標量場的梯PPT學習教案

1、會計學1 標量場的梯標量場的梯PPT課件課件 2021-8-62 1.4.2 1.4.2 標量場的梯度標量場的梯度 1、梯度的定義：、梯度的定義： 0 M l l M 方向?qū)?shù)描述了函數(shù)在給定點方向?qū)?shù)描述了函數(shù)在給定點 沿某個方向沿某個方向 的變化率問題，但給定某點的變化率問題，但給定某點 會有會有無窮多個方向無窮多個方向 ，則，則方向?qū)?shù)也會有無窮多個方向?qū)?shù)也會有無窮多個。 0 M 0 M 梯度梯度即是在某給定點即是在某給定點 處其處其值值等于最大的方等于最大的方 向?qū)?shù)的模，其向?qū)?shù)的模，其方向方向就是函數(shù)變化率最大的方向就是函數(shù)變化率最大的方向。 0 M z z u y y u x

2、x u u 第1頁/共11頁 2021-8-63 若令 ： zeyexelel zyxl 再令 ： z u e y u e x u eG zyx （1-3-4） 則 ulG ),cos(lim 0 ll l eGGeG l lG l u l u 上式說明： 在 方向上的投影正 好等于函數(shù) 在該方向的方向?qū)?shù)。 G u l 當 與 的方向一致時， ， 稱為函數(shù) 在給定點 處的梯度。記作u G l 0 M G G l u max Ggradu l G 10 第2頁/共11頁 2021-8-64 標量場的梯度為一標量場的梯度為一矢量矢量，且是坐標位置的函數(shù)，且是坐標位置的函數(shù) 標量場的梯度表征空間某

3、點處場的變化規(guī)律：方向為標標量場的梯度表征空間某點處場的變化規(guī)律：方向為標 量場增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示標量場的量場增加最快的方向（垂直于等值面），幅度表示標量場的 最大增加率最大增加率 梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 標量場標量場的的梯度梯度，用，用gradu表示表示,也可寫成也可寫成 z u e y u e x u eugradu zyx u u u P M l e n e duu ldudu u z e y e x eu zyx )( 9 第3頁/共11頁 2021-8-65 例：例： ,)()()( 222 zzyyxxR 試證明試證明) 1 () 1 ( RR z e y e

4、x e zyx 其中其中 y x o z ),(zyxM ),(zyxM r r rrR 矢徑矢徑 第4頁/共11頁 2021-8-66 證： 2 1 222 )()()() 1 ( zzyyxx R 2 1 222 )()()( zzyyxx x e x 2 1 222 )()()( zzyyxx y e y 2 1 222 )()()( zzyyxx z e z 2 3 222 )()()( )()()( zzyyxx zzeyyexxe zyx 33 ) 1 ( rr rr R R R 2.1(14) 第5頁/共11頁 2021-8-67 2 1 222 )()()() 1 ( zzyy

5、xx R 2 1 222 )()()( zzyyxx x e x 2 1 222 )()()( zzyyxx y e y 2 1 222 )()()( zzyyxx z e z 2 3 222 )()()( )()()( zzyyxx zzeyyexxe zyx 33 ) 1 ( rr rr R R R 證畢證畢 第6頁/共11頁 2021-8-68 2/1 222 ,zyxzyxu 212 zyx e ee ee e l A 解解 由梯度公式由梯度公式(1.28)有有 2 1 2 1 1 ,0, 1 2/1 222 2/1 222 2/1 222 1 ,0, 1 1 ,0, 1 zx zyx

6、 zyx zyx z zyx y zyx x z u y u x u u e ee e e ee ee e e ee ee e 5 第7頁/共11頁 2021-8-69 l l 212 3 1 212 212 222 zyx zyx l e ee ee e e ee ee e e e l l 故沿 方向的方向?qū)?shù)為 3 22 212 3 1 2 1 2 1 1 ,0, 1 1 ,0, 1 zyxzxl u l u e ee ee ee ee ee e 4 第8頁/共11頁 2021-8-610 1.4.4 矢量場的重要性質(zhì)(兩個重要公式) 旋度的散度旋度的散度恒恒等于零。等于零。 證明：證明： )()(AArotdiv )()()()( y A x A e x A z A e z A y A e z e y e x e x y z zx y y z xzyx 0)()()( y A x A zx A z A yz A y A x x y zx y z 旋度與散度的定義都與坐標系無關。旋度與散度的定義都與坐標系無關。 0)(A 應用應用 ： AB B 0若 第9頁/共11頁 2021-8-611 梯度的旋度梯度的旋度恒恒等于零。等于零。 證明：證明：ugradurot)( )()( z u e y u e x u e z e y e x e zyxzyx 0