數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.ppt

1、 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 1數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育 第三章 初等幾何 本章將以幾何中“形”的發(fā)展過(guò)程作為脈絡(luò)，出簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由單維到多維，由直觀到抽象，由直覺(jué)到論證，對(duì)初等幾何進(jìn)行全面的分析。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 2初等幾何 3.1幾何的歷史 3.2幾何度量 3.3幾何測(cè)量 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 33.1幾何的歷史 一.幾何的起源 無(wú)意識(shí)幾何階段 跟人類歷史一樣古老的“形的意識(shí)”，在遠(yuǎn)古時(shí)期就被清晰地表現(xiàn) 出來(lái)了。 “形” 的意識(shí)來(lái)自于“物”，這里的“

2、物”，一是指自然界的物體，二 是指人類的實(shí)踐活動(dòng)。 幾何中的“結(jié)構(gòu)”意識(shí)，在人類活動(dòng)的初期，其表現(xiàn)的特征是簡(jiǎn)單 的模仿和比照。 總之，“形”的意識(shí)、“度量”意識(shí)和“結(jié)構(gòu)”意識(shí)來(lái)自于人們對(duì)自然 界的感受和體驗(yàn)，來(lái)自于適應(yīng)大自然，改造大自然的實(shí)踐活動(dòng)。這 是人類在幾何領(lǐng)域中最原始、最基本的抽象活動(dòng)，是對(duì)幾何的粗淺 而簡(jiǎn)單、直接而形象的認(rèn)識(shí)。 我們把這一階段的幾何稱作無(wú)意識(shí)幾何（階段）無(wú)意識(shí)幾何（階段）。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 43.1幾何的歷史 兒童在形成幾何概念、了解幾何性質(zhì)以及認(rèn)識(shí)幾何結(jié)構(gòu)上，是否 也要經(jīng)歷無(wú)意識(shí)幾何階段呢? 從過(guò)程來(lái)看，每個(gè)兒

3、童都必定要經(jīng)歷這種無(wú)意識(shí)幾何階段。 從內(nèi)容范圍來(lái)看，與人類歷史相比，現(xiàn)在的兒童在這一階段，可 以接觸到前所未有的十富多彩的現(xiàn)實(shí)索材。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 53.1幾何的歷史二幾何的發(fā)展 經(jīng)驗(yàn)幾何的產(chǎn)生 當(dāng)人們經(jīng)歷了“無(wú)意識(shí)幾何”的漫長(zhǎng)醞釀之后，慢慢步入了經(jīng)驗(yàn)幾經(jīng)驗(yàn)幾何階段何階段。 所謂“經(jīng)驗(yàn)幾何”就是人們通過(guò)對(duì)大量的具體幾何素材進(jìn)行反復(fù)地感受和體驗(yàn)，歸納、概括出較為一般的幾何關(guān)系，在實(shí)踐中對(duì)之加以驗(yàn)證和檢驗(yàn)，并從中挖掘和發(fā)現(xiàn)更新的幾何關(guān)系的一種實(shí)驗(yàn)型幾何的歷史階段。 對(duì)經(jīng)驗(yàn)幾何的特點(diǎn)加以分析后，可以發(fā)現(xiàn)其中包含“特例研究發(fā)現(xiàn)法”，即對(duì)具體事例

4、進(jìn)行分析、研究和實(shí)驗(yàn)，采用歸納、類比、聯(lián)想等思維方法，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系的本質(zhì)特征，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，尋找解決問(wèn)題的辦法，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 63.1幾何的歷史 在經(jīng)驗(yàn)幾何階段，思維發(fā)展水平限制了對(duì)一些難度較大的問(wèn)題的 進(jìn)一步探索，從而被迫轉(zhuǎn)而采用實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行粗略的、近 似的處理。 對(duì)于現(xiàn)今的中學(xué)幾何教學(xué)而言，經(jīng)驗(yàn)幾何的思想方法提供了許多 深層次的啟示意義： “經(jīng)驗(yàn)幾何”能夠提供給學(xué)生廣闊的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，使數(shù)學(xué)教學(xué)成 真正意義上的“數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”。 以“經(jīng)驗(yàn)幾何”的活動(dòng)方式對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行探索，能夠提升學(xué)生學(xué) 習(xí)

5、的主動(dòng)性。 “經(jīng)驗(yàn)幾何”中所含的主要思想方法便為“不完全歸納法”，而這一 方法在發(fā)展學(xué)生的“策略創(chuàng)造”思維方面具有獨(dú)特的效能。 所以，在幾何學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們主張先從“宏觀”生動(dòng)活潑的 “策略創(chuàng)造”出發(fā)，再以“微觀” 一絲小茍的“邏輯演繹”予以補(bǔ)正。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 73.1幾何的歷史三論證幾何 1.論證幾何產(chǎn)生的哲學(xué)基礎(chǔ) 論證幾何的基本要素有兩個(gè)，一是幾何的基本原理 公理是否可靠；二是邏輯推理的過(guò)程是否嚴(yán)密。而古希臘的哲學(xué)為其提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和思想支柱。 古希臘愛(ài)奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人泰勒斯(thales，約公元前624前647) 被公認(rèn)

6、為是希臘的第一個(gè)幾何學(xué)家，他不僅是希臘哲學(xué)的鼻祖,也是論證幾何的先行者。 而后柏拉圖把自已的哲學(xué)與數(shù)學(xué)溶為一體，認(rèn)為不知道數(shù)學(xué)的人， 不可能接受哲學(xué)知識(shí)。 柏拉圖的學(xué)生亞里士多德(aristotle，希臘，約公元前384前322)， 作為演繹邏輯的創(chuàng)造者，對(duì)論證幾何的貢獻(xiàn)是無(wú)與倫比的，被稱作是第一個(gè)把這些規(guī)律典范化和系統(tǒng)化的人。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 83.1幾何的歷史 2.幾何原本 歐幾里德的幾何原本(elements)堪稱論證幾何的典范，在世界各 地流傳甚廣，曾被譯成多種文字。 幾何原本共含十三篇，內(nèi)容涉及初等幾何，初等數(shù)論和幾何代 數(shù)。

7、elements其實(shí)純粹是眾多學(xué)者智慧的結(jié)晶，但歐幾里德依然是 個(gè)大數(shù)學(xué)家，他畢竟對(duì)前人的成果加以整理、歸納、完善和發(fā)展。 歐幾里德(euclid，希臘，約公元前330前275)曾經(jīng)在柏拉圖的學(xué)園 中學(xué)習(xí)過(guò)一段時(shí)間，深受柏拉圖、亞里士多德等人的影響，后主持過(guò) 亞歷山大數(shù)學(xué)學(xué)派，成為這一學(xué)派的奠基人。 可以說(shuō),歐幾里德的幾何就是論證幾何，論證幾何階段的代表人物當(dāng) 屬歐幾里德本人，而幾何原本則是論證幾何的最重要的思想體現(xiàn)。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 93.1幾何的歷史3.論證幾何在中國(guó) 在中國(guó)古代幾何領(lǐng)域中也曾存有論證幾何的影子。 就在與希臘歐幾里德相

8、同的年代，中國(guó)式的論證幾何著作 墨經(jīng)誕生了，它是我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的墨家思想的代表作，其中論及 數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)等方面的內(nèi)容，特別在墨經(jīng)的“經(jīng)上”、“經(jīng)上說(shuō)” 等篇章中，給出了許多幾何定義和命題。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 103.1幾何的歷史4.對(duì)論證幾何的思考 論證幾何在一千多年的時(shí)間里始終占據(jù)了幾何領(lǐng)域內(nèi)的主導(dǎo)地 位(直至19世紀(jì)非歐幾何的誕生)，而歐幾里德也一直是幾何的代名 詞，其深刻的歷史原因有: 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 113.1幾何的歷史 崇尚理性是當(dāng)時(shí)（古希臘時(shí)期）人們的普遍愿望，追求“形而上”

9、的“經(jīng)院式”哲學(xué)理念，在古希臘上流社會(huì)中表現(xiàn)得尤為突出。 由于經(jīng)驗(yàn)幾何使用方法的不確定性和隨意性，所得結(jié)論與實(shí)際情況 出入較大，以及對(duì)無(wú)理量的疑惑，人們開(kāi)始意識(shí)到，直觀是不可靠的。 在許多人看來(lái)，幾何原本是最好的思想材料，論證幾何中演繹 推理的思想方法可以訓(xùn)練人的思維，使其既理性又嚴(yán)密，既和諧完整 又無(wú)懈可擊。 論證幾何的創(chuàng)導(dǎo)者和支持者們認(rèn)為論證幾何是數(shù)學(xué)與邏輯的完美結(jié) 合，他們把似乎走到盡頭的經(jīng)驗(yàn)幾何重新引向了光明的大道上，同時(shí) 也為邏輯思辯找到了新的用武之地，從而使數(shù)學(xué)變成了最具“智慧”的 科學(xué)。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 123.1幾何的歷史

10、問(wèn)題3.1 1. 幾何發(fā)展一般經(jīng)歷有哪幾個(gè)階段？各具有什么特點(diǎn)？ 2. 試分析“論證幾何”在古希臘產(chǎn)生的歷史原因。 3. 試分析“無(wú)意識(shí)幾何”對(duì)培養(yǎng)兒童“形”的意識(shí)的重要作用。 4. 古希臘“論證幾何”對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有怎樣歷史意義？ 5. 為什么說(shuō)“經(jīng)驗(yàn)幾何”是幾何發(fā)展進(jìn)程中不可或缺的歷史階段？ 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 133.2幾何度量一.長(zhǎng)度的度量 人們?cè)趯?shí)踐中形成“直線”的概念后，進(jìn)一步就要考慮，如何確定這些線段的“大小” 呢? 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是通過(guò)兩個(gè)線段中所含“數(shù)目”的比來(lái)確定線段的“大小”，但由于不可公度量的存在，使得這一工作難以繼續(xù)。

11、 而后，天才的歐道克斯引入了“變量”(簡(jiǎn)稱量)而“巧妙地”饒開(kāi)了無(wú)理數(shù)，使得“量”只有幾何上的意義，而與“數(shù)”無(wú)關(guān)。 這樣由兩個(gè)“量”的比來(lái)確定線段的“大小”，導(dǎo)致作為基準(zhǔn)的、固定 的量的產(chǎn)生，即“單位長(zhǎng)”的出現(xiàn)。 中國(guó)古代對(duì)“單位長(zhǎng)”的使用顯得非常得心應(yīng)手。 孫子算經(jīng)(公元400年)中曾對(duì)長(zhǎng)度的度量作出了形象的描述：“度之所起，起子忽，欲知其忽，蠶吐絲為忽”。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 143.2幾何度量二.面積的度量 由于東、西方數(shù)學(xué)家對(duì)幾何認(rèn)識(shí)角度不同，幾何的理論基礎(chǔ)存在較大差異，因此對(duì)面積的處理方式、采用的方法也各有特色。 1多邊形面積 在

12、“形”的意識(shí)不斷完整化過(guò)程中，處理“形”的“大小”問(wèn)題日顯重要。 正方形、矩形的面積度量難度并不大，人們甚至是直接拿這些“完 整”的幾何圖形作為面積度量的“基準(zhǔn)”，相當(dāng)于長(zhǎng)度中的“單位”。 畢達(dá)哥拉斯就直接用因數(shù)的積給出正方形和矩形的面積定義。 我國(guó)九章算術(shù)第一章“方田(正方形和矩形的田的統(tǒng)稱)”中第一 題：今有田廣(即寬)十五步，從(同縱)十六步。問(wèn)為田幾何。答 曰：一畝。方田術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步(乘積的平方步數(shù))。 可見(jiàn)對(duì)于正方形和矩形的面積問(wèn)題，古人早有研究。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 153.2幾何度量 由此，“直角三角形”的面積也就不

13、難解決了，但困難的是如何求“斜三角形”的面積，以及不規(guī)則的多邊形面積。 (1) 歐幾里德的“轉(zhuǎn)化”思想在面積理論中的應(yīng)用 兩個(gè)三角形的面積轉(zhuǎn)換：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 幾何原本卷一35題：同底并界于兩平行線之間的平行四邊形 (面積)彼此相等。由命題35之結(jié)果，易得上述結(jié)論。 復(fù)雜的多邊形向簡(jiǎn)單的三角形“轉(zhuǎn)化” 歐幾里德曾給出這樣的結(jié)論：一個(gè)（凸）多邊形總可以“轉(zhuǎn)化”為 與其面積相等的三角形。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 163.2幾何度量(2) 中國(guó)古代“出入相補(bǔ)原理”在面積理論中的應(yīng)用 “出入相補(bǔ)(以盈補(bǔ)虛)原理”也稱“拼補(bǔ)原理”或“割補(bǔ)原

14、理”。對(duì)給定的幾何圖形進(jìn)行“分割”、“拼湊”、“補(bǔ)缺”和“搭配”等，使之轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的或已知的幾何圖形，從而達(dá)到計(jì)算不規(guī)則直線形面積的目的。 九章算術(shù)“方田”章給出了具體的方法。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 173.2幾何度量(3) 早期三角形面積公式 海倫公式 海倫(heron，約100年)在他的著作測(cè)量學(xué)給出了三角形面積公 式，并在其他著作(如經(jīng)緯儀、度量)中給予了證明。 對(duì)這一公式的證明，海倫是采用論證幾何的“純演繹”的手段來(lái)完成 的。 印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅(11141185)在麗羅瓦提(lilavati嬉有章)中作出三角形曲積的求法，他的作法是“

15、純代數(shù)”的。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 183.2幾何度量 1247年南宋秦九韶在數(shù)書九章中討論了“已知三角形三邊求它 的面積”這一問(wèn)題，并給出了一個(gè)數(shù)學(xué)公式 。但這一公式來(lái)歷不 明，其證明方法早已失傳，后人的猜測(cè)趨同于“出入相補(bǔ)原理”， 其中用到劉徽公式。 以上三種方法分別從幾何演繹、幾何代數(shù)與幾何變換等不同的角度對(duì)三角形面積進(jìn)行了研究，顯示出各自的特色，反映了三個(gè)國(guó)度的數(shù)學(xué)文化特征。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 193.2幾何度量2曲邊形面積 (1) 歐幾里德對(duì)圓的面積的研究 幾何原本第十二篇命題2：

16、“圓與圓(的面積)之比等于以其直徑為邊的正方形(面積)之比?！?那么這一事實(shí)在當(dāng)時(shí)是如何被確認(rèn)的呢? 首先需要一個(gè)我們稱之為“歐道克斯原理”的引理，其次采用“窮竭法”(歐道克斯最先使用這一原理)對(duì)圓進(jìn)行“窮竭”，最后以“窮舉法”(間接證法的一種)對(duì)之加以證明。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 203.2幾何度量 (2) 阿基米德對(duì)曲邊形面積的研究 阿基米德生平簡(jiǎn)介 意大利西南島嶼西西里島的一個(gè)沿海城鎮(zhèn)敘拉古（當(dāng)時(shí)受希 臘控制）是天文學(xué)家、力學(xué)家和數(shù)學(xué)家阿基米德（archimedes，公 元前287前212）的故鄉(xiāng)。 杠桿和重心理論的建立是阿基米德在力學(xué)上

17、的第一次貢獻(xiàn)，他在 這方面的著作共有四篇：杠桿論 、支柱論（已失傳） 、 板的平衡兩篇。 他的流體力學(xué)定律和杠桿原理為大家所熟知，許多關(guān)于他的故事 至今被傳誦。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 213.2幾何度量 圓的度量 阿基米德在其著作圓的度量中對(duì)圓進(jìn)行研究時(shí)，首先提出圓周長(zhǎng)的度量問(wèn)題。 阿基米德分別作圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形，求得圓的周長(zhǎng)與直徑之比的近似值22/73.1428。這一結(jié)果被后人稱作“阿基米德數(shù)”，是公元前圓周率的最好結(jié)果。 拋物弓形的面積 阿基米德在論拋物線求積法就如何求拋物弓形的面積作了專門的研究。 2003 science

18、college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 223.2幾何度量（3）劉徽的“割圓術(shù)” 劉徽在九章算術(shù)注中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割， 以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！边@就是劉徽“弧矢割圓術(shù)”（簡(jiǎn)稱“割圓術(shù)” ）的思想方法。 那么，他的具體作法是怎樣的呢？ 首先通過(guò)圓內(nèi)接正六邊形來(lái)推算圓內(nèi)接正十二邊形的面積。 一般地得到劉徽不等式 s2n s s2n + （s2n-sn） （*） 圓周率的計(jì)算 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 233.2幾何度量 劉徽利用公式（*）計(jì)算到圓內(nèi)接正192邊形，得到如下結(jié)果： 3.1410243.142704。

19、 后祖沖之（南北朝，公元429500）得圓周率的結(jié)果為： 3.14159263.1415927 有人推測(cè)很可能也是采用劉徽的“割圓術(shù)”，并且使用了劉徽公式（*）。 同時(shí)，祖沖之給出了約率22/7（即阿基米德數(shù)），以及著名圓周率 分?jǐn)?shù)355/113（3.1415929203），稱之為密率。這一結(jié)果曾在世界上 保持了一千多年的領(lǐng)先地位。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 243.2幾何度量三體積的度量1.多面體體積的計(jì)算 (1) 劉徽的三個(gè)基本幾何體概念 劉徽說(shuō)道：“邪（斜）解立方得兩塹堵”。又說(shuō)：“邪（斜）解塹堵， 其一為陽(yáng)馬，一為鱉月需（no）”。 在對(duì)立

20、方（長(zhǎng)方體）進(jìn)行“分解”后，劉徽又給出了“合成”的過(guò)程。 “合兩鱉月需成一陽(yáng)馬，合陽(yáng)馬而成一立方，故三而一?！?(2) 劉徽原理 在此基礎(chǔ)上，劉徽給出了我們稱之為“劉徽原理”的結(jié)論：斜解一 長(zhǎng)方體，所得陽(yáng)馬和鱉月需的體積的比恒是二比一。 這樣，多面體的體積問(wèn)題最終歸結(jié)為求鱉月需的體積。因?yàn)橐粋€(gè) 多面體可以分解為若干個(gè)四面體，而一個(gè)四面體可分解為六個(gè)鱉 月需。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 253.2幾何度量2.球體體積(1) 劉徽的“牟合方蓋” 首先，劉徽深知“圓與其外切正方形面積之比為比4”。 其次，劉徽使用了祖日恒原理（既然在祖日恒之前劉徽已經(jīng)使用

21、， 故應(yīng)稱劉祖原理） 更重要的是，劉徽創(chuàng)造性地給出了他的“牟合方蓋”。 取一正方體（邊長(zhǎng)為d），用直徑為d的圓柱面對(duì)正方體從正面和 側(cè)面進(jìn)行兩次截割，“則其型有似牟合方蓋矣?！?結(jié)合上述結(jié)果，可得“牟合方蓋”與正方體的內(nèi)切球的體積之比為 4 。這樣，只要求出“牟合方蓋”的體積，就可知球體的體積 了。那么“牟合方蓋”的體積為多少呢？劉徽說(shuō)：“敢不闕（同缺） 疑，以待能言者?！惫?，兩百多年后出來(lái)一位“能言者”，此人便是 祖沖之的兒子祖日恒。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 263.2幾何度量 (2) 祖日恒與球之體積 祖日恒對(duì)“牟合方蓋”的八分之一加以研究

22、。 經(jīng)過(guò)計(jì)算，并運(yùn)用“劉祖原理”，祖日恒證得，截割后剩余三塊立 體的體積之和恰為一個(gè)“陽(yáng)馬” 。 按劉徽所得到的結(jié)果：v牟 v球 = 4 ,得v球 的結(jié)果。3.中國(guó)體積理論的特點(diǎn) 中國(guó)體積理論早在九章算術(shù)中就有論述，劉徽注釋九章算 術(shù)時(shí)則獨(dú)創(chuàng)一套簡(jiǎn)潔有效、直觀形象的多面體面積理論，把復(fù)雜的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)簡(jiǎn)單的“幾何模型”，既有嚴(yán)密的理論依據(jù)，又具有方法的一般性，這在數(shù)學(xué)歷史上是絕無(wú)僅有的。 數(shù)學(xué)家祖日恒則采著前人的腳印，沿用劉徽的“牟合方蓋”徹底解決了劉徽提出的“難題”球體體積的計(jì)算問(wèn)題，充分顯示出中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的聰明才智。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)

23、教育- 273.2幾何度量問(wèn)題3.2 1. 試分析歐幾里德幾何中關(guān)于多邊形面積理論的特點(diǎn)。 2. 試分析中國(guó)古代幾何中關(guān)于處理多邊形面積時(shí)所表現(xiàn)出的特征。 3. 劉徽在多面體體積理論中所使用基本幾何體概念主要有哪些？ 在同一個(gè)立方（長(zhǎng)方體）中，它們的體積之比各是多少？ 4.祖沖之與阿基米德一樣是歷史上把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于社會(huì)實(shí)際的典 范人物，他的做法對(duì)現(xiàn)今數(shù)學(xué)教育有何啟示意義？ 5. 劉徽說(shuō)指的“能言者”是如何解決球體的體積問(wèn)題的？ 6. 從劉徽的“牟合方蓋”談數(shù)學(xué)教育中想象力的培養(yǎng)。 7. 已知三邊求三角形面積，在歷史上曾經(jīng)有哪幾種典型的方法，它 們各具有什么特色？ 2003 science c

24、ollege chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 283.3幾何測(cè)量 一.幾何作圖1中國(guó)的“規(guī)”和“矩” 我國(guó)古代較早使用自己獨(dú)特的作圖工具進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的幾何測(cè)量，其中最為古老而又被頻繁使用的作圖工具是：規(guī)、矩、準(zhǔn)和繩。 荀子中的“圓者中規(guī)，方者中矩”則明確指出了“規(guī)”是用來(lái)畫圓的，只是古代“規(guī)”的兩只“腳”是固定的（即不能張合）。 “矩”字在甲骨文中作 ，是指兩端帶有直角的尺子，后來(lái)人們?cè)凇熬亍?上加了刻度，也演變成“”的形狀。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 293.3幾何測(cè)量 2歐幾里德的尺規(guī)作圖 古希臘的數(shù)學(xué)思想所反映的是一種由最簡(jiǎn)單的原理出發(fā)演繹最廣

25、泛的內(nèi)容的理念，與之相同，在幾何作圖上也秉承了同樣的風(fēng)格，因而對(duì)作圖工具作了種種的規(guī)定（限制），即要求作圖工具盡量簡(jiǎn)單。 首先，直尺上不得有任何刻度，我們稱之為“無(wú)刻度直尺”；其次，所使用的圓規(guī)的兩個(gè)“腳”的頂端不能固定（更不用說(shuō)張合了），被稱之為“易散圓規(guī)”。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 303.3幾何測(cè)量 3三大作圖難題 古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉第（hippocrates,公元前五世紀(jì)，著有elements一書,但已失傳）最先研究幾何三大作圖問(wèn)題，即： 三等分角問(wèn)題（將任意給定的角三等分）；倍立方問(wèn)題（作一正方體使其體積等于已知正方體體積的二倍）；化

26、圓為方問(wèn)題（作一正方形使其面積等于已知圓的面積）。 三大作圖難題的根本起因在于“數(shù)”（有理數(shù)）與“形”（線形和圓形）的局限，對(duì)這一問(wèn)題的研究，促使人們探索更深層次的數(shù)（無(wú)理數(shù)），以及比圓復(fù)雜得多的超越曲線（割圓曲線），這就大大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，其歷史意義是不容低估的。另外，進(jìn)行幾何尺規(guī)作圖本身的訓(xùn)練活動(dòng)，既能鍛煉學(xué)習(xí)者的邏輯思維，也能加深學(xué)習(xí)者對(duì)幾何結(jié)構(gòu)和幾何關(guān)系的認(rèn)識(shí)，因而它在教學(xué)上的作用也是明顯的。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 313.3幾何測(cè)量 4.黃金分割 黃金率的產(chǎn)生源于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派似乎是沒(méi)有什么疑問(wèn)的，因?yàn)檫@一學(xué)派較早就對(duì)一種叫做

27、“完全比例”的比例關(guān)系頗有研究，這種比例就是“幾何中項(xiàng)”，用式子表示為：。 若是把這一比例關(guān)系應(yīng)用到對(duì)某一線段的分割上，則就形成一個(gè)“黃金分割”：把長(zhǎng)度為l的線段分成兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比：（） 另外在作正五邊形時(shí)也遇到這樣的比例問(wèn)題。 古希臘人認(rèn)為這種比例在造型藝術(shù)中具有美學(xué)價(jià)值，因此稱它為“黃金分割”或“黃金律”。 根據(jù)斐波那契（lfibonacci，意大利11751250）數(shù)列可以給出一簡(jiǎn)單的計(jì)算方法：2，3，5，8，13，21，中的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比近似值，可以越來(lái)越接近“黃金分割率”。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與

28、數(shù)學(xué)教育- 323.3幾何測(cè)量 二幾何測(cè)量方法1.勾股定理的歷史和名稱 商高最早對(duì)勾股定理給予了解釋，同時(shí)用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，所以勾股定理也稱“商高定理”。 另外周髀算經(jīng)記載了陳子（在周公之后）用勾股定理推算地球與太陽(yáng)的距離以及太陽(yáng)的直徑，因而勾股定理又叫“陳子定理”。而后，人們對(duì)之俗稱為“勾股弦定理”，后來(lái)則慢慢地簡(jiǎn)化成“勾股定理”。 在第一章中我們?cè)鴮?duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有關(guān)勾股定理的研究作了分析，西方至今仍稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”，可是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理顯然比商高要晚得多。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 333.3幾何測(cè)量 2勾股定理的證

29、明與應(yīng)用 關(guān)于勾股定理的證明，據(jù)統(tǒng)計(jì)有多達(dá)幾十種。 商高的“弦圖”就是一種證法。 劉徽注釋九章算術(shù)第九章“勾股”章時(shí)，采用中國(guó)特有的“出入 相補(bǔ)原理”給出證明，但“可惜現(xiàn)在只存文字說(shuō)明，其插圖早已亡 失。” 清嘉慶年間李潢著九章算術(shù)細(xì)草圖說(shuō)補(bǔ)以插圖。 歐幾里德幾何原本卷一命題47給出了一個(gè)“論證幾何”式的證 明方法。 至于勾股定理的應(yīng)用，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中則是隨處可見(jiàn)，例如九章算術(shù)勾股章第一十三題即是。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 343.3幾何測(cè)量 3幾何測(cè)量理論 按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，幾何測(cè)量理論的建立，需要以下三方面要素的支持，一為角的度量，二是平

30、行原理，三為相似理論。但是中國(guó)古代數(shù)學(xué)在這三方面幾乎是一片空白。 首先，中國(guó)古代數(shù)學(xué)雖然存有“角”的概念，但是“角”的理論既不成熟，也不完整，缺乏角的度量，僅在天文學(xué)上使用“度”的概念，而且也沒(méi)有統(tǒng)一的分度法。相比之下，古希臘對(duì)三角學(xué)早有研究，其成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)中國(guó)。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 353.3幾何測(cè)量 早在公元前兩百年，希帕恰斯（hipparchus，希臘，前125年）就把圓周分為360,并在一本論述圓之弦的書中給出弦的長(zhǎng)度數(shù)，而給定度數(shù)的弦所對(duì)應(yīng)的弦之長(zhǎng)度數(shù)目，相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦函數(shù)。另外，他還給出了球面三角形的圖解法。 隨后，希臘另一位數(shù)

31、學(xué)家梅涅勞斯（menelaus，約公元98年）著球面學(xué)（sphaerica）而把三角術(shù)提高到一個(gè)全新的高度。梅涅勞斯在此書中對(duì)球面三角理論作了全面的論述，第一次正式給出了球面三角的定義，其中就列有著名的“六種數(shù)量的法則”。 希臘的另一位天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家（埃及人，生活在亞里山大里亞）托勒密（claudius ptolemy ，168年）著成數(shù)學(xué)匯編（阿拉伯人稱之為大匯編）而把古希臘的三角術(shù)推向頂峰。此書也被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)最具系統(tǒng)的三角術(shù)論著。 2003 science college chap.數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育- 363.3幾何測(cè)量 托勒密把天文與三角融為一體，他的三角就是球面三角，這樣就為平面三角的研究奠定了理論基礎(chǔ)，因此在歷史上，先有球面三角后有平面三角。 其次，平行原理和相似理論在歐幾里德幾何原本中得到了充分的演繹，反觀中國(guó)古代數(shù)學(xué)，完全沒(méi)有歐氏幾何的平行、相似理論。 然而，盡管如此，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的幾何測(cè)量卻取得了輝煌的成就， 這在表面上看來(lái)這似乎是不可思議的，其中的奧妙就在于，“中算家”們引用了一套既簡(jiǎn)單直觀，又巧妙獨(dú)特，