以再使用洛必達法則。即limx af (x)F(x)二 limx jaf (x)F (x)二 limx jaf (x)F (x)3、如果lim f (x)不存在，不能斷言XT F (x)lima 也不存在，只能說明該極限不適合x F(x)用洛必達法則來求。例如,極限2 1x sin-1limx = lim x sin 0 存在,x 0 x x 0x而使用洛必達法則例1求極限xe -d(1) limxxe -1 解lim7 x.1sinx二 limx_p 1x5-111、十卄亠豈四麗-cos)不存在。limx_

9、0COSX -1-COSX=limx.02上述定理僅是適合于 xa時的0型不定式；對于 x -0limcos2x )0x= limxo 2x時的0型不定式，0我們也有相應定理。定理2設(1)當x時，函數(shù)f(x) 及F(x)都趨向于零;f (x)及 F (x)當x X時存在，且F (X)式0，X是充分大的正數(shù);limxF (x)或無窮大這一定理的證明略。定理1的注解對它同樣適用，僅需將x a改成x-:即可。例2求極限(1)jiarcta nx limxr11 ln (1)lim xxr arccotx解limJIarcta nx2=limx11 x2丄2x= limx 1x2x2=lim1x：1

10、1 21xx1 ln(1 ) lim x lim xarccotx j：1 -x1一1x2/ 21 x二 lim 2x x1 4lim x1x =1 1x對于x； a (或x ：)時的型不定式，我們有如下相應的定理;Q0定理1的注解對它們?nèi)赃m用，僅需作相應地改動。定理3設當x a時， 函數(shù)f (x)及F(x)都趨向于無窮大;f (x)及F (x)在a點的某去心鄰域內(nèi)存在，且F (x) = 0 ；f (x)存在(或無窮大)，limX 浮 F (x)lim少X a F(x)= lim3。X a F (x)定理4設當X 時,函數(shù)f (x)及F(x)都趨向于無窮大;f (x)及FX)在x X時存在，且

11、F (x) H 0 , X是充分大的正數(shù);f (x)存在(或無窮大)，limx(x)= lim3。x F (x)求極限(1)lim空(n .0)x . xlimnlim x(n為正整數(shù)，& 0)x)二 e *= lim n(lnx)n_1x J :=limx J :n(n -1)(ln x)n 一2=limx:n(n -1)21(ln x)n! =lim 0limxnlimn嚴1X I n(n -1)x 門一2n(n -1)-21x= =limx，ne xn! 1 n!lim0 = 0n j x n/ e此例中的正整數(shù)n改為一般正實數(shù)：時，結(jié)論仍成立。同學們可以自行驗證。這樣,我們獲得了一把函

12、數(shù)趨向于無窮大的快慢標尺 。(ln x) P? x。* ex慢鼻快ex-當 XT + 處時，xaT(ln x)卩4.1.2其它類型的未定式旳上述類型的未定式均可化歸為型或一型的未定式。例5求lim (xt sin x(:_:型)O0解 lim x ： ln xx)0 （0 二型）lnx =lim - x_01(二 型)0x:二 limx=0 一（用洛必達法則）1 .alim+ x=乂 x 00結(jié)論可推廣到一般lim x： (ln x) - = 0x0c ,-均為正實數(shù)）例 4 求 lim x ln x(、 0)(0 ：型)1x sin x =limxj x si n x1 -cosxsin x

13、 x cosxJ0 2 cosx - x sin x020-0（-型）0（用洛必達法則）（再用洛必達法則，已非未定式）（商的極限法則）x般是 幕指函數(shù)的極限，可采用對數(shù)求極限法。例 6 求 lim xx(00型)十oO .(型)QO解設y = xx取對數(shù)ln y -x lnx -1x對上式兩端求極限，最后轉(zhuǎn)化為對函數(shù)y的極限。lim In y 二 limx 0 x 1（洛必達法則）x2二 lim 一 x=0 xj 從而有l(wèi)im y = lim eln yxOx=0 x=0lim ln yx 0 =e(1型)1例 7 求 lim (cosx sin x)x0丄令 y 二(cosx sin x)x

14、ln(cos x sin x)%n X- y n moH XIn(cos x sinx) sin x cosxcosx sin x1（0型）（用洛必達法則，已非不定式）lim In y lim y = lim ex 0 e= eXrOXrOtan xlim 1(：0 型)x x小-.tan xy，則1In y = tanxtanx In x =xIn x 1 tanxlim Inx0 ln x10 .(型)odtan x（用洛必達法則1-lim x 0 - sec x tan2 x.2sin x=limx_. x.sin x=limlim sinXr0x Xlim In ylim y = li

15、m eln y = ex 0e = 1。x )0 0 利用幾個工具極限、求極限四則運算法則，可幫助我們快速地求出許多較為復雜的極 限。1.當 X ； :時，(Inx)心x ex 八：:慢八快2. lim x： (Inx) =0(：均為正實數(shù))xP -例9求極限 lim tan x In xx0 解已知極限lim x In x = 0十lim tanx In x =x0 0lim x In xx )0亠sinxx1cosxlim x 0 cosx=lim (x In x) lim sinxx0xp 亠 x= 011=0 4.3泰勒公式多項式是函數(shù)中最簡單的一種，用多項式近似表達函數(shù)是近似計算中的

16、一個重要內(nèi)容，在 2.6中，我們已見過：ex +x,sinxR=x(x充分小)等近似計算公式，就是多項式表示函數(shù)的一個特殊情形， 當然這種近似表示式還較粗糙 (尤其當x較大時)，從下圖可看出。圖 4-3-6上述近似表達式至少可在下述兩個方面進行改進：1、提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數(shù)。2、 任何一種近似，應告訴它的誤差，否則，使用者“心中不安”。 將上述兩個想法進一步地數(shù)學化：對復雜函數(shù)f (x)，想找多項式 Pn(x) 來近似表示匕。自然地，我們布望Pn(x)盡可能多地反映出函數(shù) f (x)所具有的性態(tài)如：在某點處的值與導數(shù)值；我們還關(guān)心pn(x)的形式如何確定；Pn(X)近似

17、f(X)所產(chǎn)生的誤差 Rn(X)= f(X)_Pn(X)。問題1設f (x)在含Xo的開區(qū)間內(nèi)具有直到n 1階的導數(shù)，能否找出一個關(guān)于(x -x0)的n次多項式Pn(x)二 a。ai(x -Xo) a2(x-冷)2a“(x- x)n(1)且 pnk)(Xof(k)(Xo)(O,1 , n)近似f (x) ?問題2若問題1的解存在，其誤差 Rn(x)二f(X)- pn (x)的表達式是什么？4.3.1泰勒(Taylor)中值定理問題1的求解就是確定多項式的系數(shù)玄,廠,an。Pn(x)二a。a,x-Xo)a2(x-x。)2an(x)n-a。 = Pn(Xo)Pn(x)二 a2a2(x-x。)3a3

18、(x - x。)2nan(x - x。)a1 = Pn(x。)Pn(x) =2 1a 3 2 a (x -x。) 4 3a(X -X。)2 亠亠 n (n _1) a (x -冷嚴-2 1 a Pn(x。)Pn(x) =3 2 1 a? 4 3 2 a4 (xx。)5 4 3 氏(xx。)2n (n1) (n-2) q (乂一人嚴3 2 1 a pg上述工整且有規(guī)律的求系數(shù)過程，不難歸納出：a。= Pn(Xo) = f (Xo)1 ai = Pn (Xo) = f (Xo)2 1 2 二 Pn(Xo) = f (Xo)3 2 1 3 二 Pn(Xo) = f (Xo)一般地，有k(k -1)(

19、k 一2)2 1 Gk 二 pnk)(Xo) = f (k)(Xo)從而，得到系數(shù)計算公式ak=f (Xo)f (Xo)f1!(Xo)2!f(Xo)3!a o aia 2as(k )f1( k 二 0,1,2,k!n)于是,所求的多項式為Pn(X)十)(X Xo) 牛(X“)kfX Xo)1!k!n!若函數(shù)f(X)在含有X)的某個開區(qū)間泰勒(Taylor)中值定理(a,b)內(nèi)具有直到nT階導數(shù)，則當x(a,b)時,f(X)可以表示成f(Xf(Xo) f(Xo)(X-Xo)今(X-X。)2f (Xo)n!(x-Xo)n Rn(X)f(n制其中Rn (X)(X-Xo)n1(介于Xo與X之間)(n

20、+1)!證令 Rn (x) = f (X) - Pn (X)，下證在Xo與X之間，使得:Rn(X)二f(n 1()(n 1)!(X1由于f(x)有直到(n 1)階導數(shù)，Pn(x)為多項式，故R,(x)在(a,b)內(nèi)有直到(n 1)frr, x階導數(shù)，并且Rn(Xo)=Rn(Xo)=Rn(Xo)二Rn(Xo) = 0 ?，F(xiàn)對函數(shù)Rn(x)和(x -冷)*在以x0和x為端點的區(qū)間上應用 Cauchy中值定理，Rn(X)_RJX) - RJXo)_ 尺(1)(X-Xo)(X-Xo)(Xo Xo)(n T)( i Xo)(1在Xo與X之間)Rn( 1)_Rn( 1)-出(X。)_Rn ( 2)(n 1

21、)( -Xo)n(n 1)( i -Xo)n - (n - 1)(x - x)n (n 1)n( ； - x)n(2介于1與Xo之間)如此繼續(xù)下去，經(jīng)過(n 1)次后， 一個4介于n與xo之間，使得R(x)Rn(n d)( n-1)(X-Xo)n1 (n 1)!顯然n 1介于Xo與X之間。般地，記號(n +)=Rn(X)R?)()(x-xo)n1 - (n 1)!又因為Rn(X)二 f(X)-沿)而Pn(x)為n次多項式,故當Pn(n1)(xro二Rn(n 1)(x)十 (x)-Rn(X)f(n 1()(n +1)!(X-Xo)1或Rn(X (n 1)!(n 4)/f Q(X-Xo)n1(介于

22、 Xo 與X之間)。n f(k)(x )(n 1) /注:1、f(X)f(F1此式稱為函數(shù)f (x)按(x-x。)的幕展開的n階泰勒公式；或者稱之為函數(shù) f(x)在點Xo處的n階泰勒展開式。當n =0時，泰勒公式變?yōu)?0 1)f(X)二 f(Xo)(0 彳(xFlfg + fK)這正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項(n 1)T (n 1)!()(X-Xo)n1為拉格朗日型余項。2、對固定的 n，若 f(n*)(x)蘭 M,acxcb” ,IM |n +有Rn(X)W時XXo此式可用作誤差界的估計。R(x)蘭 M(x-Xo)n 一(n +1)!X Xo T 0(x X0)

23、故Rn(x) =o(x -X3)n,(x x0)。即誤差R(x)是當X x0時較無窮小，這一余項表達式稱之為佩亞諾型余項。3、若x0 = 0，則在0與X之間，它表示成形式-x (0 : V泰勒公式有較簡單的形式一一麥克勞林(Maclourin)公式f(X) = f (0)f (0)x1!f 70)2 匕 +2)(0) n + fE 但，X)2!n!(n 1)!xn1(0近似公式f (x)誤差估計式f(0)空2x4x21! 2!f ”1)Rn(x)-(n 1)!n -1。4、麥克勞林展開式是一種特殊形式的泰勒展開式，容易求。因此求函數(shù)點X = X0處的泰勒展開式時，可通過變量替換X - X0 =

24、t化歸到這一情況。令則f (x) = f (t - X0) = F(t)，對函數(shù)F(t)作麥克勞林展開。(X - x0)n 高階:1)，1)f (x)在任意X - X。=t，432幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式例1求f (x) =ex的麥克勞林公式。解 f (k)(x) = ex(k = 0,1,2, ,n)f (0) = f (0) = f (0)仝、二(n)(0)=e“，f(n1) x)n-+n! (n 1)!2nAxx x x e + +卡+1! 2!xn1(0 廠:：:1)有近似公式xx2+ +1! 2!xnn!其誤差的界為Rn(x)e1 1(一1嚴亦Ex)(0 :：: 1)sin)x (

25、2m1)其中：R2m(X)二2 x2m (2m+1)!函數(shù)y二sinx的一些近似表達式并給出它們的圖象(見圖 4-3-7)33!5!7!(1) y : x y ： x -1X3 (3) y X -丄 X36 6 120圖 4-3-7242m同理有沁亠務務（-1）m（h R2m1（X），其中：RM。%/，/）。例3求（1的麥克勞林公式(1 X)： =1: X 衛(wèi) X22!:r -i)r -2)x3zv3!十g(g _i)(a -2) (a _ n +1)xnXn!Rn(X)其中：3 （T（：21）!（-n亠，（。1）例4求ln(1 - x)的麥克勞林公式。23n解 ln(1 X)=X -仝 x

26、(_1)n0 - fRn(x)2 3n十1)n（壯廠例5求f（x）二tanx的麥克勞林展開式的前四項，并給出佩亞諾型余項。cos4 xcos3 x3(tanx) =2 C0SX C0S X-sin x 3cos2 x (_sin x)6cos x2cos2 x 6sin2 x4cos x1(tan x) 2 cos x八2cosx (-sinx) 2sinx(ta n x)tanxtan x = x 2x3 o(x3)3!二 0,(tan x) x 衛(wèi)二 1,(tan x)心二 O,(tanx) x 衛(wèi)=2133tan x = x x o(x ),3133sin x = x x o(x )6t

27、anx - sinx = x=(x x)gx31331x3 o(x3) x - x3361333x ) (o(x ) -o(x )6o(x3)133=1x o(x)13/ 3、13x o(x )xQ93厶3= limx7 xT x注：現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處limtanx；sinx“imx0x3JOlim 嘰1x0因為 tanx x sin x(x 0)，從而tan x sin x lim0x x=lim 3 lim 0 = 0 x_0 x3x_0當x 0時,tan x - sin x 廠 x - x 二 0，應為tan x -sin1 33=一 x o(x )2并估計誤差

28、。解：18 =18 -180 10例6三階泰勒公式求 sin18的近似值,3xsin x = x (-1)故：sin10 10sinr x 3 425x5!(一)3 : 0.30942510利用泰勒展開式求函數(shù)的極限， 可求許多其它方法難以處理的極限?？梢哉f是求極限方法中的“終極武器”，使用這一方法例6利用泰勒展開式再求極限tan xsin x lim廠x刃x3曰 疋4.4導數(shù)的應用4.4.1函數(shù)的單調(diào)性JIR4(i01 二 5-5!気)55510- : 2.55 10-。120從圖4-4-7可觀察到函數(shù)y=eX-X-1與它的導函數(shù) y=eX-1在-1,1上的圖象：圖 4-4-7-1函數(shù)y =

29、eX -x-1在-1,0）上是單調(diào)減少，在（0,1上是單調(diào)增加;其導函數(shù)y=eX-1在-1,0）上小于零，在（0,1上大于零。函數(shù)的單調(diào)性是否與導函數(shù)的符號有關(guān)呢？圖 4 4 8我們從圖4-4-8可觀察到函數(shù)y二f（x）在a,b上單調(diào)增加（減少），則它的圖形是一條沿x軸正向上升（下降）的曲線，曲線上各點處的切線之斜率均為正的（負的），即：y = f (x)0 ( y = f (x) ： 0)這表明：函數(shù)的單調(diào)性確實與其導數(shù)的符號有關(guān)，因此，可以利用導數(shù)的符號來判定 函數(shù)的單調(diào)性，下面我們用拉格朗日中值定理來討論這個問題。設函數(shù)y = f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)上可導，任意xi，x a

30、,b(為：x2)，則f(X2)- f (Xi) = f ( ) (X2 - Xi)(x ： X2)若在(a,b)內(nèi) f (x) .0，則 f ( ) . 0， 從而 f(X2 ) f (Xi )；即函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加；若在(a,b)內(nèi) f (x) ：0，則 f ( ) ：0,從而 f%) ： f(xi)，即函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少。我們講上述討論歸納為如下定理：定理1 (函數(shù)單調(diào)性判別法)設函數(shù)y = f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，(1) 若在(a,b)內(nèi)f (x)0，則y = f(x)在a,b上單調(diào)增加；(2) 、若在(a,b)內(nèi)f (x) ：0 ,則

31、y二f(x)在a,b上單調(diào)減少。注：1、判別法中的閉區(qū)間若換成其它各種區(qū)間(包括無窮區(qū)間)，結(jié)論仍成立。2、 如果在(a,b)內(nèi)f (x) 一0(豈0)，且等號僅在個別點處成立，則y二f(x)在a,b上單調(diào)增加(減少)。(見例4)3、以后把函數(shù)單調(diào)的區(qū)間稱之為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例1討論函數(shù)y = ex -X -1的單調(diào)性。解函數(shù)的定義域為(=,：)，且y = eX-1當(y，,0)時，y0,故函數(shù)在(-兀,0)上單調(diào)減少；當x(0, ：)時，y：0，故函數(shù)在(0：)上單調(diào)增加(見圖 4-4-7 )。我們注意到，x = 0是函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間（- ,0）與單調(diào)增加（0：）的分界點，且函數(shù)在分解點的導

32、數(shù)為零，即y(0)一仁0例2討論函數(shù)y =:x的單調(diào)性。解函數(shù)的定義域為(8 , +處)，當 xwC-ooQ)時，y = x，八-1 c0.故函數(shù)在（亠,0）上單減;當x e （0,址）時，y =x ，r0，故函數(shù)在（0,垃）上單增。我們看到，函數(shù)在單調(diào)減少區(qū)間（-o,0）與單調(diào)增加（0,母）的分界點為x = 0 ,且函數(shù)在分解點不可導，即 y（0）不存在。一般講，f （x）在定義域內(nèi)未必單調(diào)，但可用適當?shù)囊恍c把定義域分為若干個區(qū)間，便得f （x）在每一個區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)。而這些分點主要有兩大類：其一是導數(shù)等于0的點，即f （x） =0的根；其二是導數(shù)不存在的點。事實上，只要f （x）在定

33、義域內(nèi)連續(xù)，且只在有限個點處導數(shù)不存在，則可用分點將區(qū)間分為若干個小區(qū)間，使得f（x）在各小區(qū)間上，保持有相同的符號，即恒正或恒負，這樣f （x）在每個小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，各小區(qū)間則相對地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間。8例3試確定函數(shù) y =2x 的單調(diào)區(qū)間。x解：當x =0時，函數(shù)無定義，故函數(shù)在x = 0處不可導；當x = 0時,2x2 -82x2(x 2)(x-2)2x令 y =0 得：X = 2于是,點x=-2,0,2將函數(shù)定義域（x = 0）分劃成四個區(qū)間（0,2）、（2,：），列表討論如下:x(-00,-2)(-2,0)(0,2)（2嚴）f (x)+y = f (x)/禾U用函數(shù)的

34、單調(diào)性可以證明較為復雜的函數(shù)不等式。例5試證明：當x 4時，有2x x2。證作輔助函數(shù) f(x)=2x-x24：)，f(x)=2xl n2-2x，f (x) =2x (In 2)2 -2=2 2心(ln4)2 -1，當 x 4,：)時，2心 _2 ，(In4)2 1，故 f (x) 0,x 4, ：)， f (x)在4, ：)上單調(diào)增加，從而有 f (x) f (4)，而 f (4) =24 In2-2 4=16 In 2-8=8 (In4-1)0,于是f (x)0， f (x)在4,：)上也單調(diào)增加。從而有 f(x) f(4) =24 - 42 =16-16 = 0，即2x x2x 4,：)

35、。該證明方法十分典型，對于一些較精細的函數(shù)不等式的證明可借助此法。例6求方程In x =ax (其中a . 0)有幾個實根？一 1解設 f(x)=ln x - ax x ：=(0, ：) f (x) ax11 11令f(x)=0,則x ，用x點將其定義域(0：)分為(0, )和(，；)二個區(qū)aaa a間，且111當0 ： x 時，f(x) 0，所以f (x)在(0,)是單增的，故當x 時，aaa1f(x) ： f( ) oa111當1 ：x ： :時，f (x) :：: 0，所以f (x)在I ；)上為單減的，故當x 時，aaa1f(x) ： f(-) o a11由以上討論知，當 x 時，f(

36、x) ： f( ) - -(1 In a)aa即對(0, ：), f (x) _-(1 Ina),下面來討論In x = ax有幾個實根：1(a) 若(1 In a) 0 ,即a 時，f (x) ： 0 ,即方程無解。e11(b) 若(1 In a) = 0 , 即卩 a 時，f (x)三 0，且僅在 x = a 時，有 f (x) = 0 ,ee此時，方程有唯一的解。111(c)若(1 In a) :：: 0，即 0 ： a ：時，f (一) 0，又在(0,)上，f (x)單增，且 eaa咯 f(x) =亠，1即方程的根，又故在(0,)上，函數(shù)f (x)與x軸有一個且只一個交點,a1 1在_

37、：)上，f (x)單減，且Iim f(x)-：,故在_：)上，f (x)與x軸有一個且只 axa有一個交點，即方程的根，合起來，此時方程有二個實根。442函數(shù)的極值及其求法定義 設函數(shù)f (x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，點X。是(a,b)內(nèi)的一點。若存在點 心的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)任何異于怡的點x，不等式f（X）： f（x。） （ f（x）f （x。）成立，稱f(Xo)是函數(shù)f (X)的一個極大值(極小值)；稱點X。是函數(shù)f (X)的極大值點(極 小值點)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱為極值點。1函數(shù)的極值概念是一個局部概念。X。的一個局部范圍來說f(X。)是f (x0)就不一定是最大值了。如果f(x。)是函數(shù)f (x)的一個極大值，那只是對f(x)的一個最大值。但對于整個函數(shù)的定義域來說,對于極小值也是類似的。2、極小值有可能較極大值更大。圖4-4-9 的函數(shù)f (x)有兩個極大值f (x2)、f (x5), f (x7)，三個極小值f(xj、f(X4)、f(X6),其中 f(X2)： f (X6)( f(X2)是極大值,而 f (x6)是極小值)從圖中可看出，在函數(shù)取得極值之處，曲線具有水平的切線(當切線存在時)或者沒有切線，如曲線在 X =X7處，但有水