24線段的垂直平分線

1、線段的垂直平分線 本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 2.4 觀察觀察 如圖如圖，人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點人字形屋頂?shù)目蚣苤?，點A與點與點A關(guān)關(guān) 于線段于線段CD所在的直線所在的直線l 對稱對稱，問，問線段線段CD所在的直所在的直 線線l 與線段與線段AA有什么關(guān)系有什么關(guān)系？ 我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn) AD=A D lAA ., , 我們可以把人字形屋頂框架圖進行簡化得到下圖我們可以把人字形屋頂框架圖進行簡化得到下圖. 已知點已知點A與點與點A關(guān)于直線關(guān)于直線l 對稱，如果沿直線對稱，如果沿直線l折疊，折疊， 則點則點A與點與點A重合，重合，AD=AD，1=2= 90，即直線，即直線 l 既平分線段既平分線段AA，又垂直線

2、段，又垂直線段AA. l A A D 21 (A) 我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條 線段的線段的垂直平分線垂直平分線. 由上可知：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平由上可知：線段是軸對稱圖形，線段的垂直平 分線是它的對稱軸分線是它的對稱軸. 如圖，在線段如圖，在線段AB的垂直平分線的垂直平分線l 上任上任 取一點取一點P，連接，連接PA，PB，線段，線段PA，PB之之 間有什么關(guān)系間有什么關(guān)系？ 探究探究 探究探究 作關(guān)于直線作關(guān)于直線l 的軸反射的軸反射（即沿直線即沿直線l 對折對折），由于，由于 l 是線段是線段AB的垂直平分線，因此點的垂直平分線

3、，因此點A與點與點B重合重合. 從從 而線段而線段PA與線段與線段PB重合，于是重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 結(jié)論結(jié)論 線段垂直平分線上的點到線段兩端線段垂直平分線上的點到線段兩端 的距離相等的距離相等. 由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理：由此得出線段垂直平分線的性質(zhì)定理： 動腦筋動腦筋 我們知道線段垂直平分線上的點到線段兩我們知道線段垂直平分線上的點到線段兩 端的距離相等，反過來，如果已知一點端的距離相等，反過來，如果已知一點P到線段到線段 AB兩端的距離兩端的距離PA與與PB相等，那么點相等，那么點P在線段在線段AB 的垂直平分線上嗎的垂直平分線上嗎？ （1）當(dāng)點

4、當(dāng)點P在線段在線段AB上時，上時， 因為因為PA=PB， 所以點所以點P為線段為線段AB的中點，的中點， 顯然此時點顯然此時點P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上. （2）當(dāng)點當(dāng)點P在線段在線段AB外時，如下圖所示外時，如下圖所示. 因為因為PA=PB， 所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形. 過頂點過頂點P作作PCAB，垂足為點，垂足為點C， 從而底邊從而底邊AB上的高上的高PC也是底邊也是底邊AB上的中線上的中線. 即即 PCAB，且，且AC=BC. 因此直線因此直線PC是線段是線段AB的垂直平分線，的垂直平分線， 此時點此時點P也在線段也在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上

5、. 結(jié)論結(jié)論 到線段兩端距離相等的點在線段的垂到線段兩端距離相等的點在線段的垂 直平分線上直平分線上. 由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：由此得到線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理： 例例 已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB，BC的垂直平的垂直平 分線相交于點分線相交于點O，連接，連接OA，OB，OC. 求證：點求證：點O在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上. 舉舉 例例 證明證明 點點O在線段在線段AB的垂直平分線上，的垂直平分線上， OA=OB. 同理同理OB=OC. OA=OC. 點點O在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上. 練習(xí)練習(xí) 1. 如圖，在如圖，在ABC中，中

6、，AB的垂直平分線分別交的垂直平分線分別交 AB，BC于點于點D，E，B=30，BAC= 80， 求求CAE的度數(shù)的度數(shù). 答：答：CAE=50. 2.已知：如圖，點已知：如圖，點C，D是線段是線段AB外的兩點，且外的兩點，且 AC =BC，AD=BD，AB與與CD相交于點相交于點O. 求證：求證：AO=BO. 證明：證明： AC =BC，AD=BD， 點點C和點和點D在線段在線段AB的垂直平分線上，的垂直平分線上， CD為線段為線段AB的垂直平分線的垂直平分線. 又又 AB與與CD相交于點相交于點OAO=BO. 做一做做一做 如圖，已知線段如圖，已知線段AB，作線段，作線段AB的垂直平分線的

7、垂直平分線. 根據(jù)根據(jù)“到線段兩端距離相等到線段兩端距離相等 的點在線段的垂直平分線上的點在線段的垂直平分線上”， 要作線段要作線段AB的垂直平分線，關(guān)鍵的垂直平分線，關(guān)鍵 是找出到線段是找出到線段AB兩端距離相等的兩端距離相等的 兩點兩點. 因為線段因為線段AB的垂直平分線的垂直平分線CD與線段與線段AB的的 交點就是線段交點就是線段AB的中點，所以可以用這種方法的中點，所以可以用這種方法 作出線段的中點作出線段的中點. 動腦筋動腦筋 如何過一點如何過一點P作已知直線作已知直線l的垂線呢的垂線呢？ 由于兩點確定一條直線，由于兩點確定一條直線， 因此我們可以通過在已知直線因此我們可以通過在已知

8、直線 上作線段的垂直平分線來找出上作線段的垂直平分線來找出 垂線上的另一點，從而確定已垂線上的另一點，從而確定已 知直線的垂線知直線的垂線. 用尺規(guī)完成下列作圖用尺規(guī)完成下列作圖（只保留作圖痕跡，不要只保留作圖痕跡，不要 求寫出作法求寫出作法）. . 1. 如圖，在直線如圖，在直線l上求作一點上求作一點P，使，使PA= PB. 練習(xí)練習(xí) 2. 如圖，作出如圖，作出ABC的的BC邊上的高邊上的高. 如圖，在如圖，在ABC中，中，BC=8cm，AB的垂直的垂直 平分線交平分線交AB于點于點D，交邊，交邊AC于點于點E，BCE 的周長等于的周長等于18cm，則，則AC的長等于（的長等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm 中考中考 試題試題 例例 解析解析 DE是是AB的垂直平分線，的垂直平分線， AE=BE( (線段