高二數學空間向量及運算人教版知識精講

1、高二數學高二數學空間向量及運算空間向量及運算人教版人教版 1. 理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘運算。 2. 了解空間向量基本定理。 3. 掌握空間向量的數量積的定義及其性質的應用。重要知識點：重要知識點： 1. 共線向量定理： 對空間任意兩個向量、，存在，使abbabRab ()/ /.0 2. 共面向量定理： 若，不共線，則向量與向量、共面存在實數 、 ，使abpabxypx ay b. 3. 空間向量基本定理： 若、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實abcp數組 、 、 ，使xyzpx ay bz c. 4. 兩空間向量的數量積： ababab ，|cos

2、 性質： （ ），1aeaae|cos（ ）20abab （ ）32|aaa 運算律： （ ）1()()abab（ ）2abba（ ）3abcabac ()1、空間向量及其運算：（1）空間中的平行（共線）條件：/0,ab bxR axb （2）空間中的共面條件：共面（不共線）, ,a b c , b c ,x yR axbyc 推論：對于空間任一點和不共線三點、， ，則四點、OABCOPxOAyOBzOC 1xyzO、共面ABC（3）空間向量分解定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量, ,a b c pxaybzc （4）空間向量的加、減、數乘、數量積定義及運算若，則：111222,ax

3、 y zbxyz121212,abxxyyzz 111,axyz12121 2a bx xy yz z 注 1：數量積不滿足結合律；注 2：空間中的基底要求不共面。2、空間向量在立體幾何證明中的應用：（1）證明，即證明/ABCD/ABCD （2）證明，即證明ABCD0AB CD （3）證明（平面） （或在面內） ，即證明垂直于平面的法向量或證明與平面內的基底共面；/ABAB AB （4）證明，即證明平行于平面的法向量或證明垂直于平面內的兩條相交的直線所對應的向量；ABAB AB （5）證明兩平面（或兩面重合） ，即證明兩平面的法向量平行或一個面的法向量垂直于另一個平面；/（6）證明兩平面，即證

4、明兩平面的法向量垂直或一個面的法向量在內一個面內。3、空間向量在立體幾何求值中的應用：異面直線和的成角ABCDcoscos,AB CD 0,2直線和平面的成角（為ABn平面的法向量）sincos,AB n 0,2平面與平面的成角（，1n分別為兩平面的法向量）2n 或12coscos,n n 12coscos,n n （需具體分析取哪一個）0,點到平面的距離（為平面的An法向量）（其中點為平面內任意一點）AB ndn B直線平面 （）的距AC/AC離轉化為點到平面的距離A平面與平面（）的距離/（為平面的法向量）n轉化為平面內的點到平面的距離異面直線和的距離（為ABCDn既垂直于也垂直于的向量）A

5、BCDAC ndn （可以用，即兩直線上分別取一點）ACADBC BD 坐標形式下：兩點間距離公式空間兩點，的距離PQ基底形式下：若表示成，則可以得到：PQ 123xeyeze2123PQxeyeze 【典型例題典型例題】 例 1. 判斷題 （ ）若，則、共面。1px ay bxyRabp() （ ）若、共面，則存在 ，使。2abpxyRpx ay b 解：解：（1）正確。（ ）錯。當與不共線時成立。2ab 例 2. 的值（x、y、zR）若、是空間三面共面向量 且，求 、 、abcx ay bz cxyz,0 解：解：若，則xayxbzxc 0 這說明、共面，矛盾abc x0 同理，yzxyz

6、000 例 3. 若、不共面，那么，共面嗎？abcabbcca()()() 解：解：假設，共面，則存在實數 、cbcaabxy 使 abx cby ac()()() cbac與不共線 即()()()110y ax bxy c 11yxxy與，不可能全為零abc、共面，矛盾 于是、不共面()()()abbcca 例 4. 若向量、，的起點相同，終點在同一平面內，abct abc()求 的值（）、不共面 。ttRabc() 解：解：設、，的起點為 ，終點分別為 、 、 、abct abcOABCD() 則、共面ABBCAD 于是存在實數 、 ，使與不共線xyABx BCy AD BCAD () 即

7、 bax cby t at bt ca() ()()()ytyaytxbytx c110 令1010013ytyytxytxt 例 5. 已知、兩兩之間的夾角為，模都為 ，求abcabc6012|. 解：解：|() ()abcabcabc2222 |cos|cos|cosabcabbcac22242604604605 |abc25 例 6. 若、互相垂直，求證為銳角三角形。OAOBOCABC O A C B 證明：證明： AC ABOCOA OBOA()() OCOBOCOAOAOAOB|2|OA20 cosACABA，于是為銳角0 同理可證B、C 均為銳角。 ABC 為銳角三角形。 例 7.

8、 已知在平行六面體 ABCDABCD中，AB=AD=3，AA=5，BAD=90，BAA=DAA=60。 （1）求證 ACBD； （2）AC的值。 D C A B D C A B 證：證：（ ）1 ACBDABBCCCADAB()() ABCCADCCBCABADBCABADAB |2 AB ADAB ADBCABAAADCC AB|cos|cos2260600 ACBD （ ）22|()()ACABBCCCABBCCC |()ABBCCCABBCABCCBCCC2222 3352 3560356073222(coscos) |AC73【模擬試題模擬試題】基礎鞏固題 1. 給出下列命題： （1）

9、a=“從南昌往正北平移 6km” ，b=“從北京往正北平移 3km” ，那么 a=2b； （2）；()()()()()abcadbacdR1 （3）把正方形 ABCD 平移向量 m 到的軌跡所形成的幾何體，叫做正方體；A B C D （4）有直線，且，在上有點 B，若，則。llb/ /lABCAb 2Cl 其中正確的命題是（ ） A. （1） （2） B. （3） （4）C. （1） （2） （4） D. （1） （2） （3） 2. 在長方體 ABCDA1B1C1D1中，下列關于的表達式中錯誤的是（ ）AC1 A. B. AAA BA D11111ABDDD C111 C. D. AD CC

10、D C111121111()ABCDA C 3. 以下四個命題正確的是（ ） A. 若，則 P、A、B 三點共線OPOAOB1213 B. 若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底abc、 、abbcca、 C. D. ABC 為直角三角形的充要條件是|() | | | | |a b ca b c ABAC0 4. 給出下列命題 （1）已知，則；a babccbab c ()() （2）A、B、M、N 為空間四點，若不構成空間的一個基底，那么 A、B、M、N 共面；BABMBN、 （3）已知向量，則 a、b 與任何向量都不能構成空間的一個基底；a b （4）已知向量是空間的一個基底，則基向量

11、 a 和 b 可以與向量構成空間另一個基底。abc， ，mac 其中正確命題的個數是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于 a，點 E、F、G 分別是 AB、AD、DC 的中點，則 a2是下列哪個向量的數量積？（ ） A. B. C. D. 2BAAC2 ADBD2FGCA2EFCB A E F B D G C 6. 已知 a，b 是異面直線，且，CD=1，則 a 與 b 所成的角是（ ABaCDbAC bBD b， ，AB 2） A. 30B. 45C. 60D. 90 7. 已知正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 3，M 是 C

12、C1上一點且，N 是上一點且，P 為|CM 1DD1|DN 2的中點，則_。CA1| | |MNPMPN 8. 長為 4 的向量 a 與單位向量 e 的夾角為，則向量 a 在向量 e 方向上的投影向量為_。23 9. 在空間平移正ABC 到A1B1C1得到如圖所示的幾何體。若 D 是 AC 的中點。AA1平面 ABC，則異面直線與 BD 所成的角是_。AAAB121：AB1 A A1 D C1 C B B1 10. 設 OE 是以 OA，OB，OC 為棱的平行六面體的對角線，OE 交平面 ABC 于 M，試用向量法證明 M 是ABC 的重心?！驹囶}答案試題答案】基礎鞏固題 1. C2. B3.

13、 B4. C5. B 6. C 提示：提示： ABACCDDB ABCDACCDDBCDABCDABCDABCD，()cos|112 適合用直角坐標系求解。 A B D a C b 7. 8. 9. 6010192 e 解解 1：設ABaAAa，12 ABBDABBBBDABBDaaa11203215034 ()cos 又，|cosABBDaaaABBDaaABBD12122133232343212120 解解 2：如圖所示，為所求。AB E1 A A1 D E C1 C B B1 10. 證明：證明：設OAaOBbOCc， 取 BC 中點 D，連 DA，取DMDA13 即 M是ABC 重心，

14、下面證 M與 M 重合 OMODDMbcbcaabc()()1213121213 又在上，又平面OEabcOMOEMOEMABC13 MM與重合 故 M 是ABC 的重心。 A E B O D M M C 空間向量與立體幾何單元測試空間向量與立體幾何單元測試一、選擇題（每題 5 分共 25 分）1在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異 面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為 czbyaxp其中正確命題的個數為 （ ） A0 B1 C2 D32已知a（2，

15、1，3） ，b（1，4，2） ，c（7，5，） ，若a、b、c三向量共 面，則實數 等于 （ ） A627 B637 C647 D657 3已知a+b+c0，|a|2，|b|3，|c|19，則向量a與b之間的夾角ba,為（ ）A30 B45 C60 D以上都不對4 已知ABC 的三個頂點為 A（3，3，2） ，B（4，3，7） ，C（0，5，1） ，則 BC 邊上的 中線長為 （ ） A2 B3 C4 D55已知 i,j,ki,j,k 為單位正交基底，且的數量積等于與則bakjibkjia35,2,23（ ）A15B5C3D1二、填空題（每題 5 分共 20 分）6已知向量) 1 , 5 ,

16、3(a，)3 , 2 , 2(b，)3, 1, 4(c，則向量cba432的坐標為.7若 a a=(m1，n1,3)， b b=(m3,n3,9)且 a a 與 b b 平行，則m+n= 8設|m|1，|n|2，2mn與m3n垂直，a4mn，b7m2n， 則 9. 已知空間四邊形 OABC,點 M,N 分別是邊 OA,BC 的中點,且 OA=a,OB=b,OC=c, 用, ,a b c表示 MN= . 空間向量與立體幾何單元測試答題卷空間向量與立體幾何單元測試答題卷三、解答證明題10 （本題滿分 15 分）如圖，在棱長為 2 的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中點，取如圖所示的空間

17、直角坐標系 （1）寫出A、B1、E、D1的坐標； （2）求AB1與D1E所成的角的余弦值 11. （本題滿分 20 分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點 （1）求證：EF平面PAD； （2）求證：EFCD； C A D B O E C （3）若PDA45，求EF與平面ABCD所成的角的大小12. （本題滿分 20 分）如圖，四面體 ABCD 中，O、E 分別是 BD、BC 的中點，2,2.CACBCDBDABAD（I）求證：平面 BCD；AO （II）求異面直線 AB 與 CD 所成角的余弦；（III）求二面角 A-DC-B 的余弦值參考答

18、案1-5A DCBA 6(16,0, 19) 80 9. 1()2bca10.(15 分) 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, - -2, 2)，(0, 1, 2) AB1 ED1 |2，|，0242, AB12 ED15 AB1 ED1 cos ， AB1 ED1222 51010 AB1與ED1所成的角的余弦值為101011(20 分) 證：如圖，建立空間直角坐標系Axyz，設AB2a，BC2b，PA2c，則：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P

19、(0, 0, 2c) E為AB的中點，F為PC的中點 E (a, 0, 0)，F (a, b, c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, EF AP AD2b, 0) () 與、 EF12 AP AD EF AP共面 AD又 E 平面PAD EF平面PAD(2) (- -2a, 0, 0 ) (- -2a, 0, 0)(0, b, c)0 CD CD EF CDEF(3)若PDA45，則有 2b2c，即 bc， (0, b, b)， EF(0, 0, 2b) cos ， ， 45 AP EF AP2b22b2b22 EF AP 平面AC， 是平面AC的法向量 EF與平面AC所成的角為： AP AP x C A B O D y z E 90， 45 EF AP12. 【解解】方法一：（I