第六章IIR濾波器的設計方法

1、2021/3/231 第六章 IIR濾波器的設計 2021/3/23 主要內容 n理解數字濾波器的基本概念 n了解最小相位延時系統(tǒng) n理解全通系統(tǒng)的特點及應用 n掌握沖激響應不變法 n掌握雙線性變換法 n掌握Butterworth、Chebyshev低通濾波器的特點 n了解利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器的設計過程 n了解利用頻帶變換法設計各種類型數字濾波器的方法 2021/3/23 6.1 引言 數字濾波器: 是指輸入輸出均為數字信號,通過一定運算 關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者 濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活,不要 求阻抗匹配,可實現特殊濾波功能

2、 優(yōu)點優(yōu)點: : 2021/3/23 1、濾波器的基本概念 （1） 濾波器的功能濾波器的功能 濾波器的功能是對輸入信號進行濾波濾波器的功能是對輸入信號進行濾波 以增強所需信號部分以增強所需信號部分, ,抑制不要的部分。抑制不要的部分。 a a） 時域說明時域說明 b b） 頻域說明頻域說明 2021/3/23 （2） 四種基本的濾波器四種基本的濾波器 四種基本濾波器為低通（四種基本濾波器為低通（LP）、高通）、高通 （HP）、帶通（）、帶通（BP）和帶阻濾波器（）和帶阻濾波器（BRF）: 2021/3/23 （3） 四種基本濾波器的數字表示四種基本濾波器的數字表示 低通 高通 帶通 帶阻 )(

3、 j eH )( j eH )( j eH )( j eH 22 22 22 22 2021/3/23 2、LP到其他濾波器的變換 由LP實現的HP 2021/3/23 LP實現的BP 2021/3/23 LP實現的BRF 2021/3/23 3、 濾波器的性能指標 n帶寬:當幅度降低到當幅度降低到0.7070.707時的寬度稱為濾時的寬度稱為濾 波器的帶寬（波器的帶寬（3dB3dB帶寬）帶寬） 2021/3/23 n通帶、阻帶與過渡帶:信號允許通過的頻帶為 通帶,完全不允許通過的頻帶為阻帶,通帶與 阻帶之間為過渡帶。 2021/3/23 n滾降與滾降率:濾波器幅頻特性在過渡濾波器幅頻特性在過

4、渡 帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。帶的衰減和衰減速度稱為滾降與滾降率。 2021/3/23 n阻帶衰減:輸入信號在阻帶的衰減量輸入信號在阻帶的衰減量 2021/3/23 n帶內平坦度:通帶和阻帶內的平坦程度通帶和阻帶內的平坦程度 2021/3/23 4、數字濾波器的設計步驟數字濾波器的設計步驟 q 數字濾波器的設計三個步驟: (1) 按要求確定濾波器的性能參數; (2) 用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系 統(tǒng)函數去逼近去逼近這一性能要求; (3) 用有限精度的運算實現;實現可以采用通用 計算機,也可以采用DSP。 2021/3/23 5、數字濾波器的技術要求、數字濾波器的技術要求 n

5、選頻濾波器的頻率響應: () ()() jjjj H eH ee 為幅頻特性：表示信號通過該濾波器 后各頻率成分的衰減情況 () j H e 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波 器后在時間上的延時情況 ()j 2021/3/23 ：通帶截止頻率 c ：阻帶截止頻率 st ：通帶容限 1 ：阻帶容限 2 st 2 () j H e n阻帶： cst n過渡帶： c 1 1()1 j H e n通帶： 理想濾波器不可實現理想濾波器不可實現, ,只能以實際濾波器逼近只能以實際濾波器逼近 2021/3/23 通帶最大衰減：通帶最大衰減： 1 0 11 () 20lg20lg()20lg(1) () c

6、 c j j j H e H e H e 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減： 2 0 22 () 20lg20lg()20lg () st st j j j H e H e H e 其中：其中： 0 ()1 j H e 當當 時，時，()2/20.707 c j H e 稱稱 為為3dB3dB通帶截止頻率通帶截止頻率 1 3dB c 2021/3/23 6、表征濾波器頻率響應的特征參量 n幅度平方響應 2 * ()()() jjj H eH eHe 1 ()()( )() j jj z e H eH eH z H z 的極點既是共軛的，又是以單的極點既是共軛的，又是以單 位圓成鏡像對稱的位圓成鏡像對

7、稱的 1 ( )()H z H z Re z Im jz 0 1 a a * a * 1/a H H( (z z) )的極點的極點: :單位圓內的極點單位圓內的極點 2021/3/23 n相位響應相位響應 () ()()Re()Im() j jjjejj H eH eeH ejH e *() ()() j jjje HeH ee * 1() ()ln 2() j j j H e e jHe 1 1( ) ln 2() j z e H z jH z () j H e 2() * () () j j je j H e e He Im() ()arctan Re() j j j H e e H e

8、相位響應：相位響應： 2021/3/23 () () j j de e d ( )1 Re ( ) j z e dH z z dzH z n群延遲響應 相位對角頻率的導數的負值相位對角頻率的導數的負值 () j e 若濾波器通帶內若濾波器通帶內 = = 常數，常數， 則為則為線性相位濾波器線性相位濾波器 2021/3/23 7、IIR數字濾波器的設計方法 n先設計模擬濾波器,再轉換為數字濾波器 0 1 ( ) 1 M k k k N k k k b z H z a z 用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSILSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求系統(tǒng)逼近給定的性能要求: : , kk ab 即為求濾波

9、器的各系數即為求濾波器的各系數 n計算機輔助設計法 s s平面逼近平面逼近: :模擬濾波器模擬濾波器 z z平面逼近平面逼近: :數字濾波器數字濾波器 2021/3/23 6.2 最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小最小與最大相位延時系統(tǒng)、最小 與最大相位超前系統(tǒng)與最大相位超前系統(tǒng) LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數: 1 () 11 1 11 (1)() ( ) (1)() MM mm N M mm NN kk kk c zzc H zKKz d zzd ()arg() 1 1 () ()() () j M j m jj N MjjH e m N j k k ec H eKeH ee ed 頻率響應: 2021/

10、3/23 n模模: 1 1 () M j jm m N j k k ec H e K ed 各零矢量模的連乘積 各極矢量模的連乘積 11 () argargarg () j MN jj mk mk H e ecedNM K n相角: 2021/3/23 02 ,2當當 位于單位圓內的零位于單位圓內的零/ /極矢量角度變化為極矢量角度變化為2 2 位于單位圓外的零位于單位圓外的零/ /極矢量角度變化為極矢量角度變化為 0 0 Re z Im jz 0 11 () argargarg () j MN jj mk mk H e ecedNM K 2021/3/23 io mmM io ppN 令：令

11、： 單位圓內零點數為單位圓內零點數為m mi i 單位圓外的零點數為單位圓外的零點數為m mo o 單位圓內的極點數為單位圓內的極點數為p pi i 單位圓外的極點數為單位圓外的極點數為p po o 2 () arg2 ()22 j ii H e NMmp K 則則: : 11 () argargarg () j MN jj mk mk H e ecedNM K 2021/3/23 全部極點在單位圓內全部極點在單位圓內:po = 0,pi = N n因果穩(wěn)定系統(tǒng)因果穩(wěn)定系統(tǒng) 2 () arg222 () j ii H e mpNM K 22 i mM 1 1）全部零點在單位圓內）全部零點在單位

12、圓內: :,0 io mM m arg0 2 2）全部零點在單位圓外）全部零點在單位圓外: : 0, io mmM arg2 M 20 o m 為為最小相位延時系統(tǒng)最小相位延時系統(tǒng) 為為最大相位延時系統(tǒng)最大相位延時系統(tǒng) , 1 zr r n 0時，時，h(n) = 0 2021/3/23 最小相位延時系統(tǒng)的性質最小相位延時系統(tǒng)的性質 1 1）在）在 相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后相同的系統(tǒng)中，具有最小的相位滯后 () j H e 2 2）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在）最小相位延時系統(tǒng)的能量集中在n=0n=0附近附近, ,而總而總 能量相同能量相同 5 5）級聯一個全通系統(tǒng)）級聯一個全通系統(tǒng),

13、 ,可以將一最小相位系統(tǒng)轉變成一可以將一最小相位系統(tǒng)轉變成一 相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng)相同幅度響應的非最小相位延時系統(tǒng) 4 4）在）在 相同的系統(tǒng)中，相同的系統(tǒng)中， 唯一唯一 () j H e min ( )hn 3 3）最小相位序列的）最小相位序列的 最大：最大： min (0)h min (0)(0)hh 22 min 00 ( )( ) mm nn h nhn 1mN 11 22 min 00 ( )( ) NN nn h nhn 2021/3/23 6.3 全通系統(tǒng)全通系統(tǒng) 對所有對所有 ，滿足：，滿足： ()1 j ap He 稱該系統(tǒng)為稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)全通系統(tǒng) 2021/

14、3/23 n一階全通系統(tǒng)一階全通系統(tǒng): 1 1 ( ) 1 ap za Hza az 為實數 01a za極點極點:1/za零點零點: 零極點以單位圓為鏡像對稱零極點以單位圓為鏡像對稱 za 極點極點: 1* 1 ( ) 1 ap za Hza az 為復數 01a * 1/za零點零點: 2021/3/23 n實系數二階全通系統(tǒng)實系數二階全通系統(tǒng) 1*1 11 ( ) 11* ap zaza Hz aza z 1a 兩個零點（極點）共軛對稱兩個零點（極點）共軛對稱 * zaa ， 極點極點: * 1/zaa，1/零點零點: 零點與極點以單位圓為鏡像對稱零點與極點以單位圓為鏡像對稱 2021/

15、3/23 n N 階數字全通濾波器階數字全通濾波器 1* 1 1 ( ) 1 N k k k za H z a z 1(1) 11 1(1) 11 . 1. NN NN NN NN ddzd zz d zdzd z 1 () ( ) N zD z D z 極點：極點： 的根的根( )D z 1 j p zrer 零點：零點： 的根的根 1 ()D z 1 1 j o zer r 2021/3/23 n全通系統(tǒng)的應用全通系統(tǒng)的應用 min ( )( )( ) ap H zHzHz 1 1）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)）任一因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)H(z)都可以表示成全通系都可以表示成全通系 統(tǒng)統(tǒng)H Hap ap

16、(z) (z)和最小相位系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)H Hmin min(z) (z)的級聯的級聯 11* 100 ( )( )()()H zH z zzzz 令： 其中：其中：H H1 1(z)(z)為最小相位延時系統(tǒng)，為最小相位延時系統(tǒng)， 為單位圓外的一對共軛零點為單位圓外的一對共軛零點 * 000 1/ 1zzz，1/ ， 2021/3/23 *11 11* 00 100 *11 00 11 ( )( ) 11 z zz z H zH zzzzz z zz z 11* *11 00 100 *11 00 ( ) 11 11 zzzz Hzz zz z z zz z min ( )( ) ap Hz

17、Hz 把把H(z)H(z)單位圓外的零點：單位圓外的零點： 映射到單位圓內的鏡像位置：映射到單位圓內的鏡像位置： 構成構成H Hmin min(z) (z)的零點。的零點。 * 000 1/, 1/ , 1zzzz * 00 , zzz 而幅度響應不變而幅度響應不變: minmin ()()()() jjjj ap H eHeHeHe P231 圖圖66 2021/3/23 2 2）級聯一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成）級聯一個全通系統(tǒng)可以使非穩(wěn)定濾波器變成 一個穩(wěn)定濾波器一個穩(wěn)定濾波器 把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內把非穩(wěn)定系統(tǒng)的單位圓外的極點映射到單位圓內 單位圓外極點單位圓

18、外極點: : 1 1 j zer r ， 11 11 ( ) 11 jj ap jj zrezre Hz rezre z 2021/3/23 ( )( )( ) dap H zHzHz 0 ( ) ( )( )( ) dap d d 3 3）作為相位均衡器）作為相位均衡器, ,校正系統(tǒng)的非線性相位校正系統(tǒng)的非線性相位, , 而不改變系統(tǒng)的幅度特性而不改變系統(tǒng)的幅度特性 ()()() jjj dap H eHeHe ()() ()() dap j jj dap HeHee 2 2 2 00 ( )( )( ) apd e 利用均方誤差最小準則求均衡器利用均方誤差最小準則求均衡器H Hap ap(

19、z) (z)的有關參數的有關參數 2021/3/23 6.4 用模擬濾波器設計用模擬濾波器設計IIR數字濾波器數字濾波器 n設計思想設計思想: s 平面平面 z 平面平面 模擬系統(tǒng)模擬系統(tǒng) 數字系統(tǒng)數字系統(tǒng)( )( ) a HsH z nH(z) 的頻率響應要能模仿的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應的頻率響應, 即即 s 平面的虛軸映射到平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓平面的單位圓 n因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的映射到因果穩(wěn)定的 H(z) , 即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Res 0 映射到映射到 z 平面的單位圓內平面的單位圓內 |z| s/2處衰減

20、越快處衰減越快,失真越小失真越小 n當濾波器的設計指標以數字域頻率當濾波器的設計指標以數字域頻率 c給定時給定時, 不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現象不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現象 2021/3/23 二、模擬濾波器的數字化二、模擬濾波器的數字化 1 ( ) N k a k k A Hs ss 1 11 k N k s T k A ez ( )( )()( )( ) aaa Hsh th nTh nH z 1 1 ( )( )( ) k N s t aak k h tLHsA e u t 1 ( )()() k N s nT ak k h nh nTA eu nT ( )( ) n n H

21、 zh n z 01 k N n s Tn k nk A ez 1 10 k N n s T k kn Aez 2021/3/23 n系數相同：系數相同： k A 1 ( ) N k a k k A Hs ss 1 1 ( ) 1 k N k s T k A H z ez n極點：極點：s 平面平面 z 平面平面 k ss k s T ze n穩(wěn)定性不變：穩(wěn)定性不變：s 平面平面 z 平面平面 Re 0 k s 1 k s T e 2021/3/23 1 () j a H eHj TT 1 1 ( ) 1 k N k s T k TA H z ez 當當T 很小時很小時,數字濾波器增益很大數字

22、濾波器增益很大,易溢出易溢出,需修正需修正 ( )() a h nTh nT令令: 2 () j a k k H eHj T 則則: a Hj T 2021/3/23 2 211 ( ) 4313 a Hs ssss 試用沖激響應不變法試用沖激響應不變法, ,設計設計IIRIIR數字濾波器數字濾波器 例例: :設模擬濾波器的系統(tǒng)函數為設模擬濾波器的系統(tǒng)函數為 解解: :據題意據題意, ,得數字濾波器的系統(tǒng)函數得數字濾波器的系統(tǒng)函數: : 131 ( ) 11 TT TT H z ezez 31 3142 1 TT TTT T eez eezez 1 ( ) N k a k k A Hs ss

23、1 1 ( ) 1 k N k s T k TA H z ez 1 12 0.318 ( ) 1 0.41770.01831 z H z zz 設設T = 1s,T = 1s,則則 2021/3/23 1 12 0.318 ( ) 1 0.41770.01831 z H z zz 模擬濾波器的頻率響應模擬濾波器的頻率響應: 數字濾波器的頻率響應數字濾波器的頻率響應: 2 0.318 () 1 0.41770.01831 j j jj e H e ee 2 2 () (3)4 a Hj j 2021/3/23 n優(yōu)點優(yōu)點: n缺點缺點: n保持線性關系保持線性關系: = T 線性相位模擬濾波器轉

24、變?yōu)榫€性相位數字濾波器線性相位模擬濾波器轉變?yōu)榫€性相位數字濾波器 n頻率響應混迭頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器只適用于限帶的低通、帶通濾波器 nh(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t) 時域逼近良好時域逼近良好 沖激響應不變法的優(yōu)缺點沖激響應不變法的優(yōu)缺點 2021/3/23 6.6 階躍響應不變法階躍響應不變法 n變換原理變換原理 ( )( )() at nTa g ng tgnT 數字濾波器的階躍響應數字濾波器的階躍響應g(n) 模仿模擬濾波器的階躍響應模仿模擬濾波器的階躍響應ga(t) T 抽樣周期抽樣周期 2021/3/23 1

25、( )( ) aa G sHs s ( )( ) 1 z G zH z z ( )( )() at nTa g ng tgnT ( )( ) sT a z e G zG s 12 a k Gsjk TT ( ) 2 1 1 sT k z a e Gsj z H z z k TT 2 1 2 a k sjk T T sjk H T 階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現階躍響應不變法同樣有頻率響應的混疊失真現 象但比沖激響應不變法要小。象但比沖激響應不變法要小。 2021/3/23 例例:二階二階Butterworth 歸一化模擬濾波器（歸一化模擬濾波器（LPF）為）為: 12 1 )( 2

26、ss sH a 設計對應設計對應3dB截止模擬頻率為截止模擬頻率為50Hz的二階的二階 Butterworth數字濾波器。設數字系統(tǒng)采樣頻率為數字濾波器。設數字系統(tǒng)采樣頻率為 500Hz,并采用階躍響應不變法來設計。并采用階躍響應不變法來設計。 解解:求模擬系統(tǒng)函數求模擬系統(tǒng)函數: ) 502 ()( s HsH aa 42 4 1086960. 9288.444 108696. 9 ss 2021/3/23 最后得最后得 （用在（用在z z-1 -1表示） 表示） )( 1 )(zG z z zH )41124070. 01580459. 11 10784999. 014534481. 0

27、21 21 zz zz )41124070. 01580459. 1)(1( 10784999. 014534481. 0 )( 2 2 zzz zz zG 代入代入T=1/500,計算計算ZT得得 2021/3/23 6.7 雙線性變換法雙線性變換法 q沖激響應不變法、階躍響應不變法沖激響應不變法、階躍響應不變法:時域模時域模 仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真 q為了克服這一缺點為了克服這一缺點,采用采用雙線性變換法雙線性變換法。 q使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的 頻率響應相似頻率響應相似 2021/3/23 一、

28、變換原理及特點一、變換原理及特點 q脈沖響應不變法的映射是多值映射脈沖響應不變法的映射是多值映射, ,導致頻導致頻 率響應交疊。率響應交疊。 q改進思路改進思路: :先將先將s s域平面壓縮到一個中介平域平面壓縮到一個中介平 面面s s1 1, ,然后再將然后再將s s1 1映射到映射到Z Z平面。平面。 Z平面 1 j 1 Tjj ee 1 單位圓 T/ T/ Ts ez 1 T 1 j 2021/3/23 1 1 1 1 z z s s s z 1 1 Tj Tj e eT jj 1 1 1 1 ) 2 tan( 1 Ts Ts e e s 1 1 1 1 js 11 js 1 s T z

29、e n為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任 一頻率有對應關系一頻率有對應關系,引入系數引入系數 c 1 2 T c tg 1 1 1 1 z sc z cs z cs 2021/3/23 1 2 T c tg 2 c T 2 2）某一特定頻率嚴格相對應）某一特定頻率嚴格相對應: : cc 1 22 cc c T c tgc tg 2 c c cctg 1 1 1）低頻處有較確切的對應關系）低頻處有較確切的對應關系: : 特定頻率處頻率響應嚴格相等特定頻率處頻率響應嚴格相等, ,可以較準確地可以較準確地 控制截止頻率位置控制截止頻率位置 1 1 2 T c

30、 二、變換常數二、變換常數c c的選擇的選擇 2021/3/23 三、逼近情況三、逼近情況 22 22 () () c z c 01z 1 1 11 112 j j ze sccjc tgj ze 1） s平面虛軸平面虛軸z平面單位圓平面單位圓 cscj z cscj 2） 01z 01z 左半平面左半平面單位圓內單位圓內 s平面平面z平面平面 右半平面右半平面單位圓外單位圓外 虛軸虛軸單位圓上單位圓上 2021/3/23 四、優(yōu)缺點四、優(yōu)缺點 n優(yōu)點優(yōu)點: 2 c tg 00 避免了頻率響應的混迭現象避免了頻率響應的混迭現象 s 平面與平面與 z 平面為單值變換平面為單值變換 00 2021

31、/3/23 q 缺點缺點:除了零頻率附近除了零頻率附近, 與與 之間嚴重非線性之間嚴重非線性 2 2）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型）要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型, ,不然不然 會產生畸變會產生畸變 1 1）線性相位模擬濾波器）線性相位模擬濾波器 非線性相位數字濾波器非線性相位數字濾波器 分段常數型模擬濾波器分段常數型模擬濾波器 經變換后仍為分段常數經變換后仍為分段常數 型數字濾波器型數字濾波器, ,但臨界但臨界 頻率點產生畸變頻率點產生畸變 11 /T 1 1 11 2 tg c 2021/3/23 預畸變預畸變 給定數字濾波器的截止頻率給定數字濾波器的截止頻率 1,則則 1

32、1 2 c tg 按按 1設計模擬濾設計模擬濾 波器波器,經雙線性變經雙線性變 換后換后,即可得到即可得到 1 為截止頻率的數為截止頻率的數 字濾波器字濾波器 2021/3/23 五、模擬濾波器數字化方法五、模擬濾波器數字化方法 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) 1 aa z s c z z H zHsHc z q可分解成級聯的低階子系統(tǒng)可分解成級聯的低階子系統(tǒng) 1 1 1 1 ( )( ) 1,2,., i ia z s c z H zHsim 其中： 12 ( )( )( )( ) m aaaa HsHs HsHs 12 ( )( )( )( ) m H zH z HzHz 202

33、1/3/23 q可分解成并聯的低階子系統(tǒng)可分解成并聯的低階子系統(tǒng) 12 ( )( )( )( ) m aaaa HsHsHsHs 12 ( )( )( )( ) m H zH zHzHz 1 1 1 1 ( )( ) 1,2,., i ia z s c z H zHsim 其中： 2021/3/23 6.8 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 n將數字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術將數字濾波器技術指標轉變成模擬濾波器技術 指標指標,設計模擬濾波器設計模擬濾波器,再轉換成數字濾波器再轉換成數字濾波器 n模擬濾波器模擬濾波器 n巴特沃斯巴特沃斯 Butterworth 濾波器濾波器

34、n切比雪夫切比雪夫 Chebyshev 濾波器濾波器 n橢圓橢圓 Ellipse 濾波器濾波器 n貝塞爾貝塞爾 Bessel 濾波器濾波器 2021/3/23 1、由幅度平方函數、由幅度平方函數 確定模擬濾波器確定模擬濾波器 的系統(tǒng)函數的系統(tǒng)函數 2 * ()()() aaa HjHjHj ( )() aasj Hs Hs h(t)是實函數是實函數 2 () a Hj ( ) a Hs ()() aa HjHj 將左半平面的的極點歸將左半平面的的極點歸Ha(s) 將以虛軸為對稱軸的對將以虛軸為對稱軸的對 稱零點的任一半作為稱零點的任一半作為Ha(s) 的零點的零點,虛軸上的零點一虛軸上的零點一

35、 半歸半歸Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零極點分布的零極點分布 2021/3/23 由幅度平方函數得象限對稱的由幅度平方函數得象限對稱的s平面函數平面函數 n對比對比 和和 ，確定增益常數，確定增益常數() a Hj( ) a Hs n由零極點及增益常數，得由零極點及增益常數，得( ) a Hs 2 ()( ) aa HjHs由確定的方法 2021/3/23 22 2 22 16(25) ()( ) (49)(36) aa HjHs 已知幅度平方函數： ，求系統(tǒng)函數 例例: : 解解: : 22 2 2 2 22 16(25) ( )()() (49)(36) aaa s s Hs Hs

36、Hj ss 7, 6ss 極點極點: :零點零點: : （二階）（二階）5sj 零點零點: :5sj 7, 6ss 的極點的極點: :( ) a Hs 設增益常數為設增益常數為K K0 0 2 0( 25) ( ) (7)(6) a Ks Hs ss 000 2 ( )()4 asa HsHjK 45 由=，得 7 6 22 2 4(25)4100 ( ) (7)(6)1342 a ss Hs ssss 2021/3/23 1） 巴特沃爾斯濾波器（巴特沃爾斯濾波器（Butterworth） 2、常見模擬濾波器設計、常見模擬濾波器設計 幅度平方函數幅度平方函數: 2 2 1 () 1 aN c

37、Hj 當當 2 ()1/2 ac Hj時 稱稱 c c為為ButterworthButterworth低通濾波器的低通濾波器的3 3分貝帶寬分貝帶寬 1 ( 0) 20lg3 () a ac Hj dB Hj N N為濾波器的階數為濾波器的階數 c c為通帶截止頻率為通帶截止頻率 2021/3/23 1）幅度函數特點）幅度函數特點: 2 2 1 () 1 aN c Hj 2 0()1 a Hj n 2 1 ()1/23 ca HjdB n 3dB不變不變 性性 c 通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小通帶內有最大平坦的幅度特性，單調減小 c 過渡帶及阻帶內快速單調減小過渡帶及阻帶內快速單調減小

38、 當當 st（阻帶截止頻率）時（阻帶截止頻率）時,衰減的衰減的 1為阻帶最小衰減為阻帶最小衰減 0123 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Magnitude Butterworth Filter N = 2 N = 4 N = 10 2021/3/23 ButterworthButterworth濾波器是一個全極點濾波器濾波器是一個全極點濾波器, ,其極點其極點: : 2 2 / 1 ()( )() 1 aaaN s j c HjHs Hs s j 121 1 22 2 ( 1)1,2,.,2 k j N N kcc sjekN 2 2）幅度平方特性的極點分布）幅度平方特性的極點分布:

39、 : 2021/3/23 極點在極點在s平面呈象限對稱平面呈象限對稱,分布在分布在Buttterworth圓上圓上,共共2N點點 極點間的角度間隔為極點間的角度間隔為/ N rad 極點不落在虛軸上極點不落在虛軸上 N N為奇數為奇數, ,實軸上有極點實軸上有極點,N,N為偶數為偶數, ,實軸上無極點實軸上無極點 Ha(s) Ha(-s)的零極點分布的零極點分布 (a) N=4 (三階）三階） (b)N=4 （四階）（四階） 2021/3/23 3 3）濾波器的系統(tǒng)函數）濾波器的系統(tǒng)函數: : 1 ( ) () N c aN k k Hs ss 121 22 1,2,., k j N kc s

40、ekN 1 / ccr rad s 為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數 ( ) an Hs 去歸一化去歸一化, ,得得 ( )( ) cr c aan ss HsHs cr an c s H 2021/3/23 4 4）濾波器的設計步驟）濾波器的設計步驟: : 2 2 1 () 1 apN p c Hj 1 2 0.1 0.1 101 101 sp k n根據技術指標求出濾波器階數根據技術指標求出濾波器階數N: : 12ps n確定技術指標確定技術指標: : 1 20lg() ap Hj 由由 1 2 0.1 110 N p c 得得: : 2 2 0.1 110 N s c 同理同

41、理: : s sp p 令令 lg lg sp sp k N 則則: : 1 2 0.1 0.1 101 101 N p s 2021/3/23 n求出歸一化系統(tǒng)函數求出歸一化系統(tǒng)函數: 1 1 ( ) () anN k k Hs ss 或者由或者由N,直接查表得直接查表得( ) an Hs ( ) aan c s HsH 其中技術指標其中技術指標 c給出或由下式求出給出或由下式求出: 1 1 0.1 2 101 N cp 121 22 1,2,., k j N kc sekN 其中極點其中極點: n去歸一化去歸一化 阻帶指標有富裕阻帶指標有富裕 2 1 0.1 2 101 N cs 或或 通

42、帶指標有富裕通帶指標有富裕 2021/3/23 n例例:設計設計Butterworth數字低通濾波器數字低通濾波器,要求在頻率要求在頻率 低于低于0.2 rad的通帶內幅度特性下降小于的通帶內幅度特性下降小于1dB。在。在 頻率頻率0.3 到到 之間的阻帶內之間的阻帶內,衰減大于衰減大于15dB。分別。分別 用沖激響應不變法和雙線性變換法。用沖激響應不變法和雙線性變換法。 /0.2 / pp Trad s /0.3 / ss Trad s 0.2 p rad 0.3 s rad 1 1dB 2 15dB 1 1dB 2 15dB 1、用沖激響應不變法設計、用沖激響應不變法設計 1）由數字濾波器

43、的技術指標）由數字濾波器的技術指標: 2）得模擬濾波器的技術指標）得模擬濾波器的技術指標:選選T = 1 s 2021/3/23 /1.5 spsp 1 2 0.1 0.1 101 0.092 101 sp k lg/lg5.8846 spsp NkN 取 1 1 0.1 2 1010.7032/ N cp rad s a）確定參數）確定參數 用通帶技術指標用通帶技術指標,使阻帶特性較好使阻帶特性較好,改善混迭失真改善混迭失真 3）設計）設計Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器 2021/3/23 b) 求出極點（左半平面）求出極點（左半平面） 121 22 1,2,.,6 k

44、j N kc sek 6 6 1 ( ) () c a k k Hs ss 23456 1 ( ) 1 3.86377.46419.14167.46413.8637 an Hs ssssss 65432 0.1209 ( ) 2.7163.6913.1791.8250.1210.1209 aan c s H sH ssssss c) 構造系統(tǒng)函數構造系統(tǒng)函數 或者或者 b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得 c) 去歸一化去歸一化 2021/3/23 4）將）將Ha(s)展成部分分式形式展成部分分式形式: 1 ( ) N k a k k A Hs ss 1 1 ( ) 1 k N k s

45、 T k TA H z ez 11 1212 0.2871 0.44662.1428 1.1454 1 0.12970.69491 1.06910.3699 zz zzzz 1 12 1.85580.6304 1 0.99720.2570 z zz 變換成變換成Butterworth數字濾波器數字濾波器: 2021/3/23 用沖激響應不變法設計出的用沖激響應不變法設計出的Butterworth濾波器濾波器 2021/3/23 2、用雙線性變換法設計、用雙線性變換法設計 2 0.65 / 2 p p tgrad s T 2 1.019 / 2 s s tgrad s T 0.2 p rad 0

46、.3 s rad 1 1dB 2 15dB 1 1dB 2 15dB 1Ts選 1）由數字濾波器的技術指標）由數字濾波器的技術指標: 2）考慮預畸變）考慮預畸變,得模擬濾波器的技術指標得模擬濾波器的技術指標: 2021/3/23 /1.568 spsp 1 2 0.1 0.1 101 0.092 101 sp k lg/lg5.3066 spsp NkN 取 2 1 0.1 2 1010.7662/ N cs rad s a）確定參數）確定參數 用阻帶技術指標用阻帶技術指標,使通帶特性較好使通帶特性較好,因無混迭問題因無混迭問題 3）設計）設計Butterworth模擬低通濾波器模擬低通濾波器

47、 2021/3/23 b) 求出極點（左半平面）求出極點（左半平面） 121 22 1,2,.,6 k j N kc sek 6 6 1 ( ) () c a k k Hs ss c) 構造系統(tǒng)函數構造系統(tǒng)函數 2021/3/23 23456 1 ( ) 1 3.86377.46419.14167.46413.8637 an Hs ssssss 222 0.2024 0.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss 或者或者 b) 由由N = 6，直接查表得，直接查表得 c) 去歸一化去歸一化 ( ) aan c s HsH 2021/3/23 1 1 2 1 1

48、 ( )( ) a z s Tz H zHs 1212 11 (1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz 12 1 (1 0.90440.2155)zz 4）將）將Ha(s)變換成變換成Butterworth數字濾波器數字濾波器: 2021/3/23 2） 切貝雪夫濾波器（切貝雪夫濾波器（ Chebyshev ） 2 22 1 () 1() a N c Hj C N:濾波器的階數濾波器的階數 c :截止頻率截止頻率,不一定為不一定為3dB帶寬帶寬 0 1,表示通帶波紋大小表示通帶波紋大小, 越大越大,波紋越大波紋越大 CN(x) :N階階Chebyshev多項式多項式

49、 1 1 cos(cos)1 ( ) ()1 N Nxx Cx ch Nch xx 等波紋幅度特性 單調增加 Type I Chebyshev 2021/3/23 nN為偶數為偶數 2 ( 0)1/ 1 a Hj nN為奇數為奇數 ( 0)1 a Hj 0 n n 2 ()1/ 1 ca Hj n 通帶內：在通帶內：在1和和 間等波紋起伏間等波紋起伏 c 2 1/ 1 n 通帶外：迅速單調下降趨向通帶外：迅速單調下降趨向0 c 2021/3/23 Chebyshev濾波器的三個參量濾波器的三個參量: n c :通帶截止頻率通帶截止頻率,給定給定 n :表征通帶內波紋大小表征通帶內波紋大小 2

50、0.11 1 1 101 s c ch N ch 1 0.12 101 2 max 1 min () 20lg20lg 1 () a a Hj Hj nN:濾波器階數濾波器階數,等于通帶內最大最小值的總數等于通帶內最大最小值的總數 由通帶衰減決定由通帶衰減決定 阻帶衰減越大阻帶衰減越大 所需階數越高所需階數越高 s為阻帶截止頻率為阻帶截止頻率 2021/3/23 2 2 2 )/( )( 1 1 )( stN stN a C C jH Type II Chebyshev filter 通帶內通帶內:單調特性單調特性 阻帶內阻帶內:等波紋起伏等波紋起伏 2021/3/23 n例例:用雙線性變換法

51、設計用雙線性變換法設計Chebyshev數字低通濾波數字低通濾波 器器,要求在頻率低于要求在頻率低于0.2 rad的通帶內幅度特性下降的通帶內幅度特性下降 小于小于1dB。在頻率。在頻率0.3 到到 之間的阻帶內之間的阻帶內,衰減大于衰減大于 15dB。 2 0.65 / 2 p p tgrad s T 2 1.019 / 2 s s tgrad s T 0.2 p rad 0.3 s rad 1 1dB 2 15dB 1 1dB 2 15dB 1Ts選 1）由數字濾波器的技術指標）由數字濾波器的技術指標: 2）考慮預畸變）考慮預畸變,得模擬濾波器的技術指標得模擬濾波器的技術指標: 2021/3/