函數(shù)單調(diào)性與極值教案

1、- 5 -函數(shù)單調(diào)性與極值（三課時)第一課時教學目的：進一步熟悉函數(shù)單調(diào)性的定義，熟悉用定義證明函數(shù)單調(diào)性；直觀地理解導數(shù)的符號與單調(diào)性的關系，能用求導的方法判斷函數(shù)單調(diào)性以及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間教學重點：導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系教學難點：導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系教學過程：一、 復習：1多項式的導數(shù)求法，函數(shù)在某一點處的導數(shù)與這一點處的切線斜率的關系鞏固練習：(1)若曲線y=x3在點處的切線的斜率等于，則點的坐標為( ) (a) (2,8) (b) (-2,-8) (c) (-1,-1)或(1,1) (d) (-1/2,-1/8) (2)若曲線y=x5/5上一點處的切線與直線y=3-x垂直，則此切線方程

2、為( )(a) 5x+5y-4=0 (b) 5x-5y-4=0 (c) 5x-5y+4=0 (d)以上皆非 (3)曲線y=x3/3-x2+5在點處的切線的傾角為3/4，則的坐標為.2 調(diào)遞增與單調(diào)遞減的意義3 如何用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性例1 已知函數(shù)y=2x3-6x2+7,求證：這個函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)遞增的.引入：在上述運算過程中我們發(fā)現(xiàn)運算量比較大，而且還涉及到符號判斷，有一定的難度。但是函數(shù)單調(diào)性體現(xiàn)出了函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的情況,而導數(shù)也正是研究自變量的增加量與函數(shù)值的增加量之間的關系，于是我們設想一下能否利用導數(shù)來研究單調(diào)性呢？若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則

3、當x增大時，y變小，因此當自變量x的增量x大于0時，函數(shù)值y的增量y也大于零，于是為正，當x無限趨近于零時，的根限值為正，因此對應的導數(shù)值為正，反之亦然.同理，若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，則在(a,b)內(nèi)的每一點處的導數(shù)值為負，反之亦然.說明：引入時可用幾何畫板演示說明：一般地，設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)0，那么y=f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)0，求得其解集，再根據(jù)解集寫出單調(diào)遞增區(qū)間(3) 求解不等式0，那么y=f(x)為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)0，在x0右側附近f(x)0，在x0右側附近f(x)0，那么是f(x0)函數(shù)f(x)

4、的一個極大值.于是得到求解函數(shù)f(x)的極值的基本步驟是：(1) 求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f”(x)；(2) 求解方程f”(x)=0；(3) 檢查f”(x)在方程f”(x)=0的根的左右的符號，并根據(jù)符號確定極大值與極小值.其口訣是：左負右正為極小，左正右負為極大。二、例題分析：例1 求函數(shù)y=x3/3-4x+4的單調(diào)區(qū)間和極值.學生練習：p67/練習(1)、(2)、(3)、(4) (學生做在紙上后在投影儀上打出)三、 引入之二：函數(shù)最值.在某些問題中，往往關心的是函數(shù)在整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的最值問題.觀察幾何畫板圖形：得函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值

5、觀察最值與極值的關系，并得出：求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最值的一般步驟：(1) 求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值(極大值或極小值)(2) 將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值注：1、如果只要求最大值，那么不需要求極小值2、求函數(shù)最值的一般方法：一是利用函數(shù)性質(zhì)、二是利用不等式、三是利用導數(shù)。例2 求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間1，5內(nèi)的最大值和最小值 方法一 將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函數(shù)單調(diào)性處理方法二 f(x)在區(qū)間(1，5)內(nèi)的導函數(shù)為f (x)=2x-4 由方程f (x)=0知x=2 又f(1)=3,

6、f(5)=11,f(2)=2 由于f(2)f(1)2若f(5)=39-10m=2,則m=3.7,此時f(1)=5-7.4=-2.42與最小值為2矛盾，舍去若f(m-1)= -m2+2m+3=2，則m=1當m=1-時，f(1)=3+2,f(5)=29+10當m=1+時，f(1)=3-20 (b) 1a1 (d) 0a16、當x(-2,1)時，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (a) 單調(diào)遞增函數(shù) (b) 單調(diào)遞減函數(shù)(c) 部份單調(diào)增，部分單調(diào)減 (d) 單調(diào)性不能確定7、 如果質(zhì)點m的運動規(guī)律為s=2t2-1，則在一小段時間2，2+t中相應的平均速度等于( ) (a) 8+2t (

7、b) 4+2t (c) 7+2t (d) 8+2t8、 如果質(zhì)點a按規(guī)律s=2t3運動，則在t=3秒時的瞬時速度為( ) (a) 6 (b) 18 (c) 54 (d) 819、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的極大值為6，那么a等于( ) (a) 6 (b) 0 (c) 5 (d) 110、函數(shù)y=x3-3x的極大值為( ) (a) 0 (b) 2 (c) +3 (d) 1三、 典型例題分析例1 若兩曲線y=3x2+ax與y=x2-ax+1在點x=1處的切線互相平行，求a的值. 分析 原題意等價于函數(shù)y=3x2+ax與y=x2-ax+1在x=1的導數(shù)相等，即：6+a=2-a 例2 已知拋物線y=ax2+bx+c通過點p(1，1)，且在點q(2，-1)處與直線y=x-3相切，求實數(shù)a、b、c的值.分析 由條件知： y=ax2+bx+c在點q(2，-1)處的導數(shù)為1，于是 4a+b=1 又點p(1，1)、q(2，-1)在曲線y=ax2+bx+c上，從而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1 求得：a、b、c的值例3 已知p為拋物線y=x2上任意一點，則當點p到直線x+y+2=0的距離最小時，求點p到拋物線準線的距離 分析 點p到直線的距離最小時，拋物線在點p處的切線斜率為-1，即函數(shù)在點p處