選修2-2 第二章推理與證明

1、2.1.1 合情推理（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解歸納推理的含義；2. 能利用歸納進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P28 P30，找出疑惑之處）在日常生活中我們常常遇到這樣的現(xiàn)象：（1）看到天空烏云密布，燕子低飛，螞蟻搬家，推斷天要下雨；（2）八月十五云遮月，來年正月十五雪打燈.以上例子可以得出推理是 的思維過程.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)：歸納推理問題1:哥德巴赫猜想：觀察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=

2、13+37, , 100=3+97，猜想： 問題2：由銅、鐵、鋁、金等金屬能導(dǎo)電，歸納出 .新知：歸納推理就是由某些事物的 ,推出該類事物的 的推理，或者由 的推理.簡言之，歸納推理是由 的推理. 典型例題例1 觀察下列等式： 1+3=4=， 1+3+5=9=， 1+3+5+7=16=， 1+3+5+7+9=25=， 你能猜想到一個(gè)怎樣的結(jié)論？變式：觀察下列等式：1=11+8=9， 1+8+27=36， 1+8+27+64=100， 你能猜想到一個(gè)怎樣的結(jié)論？例2已知數(shù)列的第一項(xiàng)，且，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.變式：在數(shù)列中，（），試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 動(dòng)手試試練1. 應(yīng)用歸納推理猜測

3、的結(jié)果.練2. 在數(shù)列中，（）,試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1歸納推理的定義.2. 歸納推理的一般步驟：通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題（猜想）. 知識(shí)拓展1.費(fèi)馬猜想：法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)馬（1601-1665）在1640年通過對(duì)，的觀察，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果都是素?cái)?shù)，提出猜想：對(duì)所有的自然數(shù)，任何形如的數(shù)都是素?cái)?shù). 后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)不是素?cái)?shù)，推翻費(fèi)馬猜想.2.四色猜想：1852年，畢業(yè)于英國倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家

4、著上不同的顏色.”，四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題.1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用1200個(gè)小時(shí)，作了100億邏輯判斷，完成證明. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1.下列關(guān)于歸納推理的說法錯(cuò)誤的是（ ）. A.歸納推理是由一般到一般的一種推理過程 B.歸納推理是一種由特殊到一般的推理過程 C.歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確 D.歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能2.若，下列說法中正確的是（ ）. A.可以為偶數(shù) B. 一定為奇數(shù) C. 一定為質(zhì)數(shù) D. 必為合數(shù)3.已知 ，猜想的表達(dá)式為（ ）. A. B. C. D.

5、4.，經(jīng)計(jì)算得 猜測當(dāng)時(shí)，有_.5. 從中得出的一般性結(jié)論是_ .2.1.1 合情推理（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解類比推理的含義;2. 能利用類比進(jìn)行簡單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P30 P38，找出疑惑之處）1.已知 ，考察下列式子：；. 我們可以歸納出，對(duì)也成立的類似不等式為 .2. 猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是 .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人類仿照魚類外形及沉浮原理發(fā)明潛水艇；地球上有生命，火星與地球有許多相似點(diǎn)，如都是繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星，有大氣層，也有季節(jié)變更，溫度也適合生物生存，科學(xué)家猜測：

6、火星上有生命存在. 以上都是類比思維，即類比推理.新知：類比推理就是由兩類對(duì)象具有 和其中 ，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理. 簡言之，類比推理是由 到 的推理. 典型例題例1 類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì). 類比角度實(shí)數(shù)的加法實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算律逆運(yùn)算單位元運(yùn)算變式：找出圓與球的相似之處，并用圓的性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì). 圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長圓的面積圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的弦長相等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長以點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程為例2 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想

7、.變式：用三角形的下列性質(zhì)類比出四面體的有關(guān)性質(zhì). 三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線平行且等于第三邊的一半三角形的面積為（r為三角形內(nèi)切圓的半徑）新知： 和 都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行 ，然后提出 的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.一般說合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠. 動(dòng)手試試：如圖，若射線OM，ON上分別存在點(diǎn)與點(diǎn)，則三角形面積之比.若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ上分別存在點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，則類似的結(jié)論是什么？三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1類比推理是由特殊到特殊的推理.2. 類比推理的一般步驟：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事

8、物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)得出一個(gè)命題（猜想）.3. 合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真，但合情推理常常幫我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1.下列說法中正確的是（ ）.A.合情推理是正確的推理 B.合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理 D.類比推理是從特殊到特殊的推理2. 下面使用類比推理正確的是（ ）. A.“若,則”類推出“若,則”B.“若”類推出“”C.“若” 類推出“ （c0）”D.“” 類推出“3. 在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的x的值是 .4. 一同學(xué)在電

9、腦中打出如下若干個(gè)圓若將此若干個(gè)圓按此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么在前2006個(gè)圓中有 個(gè)黑圓.5. 在各項(xiàng)為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足（1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 求2.1.2 演繹推理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會(huì)演繹推理的重要性；2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P39 P42，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：歸納推理是由 到 的推理. 類比推理是由 到 的推理.復(fù)習(xí)2：合情推理的結(jié)論 .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：演繹推理的概念問題：觀察下列例子有什么特點(diǎn)？（1）所

10、有的金屬都能夠?qū)щ?，銅是金屬，所以 ；（2）太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，冥王星是太陽系的大行星，因此 ；（3）在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到時(shí)， ；（4）一切奇數(shù)都不能被2整除，2007是奇數(shù)，所以 ；（5）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，是三角函數(shù)，所以 ；（6）兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).如果A與B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么 .新知：演繹推理是從 出發(fā)，推出 情況下的結(jié)論的推理.簡言之，演繹推理是由 到 的推理.探究任務(wù)二：觀察上述例子，它們都由幾部分組成，各部分有什么特點(diǎn)？所有的金屬都導(dǎo)電 銅是金屬 銅能導(dǎo)電已知的一般原理 特殊情況 根據(jù)原理，對(duì)特

11、殊情況做出的判斷大前提 小前提 結(jié)論新知：“三段論”是演繹推理的一般模式：大前提 ；小前提 ；結(jié)論 .試試：請把探究任務(wù)一中的演繹推理（2）至（6）寫成“三段論”的形式. 典型例題例1 在銳角三角形ABC中，D，E是垂足. 求證：AB的中點(diǎn)M到D，E的距離相等.新知：用集合知識(shí)說明“三段論”： 大前提： 小前提： 結(jié) 論： 例2證明函數(shù)在上是增函數(shù).例3 下面的推理形式正確嗎？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？所有邊長相等的凸多邊形是正多邊形，（大前提）菱形是所有邊長都相等的凸多邊形， （小前提）菱形是正多邊形. （結(jié) 論）小結(jié)：在演繹推理中，只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定正確. 動(dòng)手試試練1.

12、 用三段論證明：通項(xiàng)公式為的數(shù)列是等比數(shù)列.練2. 在中，CD是AB 邊上的高，求證.證明：在中， 所以， 于是.指出上面證明過程中的錯(cuò)誤.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 合情推理；結(jié)論不一定正確.2. 演繹推理：由一般到特殊.前提和推理形式正確結(jié)論一定正確. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，則是增函數(shù).這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)锳.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤2. 有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)

13、誤 D.非以上錯(cuò)誤3. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線平面，則直線直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤4. 用三段論證明：在梯形ABCD中，AD/BC ，AB=DC，則.5. 用三段論證明：為奇函數(shù).2.1 合情推理與演繹推理(練習(xí)) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能利用歸納推理與類比推理進(jìn)行一些簡單的推理;2. 掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理;3. 體會(huì)合情推理和演繹推理的區(qū)別與聯(lián)系. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（復(fù)習(xí)教材P28 P40，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：

14、歸納推理是由 到 的推理. 類比推理是由 到 的推理.合情推理的結(jié)論 .復(fù)習(xí)2：演繹推理是由 到 的推理.演繹推理的結(jié)論 .二、新課導(dǎo)學(xué) 典型例題例1 觀察（1）（2）由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論.變式：已知：通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明.例2 在中，若，則，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想.變式：已知等差數(shù)列的公差為d ，前n項(xiàng)和為，有如下性質(zhì)：（1），（2）若，則， 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，寫出類似的性質(zhì). 動(dòng)手試試練1. 若數(shù)列的通項(xiàng)公式，記，試通過計(jì)算的值，推測出練2. 若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a,b,c,則三角形的面積，

15、根據(jù)類比思想，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為，則四面體的體積V= .三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 合情推理；結(jié)論不一定正確.2. 演繹推理：由一般到特殊.前提和推理形式正確結(jié)論一定正確. 知識(shí)拓展有金盒、銀盒、鋁盒各一個(gè)，只有一個(gè)盒子里有肖像，金盒上寫有命題p：肖像在這個(gè)盒子里，銀盒子上寫有命題q：肖像不在這個(gè)盒子里，鋁盒子上寫有命題r：肖像不在金盒里，這三個(gè)命題有且只有一個(gè)是真命題，問肖像在哪個(gè)盒子里？為什么？ 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 由數(shù)列，猜想該數(shù)列的第n項(xiàng)可能是（ ）.A. B. C. D.2.下面四個(gè)在平面內(nèi)成立的結(jié)論平行于同一直線的兩直線平行一條直線

16、如果與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條相交垂直于同一直線的兩直線平行一條直線如果與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交在空間中也成立的為（ ）.A. B. C. D.3.用演繹推理證明函數(shù)是增函數(shù)時(shí)的大前提是（ ）.A.增函數(shù)的定義 B.函數(shù)滿足增函數(shù)的定義C.若，則D.若, 則4.在數(shù)列中,已知,試歸納推理出 .5. 設(shè)平面內(nèi)有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用表示這條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則= ；當(dāng)時(shí)， （用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）. 2.2.1 綜合法和分析法（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2. 會(huì)

17、用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3. 根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P45 P47，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：兩類基本的證明方法: 和 . 復(fù)習(xí)2：直接證明的兩中方法: 和 .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：綜合法的應(yīng)用問題：已知, 求證:.新知：一般地,利用 ,經(jīng)過一系列的推理論證,最后導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫綜合法.反思：框圖表示： 要點(diǎn)：順推證法；由因?qū)Ч? 典型例題例1已知，求證：變式：已知，求證：.例2 在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比

18、數(shù)列. 求證：為ABC等邊三角形.變式：設(shè)在四面體中,D是AC的中點(diǎn).求證:PD垂直于所在的平面.小結(jié)：解決數(shù)學(xué)問題時(shí),往往要先作語言的轉(zhuǎn)換,如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言,或把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言等,還要通過細(xì)致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來. 動(dòng)手試試練1. 求證：對(duì)于任意角，練2. 為銳角，且，求證：. （提示：算）三、總結(jié)提升 知識(shí)拓展綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設(shè)到結(jié)論的邏輯推理方法,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導(dǎo)出所要求證的命題,綜合法是一種由因索果的證明方法. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1

19、. 已知的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2. 如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則（ ）A B C D3. 設(shè)，則（ ）A B C D4. 已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證:5. 在ABC中，證明：2.2.1 綜合法和分析法(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 會(huì)用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.2. 根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合分析法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P48 P50，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：綜合法是由 導(dǎo) ;復(fù)習(xí)2：基本不等式: 二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：分析法問題：如何證明基本不等式新

20、知：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止. 反思：框圖表示 要點(diǎn)：逆推證法；執(zhí)果索因 典型例題例1求證變式：求證:小結(jié)：證明含有根式的不等式時(shí),用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體中,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證. 變式：設(shè)為一個(gè)三角形的三邊,且,試證.小結(jié)：用題設(shè)不易切入,要注意用分析法來解決問題. 動(dòng)手試試練1. 求證:當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí),圓的面積比正方形的面積大.練2. 設(shè)a, b, c是的ABC三邊，S是三角形的

21、面積，求證：三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)分析法由要證明的結(jié)論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立. 知識(shí)拓展證明過程中分析法和綜合法的區(qū)別:在綜合法中,每個(gè)推理都必須是正確的,每個(gè)推論都應(yīng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結(jié)論成立,依據(jù)假定尋找結(jié)論成立的條件，這樣從結(jié)論一直到已知條件. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 要證明可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D. 歸納法2.不等式;,其中恒成立的是A. B. C. D.都不正確3.已知,且,那么A. B. C. D.4.若,則 .5.將千克的

22、白糖加水配制成千克的糖水,則其濃度為 ;若再加入千克的白糖,糖水更甜了,根據(jù)這一生活常識(shí)提煉出一個(gè)常見的不等式: . 2.2.1 綜合法和分析法（3） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)示例,了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn);2. 學(xué)會(huì)用綜合法和分析法證明實(shí)際問題,并理解分析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系;3. 養(yǎng)成勤于觀察、認(rèn)真思考的數(shù)學(xué)品質(zhì). 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P50 P51，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：綜合法是由 導(dǎo) ;復(fù)習(xí)2：分析法是由 索 .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：綜合法和分析法的綜合運(yùn)用問題：已知,且 求證:.新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證

23、明的結(jié)論，則上述過程可用框圖表示為：試試：已知，求證：.反思：在解決一些復(fù)雜、技巧性強(qiáng)的題目時(shí)，我們可以把綜合法和分析法結(jié)合使用. 典型例題例 已知都是銳角，且，求證：變式：已知，求證：.小結(jié)：牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)是靈活應(yīng)用兩種方法證明問題的前提，本例中，三角公式發(fā)揮著重要作用. 動(dòng)手試試練1. 設(shè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)分別為與，與的等差中項(xiàng)，求證.練2. 已知，且，求證：.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 直接證明包括綜合法和分析法.2. 比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進(jìn)行書寫；或者聯(lián)合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下

24、，兩面夾擊，逐步縮小條件與結(jié)論之間的距離，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑. 知識(shí)拓展綜合法是“由因?qū)Ч?，而分析法是“?zhí)果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運(yùn)用，效果會(huì)更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現(xiàn)，成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 給出下列函數(shù)，其中是偶函數(shù)的有（ ）.A1個(gè) B2個(gè) C3 個(gè) D4個(gè)2. m、n是不同的直線，是不同的平面，有以下四個(gè)命題（ ）. ； ； ；其中為真命題的是（ ）A B

25、. C D3. 下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是（ ）.Aa，b均為負(fù)數(shù)，則 BCD4. 設(shè)、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出四個(gè)命題：若m，m，則 若r，r，則若m，m，則 若m，n，則mn其中真命題是 .5. 已知, 則是的 條件. 2.2.2 反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法反證法；2. 了解反證法的思考過程、特點(diǎn);3. 會(huì)用反證法證明問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P52 P54，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：直接證明的兩種方法: 和 ;復(fù)習(xí)2： 是間接證明的一種基本方法.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)：反證法問題(1)：將

26、9個(gè)球分別染成紅色或白色,那么無論怎樣染,至少有5個(gè)球是同色的,你能證明這個(gè)結(jié)論嗎?問題(2):三十六口缸,九條船來裝,只準(zhǔn)裝單,不準(zhǔn)裝雙,你說怎么裝?新知：一般地，假設(shè)原命題 ，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設(shè) ，從而證明了原命題 .這種證明方法叫 .試試：證明：不可能成等差數(shù)列.反思：證明基本步驟：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)推理論證得到矛盾 矛盾的原因是假設(shè)不成立，從而原命題的結(jié)論成立方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí). 典型例題例1 已知,證明的方程有且只有一

27、個(gè)根.變式：證明在中,若是直角,那么一定是銳角.小結(jié)：應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）.例2求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.變式：求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不少于.小結(jié)：反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個(gè)，至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題. 動(dòng)手試試練1. 如果,那么.練2. 的三邊的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證:.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 反證法的步驟：否定結(jié)論；推理論證；導(dǎo)出矛盾；肯定結(jié)論.2. 反證法適用于證明“存在性，唯一性，至少有一個(gè)，至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問題. 知識(shí)拓展空城計(jì)與反證法空城

28、計(jì)相傳三國時(shí)代,蜀國丞相兼軍師諸葛亮屯兵陽平時(shí)派大將魏延領(lǐng)兵攻打魏國,只留下少數(shù)老弱軍士守城,不料魏國大都督司馬懿率大隊(duì)兵馬殺來,靠幾個(gè)老弱士兵出城應(yīng)戰(zhàn)猶如雞蛋碰石頭,怎么辦?諸葛亮冷靜思考之后,傳令大開城門,讓老弱士兵在城門口灑掃道路,自己則登上城樓,擺好香案,端坐彈琴,態(tài)度從容,琴聲優(yōu)雅, 司馬懿來到城前見此情況,心中疑惑,他想諸葛亮一生精明過人,謹(jǐn)慎有余,今天如此這般與其一生表現(xiàn)矛盾,恐怕城內(nèi)必有伏兵,故意誘我入城,決不能中計(jì),于是急令退兵.諸葛亮正是利用司馬懿這種心理上的矛盾,才以“不守城”來達(dá)到暫時(shí)“守住城”的目的，諸葛亮從問題（守住城）的反面（不守城）考慮，來解決用直接或正面方法（

29、用少數(shù)老弱兵士去拼殺）很難或無法解決的問題，在歷史上留下美談，這就是家喻戶曉的“空城計(jì)”. 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)不大于”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ）.A假設(shè)三內(nèi)角都不大于 B假設(shè)三內(nèi)角都大于C假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于2. 實(shí)數(shù)不全為0等價(jià)于為（ ）.A均不為0 B中至多有一個(gè)為0C中至少有一個(gè)為0 D中至少有一個(gè)不為03.設(shè)都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)（ ）.A都大于2 B.至少有一個(gè)大于2 C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于24. 用反證法證明命題“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的反設(shè)為 .5.已知,且.試證

30、:中至少有一個(gè)小于2.2.3 數(shù)學(xué)歸納法(1) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟;2. 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題，并能嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法證明問題的格式書寫;3. 數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P104 P106，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：在數(shù)列中，先算出a2，a3，a4的值，再推測通項(xiàng)an的公式. 復(fù)習(xí)2：，當(dāng)nN時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)：數(shù)學(xué)歸納法問題：在多米諾骨牌游戲中,能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?新知：數(shù)學(xué)歸納法兩大步：（1）歸納奠基：證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命

31、題成立;（2）歸納遞推：假設(shè)n=k（kn0， kN*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 原因：在基礎(chǔ)和遞推關(guān)系都成立時(shí)，可以遞推出對(duì)所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，命題都成立. 試試：你能證明數(shù)列的通項(xiàng)公式這個(gè)猜想嗎?反思：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法,主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.關(guān)鍵：從假設(shè)n=k成立，證得n=k+1成立. 典型例題例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明小結(jié)：證n=k+1時(shí)，需從假設(shè)出發(fā)，對(duì)比目標(biāo)，分析等式兩邊同增的項(xiàng)，朝目標(biāo)進(jìn)行變形.例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是,公差是的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前項(xiàng)和的公式是.變式：用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項(xiàng)是,公比是的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是,前項(xiàng)和的公式是.()小結(jié)：數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)常證明數(shù)列的相關(guān)問題. 動(dòng)手試試練1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)為整數(shù)時(shí),三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟2. 數(shù)學(xué)歸納法是一種特