橢圓題型方法總結(jié)

1、 【學(xué)大教育】 吳老師【橢圓題型方法總結(jié)】知識(shí)要點(diǎn)一、橢圓的定義 到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。即： 二、橢圓的方程。 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程：（）或（）（其中，） （2）一般方程： 或三、橢圓的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖形f1f2myxoyxof2f1m性質(zhì)范圍對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)a1(-a,0)，a2(a,0) b1(0,-b)， b2(0,b)a1(0,-a)， a2(0,a) b1(-b,0)， b2(b,0)焦點(diǎn)f1（c，0）、f2（c，0）f1（0，c）、f2（0，c）兩軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦距離心率 通徑【易錯(cuò)點(diǎn)】：對(duì)于

2、橢圓定義的把握要明確以下幾點(diǎn)：（1）沒有“平面內(nèi)”這個(gè)條件，則是橢球而不是橢圓；（2）到兩定點(diǎn)f1、f2的距離之和為常數(shù)，常數(shù)必須要大于|f1f2|.【易忽視點(diǎn)】：對(duì)于確定哪種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程則要看焦點(diǎn)的位置，若焦點(diǎn)在x軸上則x2的分母大，若焦點(diǎn)在y軸上則y2的分母大.【常用的思想方法】：方程的思想，解決橢圓問題的實(shí)質(zhì)是確定a,b,c的關(guān)系（方程），求a,b,c的方法是列方程組求解；數(shù)形結(jié)合的思想，充分運(yùn)用幾何圖形所蘊(yùn)藏的性質(zhì)，注意觀察分析。題型方法講解（一）橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1、已知abc的頂點(diǎn)b、c在橢圓y21上，頂點(diǎn)a是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在bc邊上，則abc的周長(zhǎng)是（

3、 ）（a）2 （b）6 （c）4 （d）12【析】通過觀察分析，充分巧妙利用定義（“”）是解決問題的關(guān)鍵例2、如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 .【析】通過觀察分析，利用對(duì)稱性并結(jié)合定義處理。例3、如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a b c d【析】一般方程標(biāo)準(zhǔn)化；焦點(diǎn)在y軸上則y2的分母大例4、已知方程表示橢圓，求的取值范圍?！疚觥坑^察分析橢圓方程的特征：x2 和y2的分母均為正，且不相等（若相等即為圓的方程）。例5、已知4，則曲線和有相同的（ ）a. 長(zhǎng)軸和短軸 b. 焦點(diǎn) c. 離心率 d. 焦距【析】通過

4、觀察分析，充分把握平方關(guān)系“” 是解題的關(guān)鍵。例6、根據(jù)下列條件分別求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8；（2） 橢圓經(jīng)過和【析】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，若不知道焦點(diǎn)位置，通常設(shè)方程為，解題的關(guān)鍵是建立方程組?！咀兪剿伎肌?. abc兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是a（4，0）、b（4，0），周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)c的軌跡方程 .2、已知m為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且,n為 中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 .3、已知橢圓，長(zhǎng)軸在軸上，若焦距為4，則 .4、（2008浙江理12）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn).若，則=_.5、（2009陜西卷文）“”是“方程”表示焦

5、點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_. a.充分而不必要條件 b.必要而不充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件 6、（2009北京文、理）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)p在橢圓上，若，則 ；的大小為 .7、（2009廣東卷理）巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為 8、橢圓有一個(gè)光學(xué)性質(zhì)：光線由一個(gè)焦點(diǎn)射出經(jīng)橢圓壁反射后必然經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)?，F(xiàn)有一個(gè)橢圓形的臺(tái)球桌，橢圓方程為（），一個(gè)球由該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處擊出，經(jīng)桌壁反彈后又回到起點(diǎn)，則球所走的路程為（ ）a b.c. d.以上結(jié)果皆有可能9、已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過 （1）求橢圓的方程 （2

6、）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，判斷以為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系并說明理由。10、（2010課標(biāo)全國(guó)）已知為橢圓 （）的左右焦點(diǎn)，設(shè)過斜率為1的直線與e相較于a、b兩點(diǎn)。且成等差數(shù)列(1)求橢圓的離心率。(2)設(shè)點(diǎn)滿足，求橢圓的方程。11、（2010安徽理數(shù)）19、（本小題滿分13分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，離心率。 ()求橢圓的方程；()求的角平分線所在直線的方程；()在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩 點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由。（二）橢圓的幾何性質(zhì)的考查（1）橢圓的幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用 例1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則 .【析】根

7、據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程確定a,b,c的值，并結(jié)合正弦定理“”的性質(zhì)“”即可。 例2、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為p，則等于（ ） a b. c. d.4【析】掌握橢圓通徑長(zhǎng)并結(jié)合橢圓定義即可解決（2）離心率的求法橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法：求，求，再求比.數(shù)形結(jié)合，充分利用圖形蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系，含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可.例1、如圖，直線過橢圓的左焦點(diǎn)f1和 一個(gè)頂點(diǎn)b，該橢圓的離心率為a b c d例2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1、f2，過f2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)p，若f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是( )a. b. c. d. 例3

8、、設(shè)f1、f2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以f2為圓心作圓f2，已知圓f2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于m點(diǎn)，若直線mf1恰與圓f2相切，則該橢圓的離心率e為（ ）a. 1 b.2 c. d.【變式思考】1、（2010廣東文數(shù)）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（ ） a. b. c. d. 2、（2009江西卷理）過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ） a b c d 3、已知為橢圓 （）的左右焦點(diǎn)，以為邊作正三角形。若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊，則橢圓的離心率為（ ） a b c d 4、(2008湖北卷10)如圖所示，“

9、嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛 向月球，在月球附近一點(diǎn)軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在變點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行，若用和分別表示橢軌道和的焦距，用和分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子：; ; ; .其中正確式子的序號(hào)是 （ ）a. b. c. d. 5、（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以o為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= （3） 焦點(diǎn)三角形面積公式：例1、 已知橢圓，為橢圓上任一點(diǎn)，求證:例2、設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，

10、求的面積。例3、已知橢圓的焦點(diǎn)為f1、f2，點(diǎn)m在橢圓上且則點(diǎn)m到x軸的距離為（ ）a b c d例4、（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_. 例5、若點(diǎn)在橢圓上，、分別是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，則的面積是（ ）a. 2 b. 1 c. d. 例6、如圖，f1，f2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上，pof2是面積為的正三角形，則b2的值是 . (4)有關(guān)大小討論的問題例1、橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）a. 0 b.1 c. 2 d. 4例2、橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí),點(diǎn) 橫坐標(biāo)的取值范圍是 。例3、已

11、知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.求橢圓離心率的取值范圍。例4、設(shè)p是橢圓（ab0）上的一點(diǎn)，f1、f2是橢圓的焦點(diǎn)，且f1pf2=90，求證：橢圓的率心率e例5、（2008江西文、理科7）已知f1、f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)滿足0的點(diǎn)m總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）a(0，1)b(0，c(0，)d，1)（三）點(diǎn)、線與橢圓的位置關(guān)系 （1）位置關(guān)系的討論問題點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系： 在橢圓上。在橢圓外。在橢圓內(nèi)。研究直線與橢圓位置關(guān)系的問題往往轉(zhuǎn)化為研究方程解得問題，要回根據(jù)韋達(dá)定理和判別式解決問題。例1、當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓相交？相切？相離？例2、已知以f1（2,0），f2

12、（2,0）為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 （ ）a. b. c. d.例3、直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）a（0，1）b（0，5）cd例4、設(shè)橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，方程的兩個(gè)實(shí)根分別為和，則點(diǎn)（）必在圓內(nèi)必在圓上必在圓外以上三種情形都有可能（2）弦長(zhǎng)公式：例1、已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點(diǎn)f2，交橢圓于a、b兩點(diǎn)，求：（1）弦長(zhǎng)|ab|；（2）abf1的面積。例2、 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為（ ）a b c d例3、過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于兩點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn), 則的面積為 . 例4、ab是過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)f的

13、弦，若ab的傾斜角為，求弦ab的長(zhǎng)例5、（2008北京文科19）已知abc的頂點(diǎn)a，b在橢圓上，c在直線l：y=x+2上，且abl當(dāng)ab邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)o時(shí)，求ab的長(zhǎng)及abc的面積；例6、橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，若,且的中點(diǎn) 與橢圓中心連線的斜率為，求實(shí)數(shù)的值。例7、若直線y=x+t與橢圓 相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求|ab|的最大值（3）與橢圓有關(guān)的中點(diǎn)弦問題例1、已知橢圓，求過點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程【分析一】：已知一點(diǎn)求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為【分析二】：設(shè)弦

14、兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為【說明】：有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法” 【變式思考】1、橢圓內(nèi)有一點(diǎn)p（3，2）過點(diǎn)p的弦恰好以p為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為（ ）abcd 2、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程3、過點(diǎn)作直線與橢圓交于a，b兩點(diǎn)，若線段ab的中點(diǎn)恰為p點(diǎn)，求ab所在的直線的方程和線段ab的長(zhǎng)度4、傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程5、已知直線y= -x +1與橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，且線段ab的中點(diǎn)在直線l:x

15、 -2y=0上.（1）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x2+ y2=4上，求此橢圓的方程.（4）與橢圓有關(guān)的最值與取值范圍問題例1、橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（ ） a3bcd例2、 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值例3、直線和橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，當(dāng)m變化時(shí)；（1） 求的最大值（2） 求面積的最大值（o是坐標(biāo)原點(diǎn)）例4、設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最大值為 ；最小值為 ；例5、（2010福建文）11若點(diǎn)o和點(diǎn)f分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)p為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為a2 b3 c6 d8例6、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于b、d兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于a、c兩點(diǎn)，且，垂足為p. （）設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；（）求四邊形abcd的面積的最小值?！咀兪剿伎肌?、橢圓的點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) 2、在橢