廣東省深圳市寶安中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬考試試題理?含解析?

1、廣東省深圳市寶安中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期4月模擬考試試題 理（含解析）一、選擇題（共12小題）.1.已知集合，則集合( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別根據(jù)二次不等式與對(duì)數(shù)不等式方法求解再求解即可.【詳解】,.故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式與對(duì)數(shù)不等式的求解與交集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+i|1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（ ）A. （x+1）2+y21B. （x1）2+y21C. x2+（y+1）21D. x2+（y1）21【答案】C【解析】【分析】設(shè)zx+yi（x，yR），代入|z+i|1，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解【詳解】

2、設(shè)zx+yi（x，yR），由|z+i|1，得|x+（y+1）i|1，即，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為x2+（y+1）21故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.3.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：由指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知，即，選A考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)4.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】

3、分別根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，求得的值，即可得到答案【詳解】由題意，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，設(shè)收集的48個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為，則， ，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中解答中熟記數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的公式，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，數(shù)基礎(chǔ)題5.函數(shù)(,)的最小正周期為,其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則的最小值為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意，得，所以因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選B點(diǎn)睛：求三角函數(shù)的性質(zhì)，不論是周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性還是求三角函數(shù)的最值，都要以三角函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)；另

4、外在求解時(shí)要注意所給的范圍和的取值6.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”，則（ ）A. 1B. 0C. 1007D. 1006【答案】A【解析】【分析】直接利用數(shù)列的關(guān)系式的應(yīng)用歸納關(guān)系式所表現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)一步求出結(jié)果【詳解】由于，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求值，歸納推理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定數(shù)列規(guī)律是解題的關(guān)鍵.7.已知變量滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】

5、C【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域；作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線；結(jié)合圖象知當(dāng)直線過A時(shí)，最大，從而得出目標(biāo)函數(shù)z2x+y的取值范圍【詳解】解：畫出變量x，y滿足表示的平面區(qū)域：將目標(biāo)函數(shù)變形為z2x+y，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，直線過A（0，2）時(shí)，直線的縱截距最大，z最大，最大值為2；則目標(biāo)函數(shù)z2x+y的取值范圍是（，2故選：C8.已知三個(gè)向量，共面，且均為單位向量，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，則當(dāng)與同向時(shí)最大，最小，此時(shí)，所以；當(dāng)與反向時(shí)最小，最大，此時(shí) ，所以，所以的取值范圍為，故選A9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為

6、坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線、分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)、，且，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定義求出，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，從而得出，在內(nèi)使用余弦定理可得出與的等量關(guān)系，從而得出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，.連接、，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，由余弦定理可得，故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出

7、它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.本題是利用點(diǎn)到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值.10.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論【詳解】解：是定義在上的偶函數(shù)，不等式恒成立等價(jià)為恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)為恒成立，即在，上恒成立，平方得，即在，上恒成立，設(shè)，則滿足，即，故實(shí)數(shù)的最大值是故選：【點(diǎn)睛】本題主

8、要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于難題11.已知P，A，B，C是半徑為2的球面上的點(diǎn)，O為球心，則三棱錐體積的最大值是( )A. B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫圖分析可知到面的距離為定值,故只需求底面的面積最大值,再根據(jù)基本不等式的方法求解即可.【詳解】如圖,設(shè)交平面于.因?yàn)?由球的對(duì)稱性有底面.又,.故.,因?yàn)?所以.又.故.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體外接球以及根據(jù)基本不等式求最值的問題,需要根據(jù)題意找到定量關(guān)系,利用基本不等式求最值,屬于中檔題.12.已知函數(shù)，對(duì)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)

9、論：函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)；對(duì)于任意，都有成立；有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；若，則在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線為同一直線.其中所有正確的結(jié)論有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】(1)分別求即可判定(1)錯(cuò)誤.(2)分別計(jì)算判斷是否等于即可.(3)數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.(4)分別根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線方程,再根據(jù)判定即可.【詳解】(1) 的定義域?yàn)?因?yàn)?.所以,所以在其定義域上不為增函數(shù).故(1)錯(cuò)誤.(2)因?yàn)?.所以.所以.故(2)正確.(3) 的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù),即函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).畫出圖像可知,有兩個(gè)交點(diǎn),故(3)正確.(4)對(duì)于函數(shù),

10、因?yàn)?所以,所以在點(diǎn)處的切線方程為,即.對(duì)于函數(shù),所以,所以在處的切線方程為,即.因?yàn)?即,其中且,所以,.所以.所以兩條切線為同一直線.故(4)正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)以及運(yùn)算,同時(shí)也考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線參數(shù)方程的問題,需要根據(jù)題意代入對(duì)應(yīng)的值進(jìn)行計(jì)算分析,屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，的系數(shù)是_【答案】14【解析】【分析】將求的系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式的的系數(shù)減去的系數(shù)，即可求出展開式的的系數(shù).【詳解】，展開式中的系數(shù)等于展開式的的系數(shù)減去的系數(shù)，展開式的通項(xiàng)為，展開式中的系數(shù)是，故

11、答案為：14.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，將的系數(shù)轉(zhuǎn)化為兩部分相減是解題的關(guān)鍵.14.記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則_.【答案】4.【解析】【分析】根據(jù)已知求出和關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)使用轉(zhuǎn)化思想得出答案15.已知點(diǎn)，點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則最小正整數(shù)_.【答案】4【解析】【分析】設(shè)點(diǎn),根據(jù)列出關(guān)于的關(guān)系式,再數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn),故.由得,化簡(jiǎn)得.依題意可知,直線與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn),所以,解得或.

12、所以最小正整數(shù).故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓和向量的綜合運(yùn)用,需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)所給的信息,再數(shù)形結(jié)合利用圓心到直線的距離列式求解.屬于中檔題.16.已知點(diǎn)F是拋物線C：y22px（p0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），與y軸的正半軸相交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是拋物線不同于A，B的點(diǎn)，若2，則|BF|：|BA|：|BN|_【答案】2：3：4【解析】【分析】點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為，所以點(diǎn)N（），由2可知點(diǎn)A是線段NF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A（），聯(lián)立直線AB與拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由韋達(dá)定理可知，xBp，然后利用拋物線的定義逐一用含有p的式子

13、表示出線段|BF|、|BA|和|BN|的長(zhǎng)，即可得解【詳解】由題可知，點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為，令x0，則y，點(diǎn)N（），2，點(diǎn)A是線段NF的中點(diǎn)，點(diǎn)A（），聯(lián)立，得，由拋物線的定義可知，|BF|，|BA|，|BN|BA|+|AN|BA|+|AF|，|BF|：|BA|：|BN|故答案為：2：3：4【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中線段的長(zhǎng)度關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，靈活運(yùn)用拋物線定義是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.在中，內(nèi)角A，B，C

14、的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積S.【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化,再利用正弦的和差角公式化簡(jiǎn)即可.(2)利用余弦定理代入(1)中的化簡(jiǎn)可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)的公式求解,再根據(jù)面積公式求解即可.【詳解】(1)由正弦定理, ,根據(jù)內(nèi)角和有.根據(jù)正弦定理有,即.(2)由余弦定理有,由(1) ,代入,即.故.又因?yàn)?.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運(yùn)用,同時(shí)也考查了三角恒等變換的方法與技巧,屬于中檔題.18.四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，面ABCD，E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點(diǎn).（1）求證

15、：平面平面PAB；（2）M是PB上的動(dòng)點(diǎn)，EM與平面PAB所成的最大角為，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)分別證明,進(jìn)而證明平面,從而得到平面平面即可.(2) 連結(jié),則根據(jù)(1)平面可知為直線與平面所成的線面角,進(jìn)而分析可得.再建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角大小即可.【詳解】(1)證明：由題意,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形,為的中點(diǎn),故,.由余弦定理可得,解得 .故.故,.故.又面,面.故.又,故平面.又平面.故平面平面.(2)連結(jié),則根據(jù)(1)平面可知為直線與平面所成的線面角,所以在中, ,所以當(dāng)最小,即時(shí),取得最大值,此時(shí),設(shè)則有,解得.即.由(1)有.故以為

16、坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則.故.所以.設(shè)面的法向量,則 .即,令則.又平面的法向量.故二面角大小的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的一般證明,同時(shí)也考查了線面角的判定與建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角大小的問題.需要根據(jù)題意找到線面角的平面角進(jìn)行判斷,并建立合適的坐標(biāo)系進(jìn)行求解.屬于難題.19.已知橢圓，P是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為的直線l交橢圓于另一點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B（1）求面積的最大值；（2）設(shè)線段PB的中垂線與y軸交于點(diǎn)N，若點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，求斜率k的取值范圍.【答案】(1)2；(2) 【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可知,故當(dāng)在左右頂點(diǎn)的時(shí)候面積最大.(

17、2)設(shè)的方程,聯(lián)立與橢圓的方程,求出的坐標(biāo),再得出的坐標(biāo),進(jìn)而求得的中垂線,再求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部得到不等式求解即可.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn),.根據(jù)題意可知.故當(dāng)時(shí)面積取最大值2.(2) 設(shè)直線的方程：.聯(lián)立直線與橢圓的方程有,整理可得：,因?yàn)?故.代入可得.所以,.故中點(diǎn)坐標(biāo)為.又的斜率為.故中垂線的斜率為.中垂線的方程為：.代入有.故.又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部.故,解得,即.又,故【點(diǎn)睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程表達(dá)所需的點(diǎn),并根據(jù)題意列出不等式求范圍的方法,需要根據(jù)題意確定點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算求解.屬于中檔題.20.設(shè)函數(shù)（x R，實(shí)數(shù)a0，+），e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

18、（）若f（x）0在x上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）若exlnx+m對(duì)任意x0恒成立，求證：實(shí)數(shù)m的最大值大于2.3【答案】（）；（）見解析【解析】【分析】（）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題得以解決；（）構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可證明【詳解】（），f（x）0在x上恒成立，當(dāng) a，設(shè)h（x）=，h（x）=，令h（x）=0，解得x=，當(dāng)x，即h（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng) x，即h（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減，h（x）min=h（）=，0a，故a的取值范圍為；（）設(shè)，g（x）0，可得；g（x）0，可得g（x）在（，+）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減g（x）g（）=，1.6，g（

19、x）2.3由（）可得exx，exlnx的最小值大于2.3，故若exlnx+m對(duì)任意x0恒成立，則m的最大值一定大于2.3【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題21.武漢出現(xiàn)的新型冠狀病毒是一種可以通過飛沫傳播的變異病毒，某藥物研究所為篩查該新型冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；混合檢驗(yàn)，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份血液全為陰性，因此這k份血液樣本檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)

20、，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陰性還是陽(yáng)性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份為陽(yáng)性，若采取逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.（i）試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（ii）若，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得這k份血液樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1) ;(2) （i）,;（ii）4【解析】【分析】(1)根據(jù)排列的方法列式求概率即可.(2) （i）分別求解,再化簡(jiǎn)求時(shí)解析式即可.（ii）由題,化簡(jiǎn)可得,再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求區(qū)間端點(diǎn)的正負(fù)判斷即可.【詳解】(1)設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的事件為,則,故恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為(2) （i）由已知可得,所有可能的取值為.所以,所以.若,則,所以.故.所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式,（ii）由題意可知,即,化