楊輝三角 小學(xué)數(shù)學(xué)

1、楊輝三角人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下期第115頁(yè)第10題，涉及著名的“楊輝三角”，對(duì)此，教參中已有所介紹。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)“楊輝三角”的理解，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和愛國(guó)熱情，下面推薦一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲。老師出示一張圖(有條件的可以使用多媒體)：宣布：“現(xiàn)在和同學(xué)們玩一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)游戲。請(qǐng)一位同學(xué)在這個(gè)圖的最下面一行6個(gè)圓圈里任意各填一個(gè)一位數(shù)，我隨即在頂端那個(gè)圓圈里寫一個(gè)數(shù)。然后，大家按照?qǐng)D中的連線，算出最下面那行相鄰兩個(gè)圓圈里的數(shù)的和，填入上一行的圓圈里。自下而上照這樣進(jìn)行下去，直到算出頂端那個(gè)圓圈里應(yīng)該填的數(shù)，一定跟我已經(jīng)填好的數(shù)一樣。哪位同學(xué)愿意試一試？”等那位同學(xué)把最下面一行的

2、6個(gè)數(shù)填好以后，老師迅速算出左起第三、四兩個(gè)數(shù)的和的10倍，加上第二、五兩個(gè)數(shù)的和的5倍，再加上第一、六兩個(gè)數(shù)，得數(shù)就是頂端那個(gè)圓圈里應(yīng)該填的數(shù)。比如，從左到右，學(xué)生所填的數(shù)是4、1、8、6、2、3，老師就應(yīng)該填10(86)5(12)(43)140157162。這是為什么呢？原來(lái)，“楊輝三角”中的數(shù)是有規(guī)律的。11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1規(guī)律是：自上而下，每個(gè)圓圈里的數(shù)等于與它相連的，上一行圓圈里的數(shù)的和。比如，第三行中間圓圈里的數(shù)之所以是2，就因?yàn)榕c它相連的第二行兩個(gè)圓圈里的數(shù)都是1，112。依此類推。 游戲相當(dāng)于把上面的過(guò)程倒回去，所

3、以要把圓圈里的數(shù)分別乘上1、5、10、10、5、1。等玩過(guò)兩三次以后，學(xué)生一定會(huì)急于知道老師是怎樣做到未卜先知的，甚至有些愛動(dòng)腦筋的學(xué)生，已經(jīng)在開始探求其中的奧秘了。這時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生用學(xué)過(guò)的“用字母表示數(shù)”的方法，看看最下面那行所填的6個(gè)數(shù)，在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中究竟各用了幾次。設(shè)：第六行所填的6個(gè)數(shù)依次為a、b、c、d、e、f。第五行就是ab、bc、cd、de、ef；第四行就是a2bc、b2cd、c2de、d2ef；第三行就是a3b3cd、b3c3de、c3d3ef；第二行就是a4b6c4de、b4c6d4ef；頂端的數(shù)就是a5b10c10d5ef，即10(cd)5(be)(af)。從而得出前面

4、所總結(jié)出的方法?！皸钶x三角”在數(shù)學(xué)中有著重要作用，同時(shí)又具有直觀形象的特點(diǎn)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力很有好處，值得給學(xué)生提供一個(gè)加深印象的機(jī)會(huì)。楊輝三角11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 中還隱藏著許多奧秘：請(qǐng)看這些斜線上的數(shù)：自然數(shù) 1 三角形數(shù) 1 1四面體數(shù) 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 5 11 6 152015 6 11 7 21 35 35 21 7 1一、自然數(shù)：1，2，3，4，求前n個(gè)自然數(shù)的和，無(wú)需使用公式，答案就在第n個(gè)自然

5、數(shù)的左下方。比如，前4個(gè)自然數(shù)的和，就在第4個(gè)自然數(shù)4的左下方，是10。前5個(gè)自然數(shù)的和，就在第5個(gè)自然數(shù)5的左下方，是15。依此類推。二、三角形數(shù)：1，3，6，10，三角形數(shù)就是可以用點(diǎn)“排”成三角形的數(shù)。最頂端1個(gè)點(diǎn)，下一排2個(gè)點(diǎn)，再下一排3個(gè)點(diǎn)，再下一排4個(gè)點(diǎn)，5個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)所以，三角形數(shù)依次是1，123，1236，123410，即1，3，6，10，求前n個(gè)三角形數(shù)的和，無(wú)需使用公式，答案就在第n個(gè)三角形數(shù)的左下方。比如，前4個(gè)三角形數(shù)的和，就在第4個(gè)三角形數(shù)10的左下方，是20。前5個(gè)三角形數(shù)的和，就在第5個(gè)三角形數(shù)15的左下方，是35。依此類推。三、四面體數(shù)：1，4，10，20，四面

6、體數(shù)就是可以用三角形數(shù)“壘”成四面體的數(shù)。最頂端1個(gè)點(diǎn)，下一層3個(gè)點(diǎn)，再下一層6個(gè)點(diǎn)，再下一層10個(gè)點(diǎn)，15個(gè)點(diǎn)，21個(gè)點(diǎn)所以，四面體數(shù)依次是1，134，13610，1361020，即1，4，10，20，求前n個(gè)四面體數(shù)的和，無(wú)需使用公式，答案就在第n個(gè)四面體數(shù)的左下方。比如，前3個(gè)四面體數(shù)的和，就在第3個(gè)四面體數(shù)10的左下方，是15。前4個(gè)四面體數(shù)的和，就在第4個(gè)四面體數(shù)20的左下方，是35。依此類推。最讓人感到意外的是，“楊輝三角”竟然還與“菲波那契數(shù)列”有著密切的關(guān)系。請(qǐng)看下圖：（圖中的斜線可以一直畫下去） 1 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 1010 5 11 6 152015 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1斜線上數(shù)的和，依次是1，1，112，123，1315，1438，156113，1610421，171510134，1，1，2，3，5，8，13，21