2015高考理科數(shù)學(xué)試題分類解析之專題三導(dǎo)數(shù)

1、專題三 導(dǎo)數(shù)試題部分1.【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A B C D 2.【2015高考陜西，理12】對(duì)二次函數(shù)（為非零常數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是（ ）A是的零點(diǎn) B1是的極值點(diǎn)C3是的極值 D. 點(diǎn)在曲線上3.【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）A B C D4.【2015高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）5

2、.【2015高考陜西，理16】如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 6.【2015高考天津，理11】曲線 與直線 所圍成的封閉圖形的面積為 .7.【2015高考湖南，理11】 .8.【2015高考新課標(biāo)2，理21】（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)()證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍9.【2015高考江蘇，19】（本小題滿分16分） 已知函數(shù). （1）試討論的單調(diào)性； （2）若（實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a 的取值范圍恰好是，求c的值.10.【2015高考福

3、建，理20】已知函數(shù)，()證明：當(dāng)；()證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)()確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有11.【2015江蘇高考，17】（本小題滿分14分） 某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建 一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊 界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到 的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到的距離分別為20千米和2.5千米，以MNl2l1xyOCPl 所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù) （其中a，b為常數(shù)）模型. （1）求a，

4、b的值； （2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t. 請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域； 當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長度最短？求出最短長度.12.【2015高考山東，理21】設(shè)函數(shù)，其中. （）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由； （）若成立，求的取值范圍.13.【2015高考安徽，理21】設(shè)函數(shù). （）討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值； （）記，求函數(shù)在上的最大值D； （）在（）中，取，求滿足時(shí)的最大值.14.【2015高考天津，理20（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中.(I)討論的單調(diào)性；(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證：

5、對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；(III)若關(guān)于的方程有兩個(gè)正實(shí)根，求證： 15.【2015高考重慶，理20】 設(shè)函數(shù) （1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍。16.【2015高考四川，理21】已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，評(píng)論的單調(diào)性； （2）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在內(nèi)有唯一解.17.【2015高考湖北，理22】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??；（）計(jì)算，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明；（）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為, 證明：.18.【2015高考新課標(biāo)1，理21】已知函數(shù)f（x

6、）=.()當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).19.【2015高考北京，理18】已知函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求證：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值20.【2015高考廣東，理19】設(shè)，函數(shù) (1) 求的單調(diào)區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個(gè)零點(diǎn)； (3) 若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，且在點(diǎn)處的切線與直線平行（是坐標(biāo)原點(diǎn)）,證明：21.【2015高考湖南，理21】.已知，函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)，證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列（2）若，則對(duì)一切，恒成立.答案部分1.【答案】C由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)

7、在上單調(diào)遞增，且，故，所以，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，選項(xiàng)A,B無法判斷，故選C2.【答案】A 若選項(xiàng)A錯(cuò)誤時(shí)，選項(xiàng)B、C、D正確，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，是的極值，所以，即，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得：，所以，所以，因?yàn)椋圆皇堑牧泓c(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B、C、D正確，故選A3.【答案】A 4.【答案】D 設(shè)=，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，0，所以當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=-1，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得1，故選D.5.【答案】 建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：原始的最大流量是，

8、設(shè)拋物線的方程為（），因?yàn)樵搾佄锞€過點(diǎn)，所以，解得，所以，即，所以當(dāng)前最大流量是，故原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是，所以答案應(yīng)填：6.【答案】7.【答案】 .8.【答案】()詳見解析；（）【解析】()若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由()知，對(duì)任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在處取得最小值所以對(duì)于任意，的充要條件是：即，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即式成立當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，即；當(dāng)時(shí)，即綜上，的取值范圍是9.【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單

9、調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù)的兩個(gè)極值為，則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，從而或又，所以當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而，且，因此此時(shí)，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)異于的不等實(shí)根，所以，且，解得綜上10.【答案】()詳見解析；()詳見解析；() 解法一：(1)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，(2)令則有當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, (3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有此時(shí),令，則有故

10、當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)，由（1）知，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，.解法二：（1）（2）同解法一.（3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于，故，令，從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)時(shí)，取由（2）知存在,使得.此時(shí),令，此時(shí) ,記與中較小的為，則當(dāng)，11.【答案】（1）（2）定義域?yàn)椋住窘馕觥浚?）由題意知，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，將其分別代入，得，解得（2）由（1）知，（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)處的切線交，軸分別于，點(diǎn)，則的方程為，由此得，故，設(shè)，則令，解得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)

11、從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)答：當(dāng)時(shí)，公路的長度最短，最短長度為千米12.【答案】（I）：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（II）的取值范圍是.（2）當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ， 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；當(dāng) 時(shí)， 設(shè)方程的兩根為 因?yàn)?所以， 由可得：所以，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（3）當(dāng) 時(shí)，由可得：當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減；因此函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)綜上：當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在上有唯一極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)；（I

12、I）由（I）知，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗?，時(shí)， ，符合題意； （2）當(dāng) 時(shí)，由 ，得 所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，時(shí)， ，符合題意；（3）當(dāng) 時(shí)，由 ，可得所以 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；又所以，當(dāng)時(shí)， 不符合題意；（4）當(dāng)時(shí)，設(shè) 因?yàn)闀r(shí)， 當(dāng) 時(shí)，此時(shí)， 不合題意.綜上所述，的取值范圍是 13【答案】（）極小值為；（）； （）1.【解析】（），. ，. 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，無極值. 當(dāng)，在內(nèi)存在唯一的，使得. 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 因此，時(shí)，函數(shù)在處有極小值. （）時(shí)， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 當(dāng)時(shí)，取，等號(hào)成立， 由此

13、可知，函數(shù)在上的最大值為. （），即，此時(shí)，從而. 取，則，并且. 由此可知，滿足條件的最大值為1.14.【答案】(I) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. (II)見解析； (III)見解析. (2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(II)證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有.(III)證明：不妨設(shè)，由(II)知，設(shè)方程的根

14、為，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又由(II)知可得.類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得，當(dāng)，即對(duì)任意，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，因此.由此可得.因?yàn)?，所以，故，所?15【答案】（1），切線方程為；（2）.當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,故為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,故為減函數(shù)；由在上為減函數(shù)，知，解得故a的取值范圍為.16【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）詳見解析.【解析】（1）由已知，函數(shù)的定義域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由，解得.令.則，.故存在，使得.令，.由知，函數(shù)在

15、區(qū)間上單調(diào)遞增.所以.即.17【答案】（）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ；（）詳見解析；（）詳見解析.【解析】（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，即.令，得，即. （）；.由此推測(cè)： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. （1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，成立. （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即.當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)可得.所以當(dāng)時(shí)，也成立. 根據(jù)（1）（2），可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. （）由的定義，算術(shù)-幾何平均不等式，的定義及得 .即.18【答案】（）；（）當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).若，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，所以只需

16、考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若或，則在（0,1）無零點(diǎn)，故在（0,1）單調(diào)，而，所以當(dāng)時(shí)，在（0，1）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0時(shí)，在（0，1）無零點(diǎn). ()若，則在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當(dāng)=時(shí)，取的最小值，最小值為=.若0，即0，在（0,1）無零點(diǎn).若=0，即，則在（0,1）有唯一零點(diǎn)；若0，即，由于，所以當(dāng)時(shí)，在（0,1）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在（0,1）有一個(gè)零點(diǎn).10分綜上，當(dāng)或時(shí)，由一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn). 12分19【答案】（），（）證明見解析，（）的最大值為2.【解析】試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)在處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值，再用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程；第二步要證明不等式在成立，可用作差法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性，由于，在（0，1）上為增函數(shù)，則，問題得證；第三步與第二步方法類似，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，但需要對(duì)參數(shù)作討論，首先符合題意，其次當(dāng)時(shí)，不滿足題意舍去，得出的最大值為2.，成立；（）使成立，等價(jià)于，；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，-0+極小值，顯然不成立，綜上所述可知：的最大值為2.20【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】（1）依題， 在上是單調(diào)增函數(shù)；（2） ， 且， 在上有零點(diǎn)，又由（1）知在上是單調(diào)增函數(shù)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；（3