九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件：4.4.4、探索三角形相似的條件(黃金分割)

1、C AB 0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 09179805762862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 97587012

2、20 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569

3、9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 786

4、2561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5922. 度量C到點(diǎn)A、B的距離, AC ABAC BC 與 相等嗎？ C CB B 如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn) C C 把線段把線段 AB AB 分

5、成兩條線段分成兩條線段 AC AC 和和 BC ,BC , 如果如果 AC ABAC BC = 那么稱線段那么稱線段 AB AB 被點(diǎn)被點(diǎn) C C 黃金分割黃金分割( (golden sectiongolden section),), 點(diǎn)點(diǎn) C C 叫做叫做線段線段 AB AB 的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn), ,AC AC 與與 AB AB 的比叫做黃金比的比叫做黃金比. . C AB A AC C B B : 1 5 1 2 0.618 : 1AC ABAC BC = ACAB AC BC =AC2=AB BC 5 1 2AC BC = AC AB 5 1 2 由或，能得出點(diǎn)是線段的由或，能得出

6、點(diǎn)是線段的 黃金分割點(diǎn)嗎？黃金分割點(diǎn)嗎？ 方法總結(jié)方法總結(jié) 證明線段上的點(diǎn)是線段的黃金 分割點(diǎn)的方法： C AB 如果如果 AC ABAC BC =、，、，那么那么點(diǎn)是線段的點(diǎn)是線段的 黃金分割點(diǎn)。（比例線段）黃金分割點(diǎn)。（比例線段） 5 1 2AC BC = AC AB 5 1 2 、如果或， 那么點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)。（比值法） 如圖，樂(lè)器上的一根弦如圖，樂(lè)器上的一根弦AB=80cm，兩個(gè)端點(diǎn)，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在固定在 樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D 是靠近點(diǎn)是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)。試確定支撐點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)。試確定支撐點(diǎn)

7、C到端點(diǎn)到端點(diǎn)B的距離的距離 以及支撐點(diǎn)以及支撐點(diǎn)D到支撐點(diǎn)到支撐點(diǎn)C的距離。的距離。 A B C D C AB D 練一練 點(diǎn)撥點(diǎn)撥: : 5 1 2 AC AB = 3 5 2 AD AB = 黃金分割的事例黃金分割的事例 黃金比在建筑、攝影、美術(shù)上的應(yīng)用黃金比在建筑、攝影、美術(shù)上的應(yīng)用 黃金比在自然界中的發(fā)現(xiàn)黃金比在自然界中的發(fā)現(xiàn) 人體的黃金比人體的黃金比 0.618優(yōu)選法優(yōu)選法 黃金比在軍事上的應(yīng)用黃金比在軍事上的應(yīng)用 數(shù)學(xué)美的魅力 古埃及胡夫金字塔古埃及胡夫金字塔 分割 與生活 l視力表中的E同樣具有黃金分割的美,兒童樂(lè)園的標(biāo) 志,賞心悅目的攝影作品,都凝聚著設(shè)計(jì)師對(duì)黃金分 割的運(yùn)用

8、,中央電視臺(tái)的主持人均處在屏幕的黃金 分割點(diǎn)位置. 人與黃金分割人與黃金分割 人體肚臍不但是黃金點(diǎn)美化 身型，有時(shí)還是醫(yī)療效果黃金點(diǎn)， 許多民間名醫(yī)在肚臍上貼藥治好 了某些疾病。人體最感舒適的溫 度是23(體溫)，也是正常人體 溫 （ 3 7 ） 的 黃 金 點(diǎn) （23=370.618）。這說(shuō)明醫(yī)學(xué) 與0.618有千絲萬(wàn)縷聯(lián)系,尚待開(kāi) 拓研究。人體還有幾個(gè)黃金點(diǎn)： 肚臍上部分的黃金點(diǎn)在咽喉，肚 臍以下部分的黃金點(diǎn)在膝蓋，上 肢的黃金點(diǎn)在肘關(guān)節(jié)。上肢與下 肢長(zhǎng)度之比均近似0.618. 生命的黃金分割 最有意味的是，在人的生命程序最有意味的是，在人的生命程序 DNA DNA 分子中，也包含著分子中

9、，也包含著“黃金分割黃金分割 比比”。它的每個(gè)雙螺旋結(jié)構(gòu)中都是由。它的每個(gè)雙螺旋結(jié)構(gòu)中都是由 長(zhǎng)長(zhǎng) 3434個(gè)埃與寬個(gè)埃與寬2121個(gè)埃之比組成的，個(gè)埃之比組成的， 它們的比率為它們的比率為1.61904761.6190476，非常接近，非常接近 黃金分割的黃金分割的1.61803391.6180339。這是否說(shuō)明。這是否說(shuō)明 黃金分割律是比黃金分割律是比DNADNA中的遺傳密碼更中的遺傳密碼更 基本的東西？因?yàn)槌休d基本的東西？因?yàn)槌休dDNADNA的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu) 雙螺旋結(jié)構(gòu)雙螺旋結(jié)構(gòu)也遵循黃金分割律。也遵循黃金分割律。 黃金分割律也許是我們的宇宙的黃金分割律也許是我們的宇宙的DNADNA 中的遺

10、傳密碼？中的遺傳密碼？ 武器裝備與黃金分割 當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來(lái)的時(shí)候，當(dāng)發(fā)射子彈的步槍剛剛制造出來(lái)的時(shí)候， 它的槍把和槍身的長(zhǎng)度比例很不科學(xué)合理，很不它的槍把和槍身的長(zhǎng)度比例很不科學(xué)合理，很不 方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了方便于抓握和瞄準(zhǔn)。到了19181918年，一個(gè)名叫年，一個(gè)名叫阿爾阿爾 文文約克約克的美遠(yuǎn)征軍下士，對(duì)這種步槍進(jìn)行了改的美遠(yuǎn)征軍下士，對(duì)這種步槍進(jìn)行了改 造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合造，改進(jìn)后的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合 0.6180.618的比例。的比例。 黃金分割與優(yōu)選法 數(shù)學(xué)上最優(yōu)化問(wèn)題的解決方法大致分為兩類：數(shù)學(xué)上最優(yōu)化問(wèn)題的解決方法大致分為兩類：

11、間接最優(yōu)化方法和直接最優(yōu)化方法。間接最優(yōu)化間接最優(yōu)化方法和直接最優(yōu)化方法。間接最優(yōu)化 方法是把研究對(duì)象用數(shù)學(xué)方程表示出來(lái)，再用數(shù)方法是把研究對(duì)象用數(shù)學(xué)方程表示出來(lái)，再用數(shù) 學(xué)方法求最優(yōu)解。但在許多情況下，對(duì)象本身處學(xué)方法求最優(yōu)解。但在許多情況下，對(duì)象本身處 理不清楚，間接最優(yōu)化方法就無(wú)法使用，于是人理不清楚，間接最優(yōu)化方法就無(wú)法使用，于是人 們就通過(guò)大量試驗(yàn)來(lái)尋找最優(yōu)解。如何安排試驗(yàn)，們就通過(guò)大量試驗(yàn)來(lái)尋找最優(yōu)解。如何安排試驗(yàn)， 較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法。較快較省地求得最優(yōu)解，這就是直接最優(yōu)化方法。 如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)定在區(qū)間的如果將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)定在區(qū)間的0.6180.618左右，那么實(shí)

12、驗(yàn)的左右，那么實(shí)驗(yàn)的 次數(shù)將大大減少。實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，對(duì)于一個(gè)因素次數(shù)將大大減少。實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，對(duì)于一個(gè)因素 問(wèn)題，用問(wèn)題，用“0.6180.618法法”做做1616次實(shí)驗(yàn)，就可以取得次實(shí)驗(yàn)，就可以取得 “對(duì)分法對(duì)分法”做做25002500次試驗(yàn)所達(dá)的效果。次試驗(yàn)所達(dá)的效果。2020世紀(jì)世紀(jì)5050、 6060年代華羅庚在全國(guó)推廣年代華羅庚在全國(guó)推廣“0.6180.618法法”，在生產(chǎn)中，在生產(chǎn)中 獲得大量應(yīng)用，特別在工程設(shè)計(jì)方面應(yīng)用最多，獲得大量應(yīng)用，特別在工程設(shè)計(jì)方面應(yīng)用最多， 成效最佳。成效最佳。 巴臺(tái)農(nóng)神廟巴臺(tái)農(nóng)神廟 （Parthenom Temple） 如果用圖中的虛線表示的矩形畫(huà)成如

13、圖所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的寬為邊在其內(nèi)部作正方形AEFD， 那么我們可以驚奇的發(fā)現(xiàn)， 。點(diǎn)E是AB的 黃金分割點(diǎn)嗎？矩形ABCD的寬與長(zhǎng)的比是黃金比嗎？ BC BEBC AB = F C AEB D F DC AEB BC BEBC AB = 1.1.點(diǎn)點(diǎn)E E是是ABAB的黃金分割點(diǎn)嗎？的黃金分割點(diǎn)嗎？ 2.2.矩形矩形ABCDABCD的寬與長(zhǎng)的比是的寬與長(zhǎng)的比是 黃金比嗎？黃金比嗎？ BC ABBC BE = AE ABAE BE = 點(diǎn)點(diǎn)E E是是ABAB的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn) AE AB （即（即 ）是黃金比）是黃金比 BC AB 矩形矩形ABCDABCD的寬與長(zhǎng)的比是

14、黃金比的寬與長(zhǎng)的比是黃金比 寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形也成為黃金矩形寬與長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形也成為黃金矩形 做一做做一做 已知線段已知線段ABAB，按照如下方法作圖：，按照如下方法作圖： 1 1、經(jīng)過(guò)點(diǎn)、經(jīng)過(guò)點(diǎn)B B，作，作BDABBDAB，使，使BD=BD=（1/21/2）ABAB； 2 2、連接、連接ADAD，在，在DADA上截取上截取DE=DBDE=DB； 3 3、在、在ABAB上截取上截取AC=AEAC=AE。 尺規(guī)作黃金分割點(diǎn) 2.連接連接AD,在在AD上截上截 取取DE=DB. 3.在在AB上截取上截取 AC=AE. A B D E C 1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作作BDAB, 使使 .

15、 2 1 ABBD 故點(diǎn)C即為所求. 作圖說(shuō)理作圖說(shuō)理 l為什么點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)？ l方法提示：設(shè)AB=2，求AC、BC，并分別計(jì) 算 和 . l也可以計(jì)算AC2和BC.AB. AB AC AC BC （1 1）如果設(shè)）如果設(shè)AB=AB=2 2，那么，那么 想想 一一 想想 （2 2）點(diǎn)）點(diǎn)C C是線段是線段ABAB的黃金分割點(diǎn)嗎？的黃金分割點(diǎn)嗎？ BDBD= = ADAD= = ACAC= = BCBC= = 5 3 5 5 1 1 答：是理由如下：答：是理由如下： ：（）：（）：（）：（） ： ： 5 1 3 5 5 1 5 1 5 1 歸歸 納納 小小 結(jié)結(jié) ： 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)

16、習(xí)，你有什么收獲？ 、概念：黃金分割、黃金分割點(diǎn)、黃金比、 黃金矩形； 、方法（）判斷黃金分割點(diǎn)的方法 （）作線段黃金分割點(diǎn)的方法。 、延伸：黃金分割在現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值與意義。 如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn) C C 叫做叫做線段線段 AB AB 的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn), , 更上一層樓 CAB 如圖，已知線段如圖，已知線段AC,AC,并且點(diǎn)并且點(diǎn)C C是線段是線段ABAB的黃金分的黃金分 割點(diǎn)，你能算出割點(diǎn)，你能算出ABAB的長(zhǎng)嗎？如果已知線段的長(zhǎng)嗎？如果已知線段BCBC呢？呢？ 試試看吧試試看吧！ 若若 ACAC=1, 則則 1 AB = BC 1 5 - 1 2 =即即 AB= 5 + 1 2 1

17、.6 18 若若 BCBC=1, 則則 AC ABAC 1 = 5 - 1 2 = 即即 AB= 5 + 3 2 2.6 18 謝 謝 大 家! 黃金分割哲學(xué)（黃金分割的啟示） 從黃金分割率的美感中從黃金分割率的美感中, , 我們領(lǐng)略出另一種我們領(lǐng)略出另一種 韻味無(wú)窮的人生哲學(xué)韻味無(wú)窮的人生哲學(xué). . 稱其為稱其為0.6180.618哲學(xué)哲學(xué), , 或者更或者更 響亮一些響亮一些, , 黃金哲學(xué)黃金哲學(xué). . 它相仿于半半哲學(xué)它相仿于半半哲學(xué): : 平和平和, , 穩(wěn)健穩(wěn)健, , 樂(lè)天知命樂(lè)天知命. . 可是可是, , 它又多了一點(diǎn)兒向上它又多了一點(diǎn)兒向上, , 一一 點(diǎn)兒進(jìn)取點(diǎn)兒進(jìn)取, ,

18、超越了一點(diǎn)兒平庸超越了一點(diǎn)兒平庸. . 人生之旅人生之旅, , 說(shuō)短亦短說(shuō)短亦短, , 說(shuō)長(zhǎng)亦長(zhǎng)說(shuō)長(zhǎng)亦長(zhǎng). . 在這個(gè)旅在這個(gè)旅 程上程上, , 你要有事業(yè)你要有事業(yè), , 有生活有生活, , 有朋友有朋友. . 每每用黃每每用黃 金分割率來(lái)度量金分割率來(lái)度量, , 你會(huì)有一種說(shuō)不清道不盡的身心你會(huì)有一種說(shuō)不清道不盡的身心 怡曠怡曠. . 異 曲 同 工 如圖，設(shè)如圖，設(shè)ABAB是已知線段，在是已知線段，在 ABAB上作正方形上作正方形ABCDABCD；取；取ADAD的的 中點(diǎn)中點(diǎn)E E，連接，連接EBEB；延長(zhǎng)；延長(zhǎng)DADA至至F F， 使使EF=EBEF=EB；以線段；以線段AFAF為邊作

19、為邊作 正方形正方形AFGHAFGH。點(diǎn)。點(diǎn)H H就是就是ABAB的的 黃金分割點(diǎn)。黃金分割點(diǎn)。 如下方法也可以得到黃金如下方法也可以得到黃金 分割點(diǎn)？分割點(diǎn)？ 繪畫(huà)藝術(shù)中的黃金分割 健康的黃金分割率 氣溫在人體正常體氣溫在人體正常體 溫的黃金分割點(diǎn)上溫的黃金分割點(diǎn)上2323 左右時(shí)，恰是人的身心左右時(shí)，恰是人的身心 最適度的溫度；醫(yī)學(xué)專最適度的溫度；醫(yī)學(xué)專 家也觀察到，當(dāng)人的腦家也觀察到，當(dāng)人的腦 電波頻率下限是電波頻率下限是8 8赫茲，赫茲， 而上限是而上限是12.912.9赫茲，上赫茲，上 下限的比率接近于下限的比率接近于0.6180.618 時(shí)，乃是身心最具快樂(lè)時(shí)，乃是身心最具快樂(lè) 歡

20、愉之感的時(shí)刻。正常歡愉之感的時(shí)刻。正常 人的心跳在心電圖上也人的心跳在心電圖上也 顯示出顯示出T T波出現(xiàn)的位置恰波出現(xiàn)的位置恰 好大約是一次心跳節(jié)拍好大約是一次心跳節(jié)拍 的的“黃金分割黃金分割”位置上位置上 （如圖）。（如圖）。 什么是“斐波納契數(shù)列” l斐波納契是在解一道關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題時(shí)，得出了這個(gè)斐波納契是在解一道關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題時(shí)，得出了這個(gè) 數(shù)列。假定你有一雄一雌一對(duì)剛出生的兔子，它們?cè)陂L(zhǎng)到數(shù)列。假定你有一雄一雌一對(duì)剛出生的兔子，它們?cè)陂L(zhǎng)到 一個(gè)月大小時(shí)開(kāi)始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子產(chǎn)下另一個(gè)月大小時(shí)開(kāi)始交配，在第二月結(jié)束時(shí)，雌兔子產(chǎn)下另 一對(duì)兔子，過(guò)了一個(gè)月后它們也開(kāi)始繁殖

21、，如此這般持續(xù)一對(duì)兔子，過(guò)了一個(gè)月后它們也開(kāi)始繁殖，如此這般持續(xù) 下去。每只雌兔在開(kāi)始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下一對(duì)兔子，假定下去。每只雌兔在開(kāi)始繁殖時(shí)每月都產(chǎn)下一對(duì)兔子，假定 沒(méi)有兔子死亡，在一年后總共會(huì)有多少對(duì)兔子？沒(méi)有兔子死亡，在一年后總共會(huì)有多少對(duì)兔子？ l在一月底，最初的一對(duì)兔子交配，但是還只有在一月底，最初的一對(duì)兔子交配，但是還只有1 1對(duì)兔子；對(duì)兔子； 在二月底，雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有在二月底，雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔子，共有2 2對(duì)兔子；在三月底，對(duì)兔子；在三月底， 最老的雌兔產(chǎn)下第二對(duì)兔子，共有最老的雌兔產(chǎn)下第二對(duì)兔子，共有3 3對(duì)兔子；在四月底，最對(duì)兔子；在四月底，最 老的雌兔產(chǎn)下第三對(duì)兔子，

22、兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔老的雌兔產(chǎn)下第三對(duì)兔子，兩個(gè)月前生的雌兔產(chǎn)下一對(duì)兔 子，共有子，共有5 5對(duì)兔子；對(duì)兔子；如此這般計(jì)算下去，兔子對(duì)數(shù)分別如此這般計(jì)算下去，兔子對(duì)數(shù)分別 是：是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, .1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, .看看 出規(guī)律了嗎？出規(guī)律了嗎？ l從第從第3 3個(gè)數(shù)目開(kāi)始，每個(gè)數(shù)目都是前面兩個(gè)數(shù)目之和。個(gè)數(shù)目開(kāi)始，每個(gè)數(shù)目都是前面兩個(gè)數(shù)目之和。 黃金分割與斐波納契數(shù)列的關(guān)系 黃金數(shù)是方程黃金數(shù)是方程 的根，整理的根，整理 方程有：方程有： 01 2 x

23、x x x 1 1 我們利用這個(gè)關(guān)系構(gòu)造一個(gè)數(shù)列：我們利用這個(gè)關(guān)系構(gòu)造一個(gè)數(shù)列： ), 2( 1 1 , 1 1 1 Nnn a aa n n 黃金分割與斐波納契數(shù)列的關(guān)系 5 3 , 3 2 , 2 1 , 1 4321 aaaa 我們可以得到：我們可以得到： , 21 13 , 13 8 , 8 5 765 aaa 這些數(shù)總在這些數(shù)總在0.6180.618左右，而且他們的分子、分左右，而且他們的分子、分 母都是相鄰的斐波納契數(shù)。母都是相鄰的斐波納契數(shù)。 因此，往往我們?cè)谡務(wù)撘虼?，往往我們?cè)谡務(wù)摗包S金分割黃金分割”或或“黃黃 金數(shù)金數(shù)”時(shí)，通常還包含時(shí)，通常還包含“斐波納契數(shù)列斐波納契數(shù)列”或或“斐斐 波納契數(shù)波納契數(shù)”。 植物的神秘?cái)?shù)字植物的神秘?cái)?shù)字 在中國(guó)，梅花有著類似的象征意義。 民間傳說(shuō)梅花五瓣代表著五福。民國(guó)把梅 花定為國(guó)花，聲稱梅花五瓣象征五族共和， 具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但 是梅花有五枚花瓣并非獨(dú)特，