第十章經(jīng)濟增長理論

1、第十章經(jīng)濟增長理論1第 十 章經(jīng)濟增長理論第十章經(jīng)濟增長理論2一、新古典增長理論（簡介） n新古典增長（資本勞動替代性），假定儲蓄率給定。n拉姆齊卡斯庫普曼斯增長模型，家庭最優(yōu)化行為、內(nèi)生儲蓄。 第十章經(jīng)濟增長理論31生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) ( , )YF K L .1-1 滿足： 1. 邊際收益遞減 2. 一次齊次 (, )(/ ,1)( )YF K LLF K LLf k1-2 /( )y Y Lf k .1-3 /( )YKf k, /( )( )YLf kkf k 3. Inada條件 (0, )( ,0)KLFLF K，( , )( , ) 0KLFLF K (0)f， ( )0f 1-4

2、 第十章經(jīng)濟增長理論42資本積累條件資本積累條件 .(, )KIKsF K LK.1-5 或者寫為人均的形式 ./( )K Lsf kk.1-6 我們有： .(/ )/( )()kd K LK L nksf kn k.1-7 第十章經(jīng)濟增長理論5 ()n k ( )f k ( )sf k *k c Gross Investment 圖11 Solow-Swan模型 第十章經(jīng)濟增長理論63穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) 在穩(wěn)態(tài)中，.0k 這是由于在穩(wěn)態(tài)中有./( )()k ksf kkn常數(shù)， 因此有.( )/0( )( )/( /)0df kkdtf kkfkkk k 必然有.0k ，因此 .*0()()ksf k

3、n k 1-8 第十章經(jīng)濟增長理論74資本積累的黃金律與動態(tài)無效資本積累的黃金律與動態(tài)無效 從( )()sf kn k，可以將消費C寫為*( )( )()( )c sf ksnks， 使消費最大化的儲蓄率為黃金律，因此 *()()goldfksn 圖1.2資本積累的黃金律 s golds goldc *c 第十章經(jīng)濟增長理論8 圖13表示了當儲蓄率（2s）大于和小于（1s）黃金率（golds）的情況，以及大于黃金率的儲蓄率下降后，增加均衡時的消費，以及過度路徑上的消費，資本逐漸減少。 當goldss，稱經(jīng)濟動態(tài)無效（Dynamic Efficiency，DE） ，因為人均消費一直低于可以達到的

4、路徑。 goldc *2k k goldk *1k c *2c () n k ( )goldsf k 2( )s f k 1( )s f k 儲蓄率下降，消費的增加 圖13 黃金率與動態(tài)無效 斜 率 為n DI ( )f k 第十章經(jīng)濟增長理論95過渡動態(tài)過渡動態(tài) 資本增長率為： ( )/()ksf kkn 1-9 0lim( ) /ksf kk ， lim( ) /0ksf kk ，且() /sfkk單調(diào)，因此與n曲線有唯一的交點。 圖14反映了資本增長速度與穩(wěn)態(tài)點的距離成正比。 一個較大的儲蓄帶來更多的資本積累。 或者由.( )()()/( )()ksf kn kd kdksfkn來進行判

5、別（袁志剛和宋錚，2001） 第十章經(jīng)濟增長理論106相對收斂、絕對收斂相對收斂、絕對收斂 定義，對穩(wěn)態(tài)的依賴（不同的儲蓄率） 。由18得 *()/()snkf k.1-10 將110代入到19得： *( ) /()1() /kf kknf kk1-11 因此依賴于目前的資本平均產(chǎn)品與穩(wěn)態(tài)中的情況，當*kk ，0k 圖14， 條件收斂（不同的穩(wěn)態(tài)，來自于不同的儲蓄率） 第十章經(jīng)濟增長理論11二、拉姆齊模型與最優(yōu)經(jīng)濟增長 新古典經(jīng)濟增長模型的一個缺點就是儲蓄是外生的。在這一部分我們考慮消費和儲蓄是由家庭最優(yōu)化行為決定的。我們考慮一個無限期的家庭，在跨期預算約束下，選擇消費和儲蓄以最大化他以及后代

6、的效用函數(shù)。這歸功于Ramsey (1928)，Cass（1965）和Koopmas（1965）。拉姆齊模型的最優(yōu)條件消除了索羅斯旺模型中的無效的過度儲蓄問題。注：本講義參考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti的講義 第十章經(jīng)濟增長理論121 1效用函數(shù)效用函數(shù) 拉姆齊問題解決的是一個國家應該儲蓄多少，即資源的跨期最佳分配。 1. 假定勞動力tL增長率為n，初始數(shù)正規(guī)化為1，因而有：nttLe.2-1 2. 假定 tC是t期的總消費，因此人均消費為c(t)C(t)/L(t)。 家庭效用函數(shù)為： (n)t0t0U

7、u(c )edt .2-2 (其中為主觀貼現(xiàn)率，u(0) ，u( )0 。并根據(jù)橫截條件假定n ，以保證當c為常數(shù)時，0U是有界的。因此每一代的權(quán)重決定于人口數(shù)和貼現(xiàn)率。) 3. 假定存在兩種資產(chǎn)， 資本和債權(quán)， 在沒有風險、 資本市場完全競爭情況下收益率都為tr。同時存在競爭的勞動力市場， 工資為tw。 假定總資產(chǎn)為tA， 平均凈資產(chǎn)為tttaA /L，資產(chǎn)收益為ttr a。因此家庭的預算約束為：.tttttawracna.2-3 第十章經(jīng)濟增長理論132非蓬齊對策條件（意義）非蓬齊對策條件（意義） tv0(rn)dvttae0lim .2-4 這意味著，在長期，一個家庭的平均債務的增長速度

8、不能大于trn，因此總債務的增長速度不能超過tr。我們定義ttv01rr dvt，因此24又可被寫為 tt(rn)ta(t)e0lim 2-4 第十章經(jīng)濟增長理論143漢密爾頓函數(shù)與一階條件漢密爾頓函數(shù)與一階條件 家庭的最優(yōu)化行為可以看作是，在跨期預算約束條件下最大化0U。這個問題可以用動態(tài)最優(yōu)化的方法來解決，先寫成現(xiàn)值漢米爾頓函數(shù)形式： (n)Hu(x)ew(rn)ac .2-5 其中是資產(chǎn)的影子價格。一階條件為： (n)tH0u(c)ec .2-6 .H(rn)a .2-7 t ttlim a 02-8 其中27是歐拉方程，或拉姆齊凱恩斯最優(yōu)儲蓄規(guī)則。28是橫截條件 第十章經(jīng)濟增長理論15

9、現(xiàn)在我們來求出最優(yōu)的消費變化。 26兩邊對時間求導得： .(n)(n)tu(c)ce(n)u(c)e .2-9 由26，知(n)te/u(c) ，代入到29并將27代入29，得： .u(c)c cr( )u(c)c.2-10 其中u(c)cu(c)為邊際效用彈性的值。 第十章經(jīng)濟增長理論16一個相關(guān)的概念是跨期替代彈性： stst1ststc /cdu(c )/u(c )u(c )/u(c )d(c /c ) .2-11 跨期替代彈性是stc /c比例變動造成無差異曲線斜率的相對變動比例的倒數(shù)。當st時， u(c)cu(c) ，因此邊際效用彈性是跨期替代彈性的負倒數(shù)。 跨期替代彈性實際上反映了

10、跨期消費安排對邊際效用變化的反應，因為簡單的跨期消費問題中存在tt1u(c )1ru(c)1，是貼現(xiàn)率，r取決于資本存量，即這一期儲蓄的影響。當考慮不變跨期替代彈性的效用函數(shù)，這可以寫為1t1tc(1r)c(1)，1/ 。因此跨期替代彈性越大，對利率的反應也越大。 第十章經(jīng)濟增長理論17 考慮一個不變跨期替代彈性的效用函數(shù)（CIES） 1c1u(c)1，(0)；.2-13 u(c)logc， (1) 顯然是邊際效用彈性值，因此跨期替代彈性1/。式212變?yōu)?.crc2-14 第十章經(jīng)濟增長理論18對27積分得： tt(r n)(t)(0)e，(0)0.2-15 因此28變?yōu)?tt(r n)tt

11、limae02-16 即無限期生命在最后的終端，資產(chǎn)的現(xiàn)值不為正。或者用有限期生命來說，在死后留下任何正的資產(chǎn)都是非理性的。當ta0（負債） ，一個無限期的家庭希望通過不停的借債但不償還， 來違反216， 因此24就是為了確保這種鏈式融資的不發(fā)生。 在均衡狀態(tài)，根據(jù)橫截條件216，一個家庭不愿持有超過或等于tr n的資產(chǎn)增長，否則橫截條件就違反了，也就是說沒有人愿意接受增長速度超過tr n的債權(quán)，也就意味著沒有人可以發(fā)行增長速度超過tr n的債務。因此24是信貸市場均衡的結(jié)果。 第十章經(jīng)濟增長理論194消費消費 由.(r n)t(r n)t(r n)tdae/dtaea(rn)e，將.tttt

12、a(rn)awc兩邊同乘(r n)te得：TTT(rt n)t(rt n)t(rt n)tttt000(dae/dt)dtwedtcedt，也即： TT(rt n)T(rt n)t(rt n)tTtt00a ecedtwedta(0).2-17 當T ，由216，可得 (rt n)t(rt n)ttt00cedtwedta(0)w(0)a(0)W.2-18 由214可得 t(1/ )rtt0cc e 2-19 將219代入到218得； rt(1)/nt0c(0)W/(edt) .2-20 第十章經(jīng)濟增長理論205廠商廠商 設生產(chǎn)函數(shù)為： ttttttYF(K ,AL )F(K ,L ) (其中

13、tA(t)e，tttLAL)2-21 寫成人均的形式為： tttttYL yL f(k ) (其中ttttf(k )F(K /AL ,1)2-22 具有下列關(guān)系(固定L，Y對K求導；固定K，Y對L求導)： ttYf (k)K， ttttttYf(k )k f (k )eL2-23 并滿足 Inada 條件： f(0)0，f (0) ，f ()0 . 第十章經(jīng)濟增長理論21廠商的利潤函數(shù)為： ttttttttL F(K,L )R kwe 2-24 其中tR是廠商向居民租賃資本的租金，ttRr。給定tL，由利潤最大化的一階條件得到： ttf (k)r 2-25 為了維持零利潤，將225代入224，

14、有 tttttf(k )k f (k )ew 2-26 第十章經(jīng)濟增長理論226均衡均衡 第十章經(jīng)濟增長理論233. 利用ttkke，ttf (k)r，以及216，TVC條件變?yōu)?tv0(f(k )n)dvtlimke0.2-31 227和230構(gòu)成在t(c,k )上的動態(tài)系統(tǒng)。 4. 在穩(wěn)態(tài)中，有.tt(c)/(c)0， .tt(k )/(k )0，因此 tf (k) .2-32 tttcf(k )(n)k 2-33 第十章經(jīng)濟增長理論240 c 0c 0 c 0k *k goldk *k .0k .0c c k 圖12 拉姆齊模型中的相位圖 DD B 第十章經(jīng)濟增長理論25穩(wěn)態(tài)中的消費、投

15、資人均增長率等于。232，233刻畫的穩(wěn)態(tài)需要滿足TVC，因此231中，*rf (k )n，即穩(wěn)態(tài)中的資本回報率大于增長率。從232可知 n(1) .2-34 由333可知消費在 tf (k )n2-35 時達到最大。335被稱為修正的黃金律。334保證了*goldkk，即穩(wěn)態(tài)的資本小于黃金律水平，避免了資本積累過多。原因過多積累不是最優(yōu)，因為減少可以多消費；同時小于黃金律是因為有效主觀貼現(xiàn)，消費者又不希望犧牲當前的消費。 （分析，降低的影響） 。 第十章經(jīng)濟增長理論26 分析： goldk（儲蓄不足，違反歐拉方程，從232可以看出路徑變化） ，*k（均衡路徑） ，0c（儲蓄過多，違反TVC）

16、 詳細說明： 1. 考慮低于DD的路徑，例如初始位置在0c，那么k會超過黃金律資本存量,此后真實利率低于n，從而trt(n)tee上升，所以trt(n)tteek發(fā)散，因此trt(n)tttlimeek， 因此違反了橫截條件。 或者根據(jù)Blanchard和Fischer（1989）第二章附錄2。 注意Blanchard和Fischer（1989） 是利用當前值漢密爾頓函數(shù)來表示的，對橫截條件的說明經(jīng)過簡單的代換和現(xiàn)值是一樣的 第十章經(jīng)濟增長理論272. 當高于DD的路徑，在這條路徑上資本以遞增的速度減少。 對230，.ttttkf(k )(n)kc 進行全微分得： .2tttt2d kf (k

17、 )(n)kc0dt ，當tf (k )(n) 和.tc0， 因此tk會在有限的時間變?yōu)?（B點） ， 因為在B點，tk為零， 經(jīng)濟必須移到原點，因此tc由一個正值變?yōu)榱悖@種跳躍違背了（212） .c(r)c ，因為當tk0，r ， （212）左式為負，右邊為無窮大，因此違反了歐拉方程的條件（212） 。 第十章經(jīng)濟增長理論287鞍點路徑的形狀鞍點路徑的形狀 高，跨期替代率低，更愿意進行消費平滑，趨于穩(wěn)態(tài)的速度慢。 低，跨期替代率高， 作為對當前高收益的反應，更愿意進行儲蓄，減少消費，趨于穩(wěn)態(tài)的速度快。 k *lowk *khigh low high 圖22 對鞍點路徑的影響 第十章經(jīng)濟增長

18、理論298儲蓄儲蓄 對于CD生產(chǎn)函數(shù)f(k)Ak，均衡的儲蓄率為 *s(n)/(x) .2-36 （證明，詳細見BarroSala-I-Martin 1995，P89, AppendixB） 兩種效應：替代效應，消費平滑使得儲蓄率在收入較低時較低，但是較大的跨期替代彈性，更有助于儲蓄。收入效應，有助于儲蓄，因為當收入增加時，當前收入與持久性收入的差距變小，意味著平滑消費的意愿更小，儲蓄率上升） 當*1/s ，固定儲蓄率，如SolowSwan模型 當*1/s ，跨期彈性較高，因此儲蓄率一直在*s之上，并趨近，由于資本增加導致利率下降，因為跨期彈性大所以使得儲蓄下降，其影響大于收入上升的影響。 當

19、*1/s ，跨期彈性較低，因此儲蓄率一直在*s之下，并趨近（收入上升因素主導作用） 。 第十章經(jīng)濟增長理論309資本存量和產(chǎn)出的路徑資本存量和產(chǎn)出的路徑 由227和資本增加導致利率下降， .tt(c )/(c )單調(diào)下降。 類似，.tt(k )/(k )也單調(diào)下降。因此儲蓄率在過渡路徑上的的增加，并不能消除趨同性。 通過線性化可知： .ttttttt(y)/(y)k f (k )/f(k ).(k )/(k ) 即資本的增長按照占生產(chǎn)中的份額對生產(chǎn)構(gòu)成影響。 第十章經(jīng)濟增長理論3110.另一種機制（社會計劃者解）另一種機制（社會計劃者解） 效用函數(shù)可寫為(n)tttn(1)t0tt00Uu(c

20、 )edtu(c )edt ，實際主觀貼現(xiàn)率為。資本積累為.ttttkf(k )(n)kc 。因此社會計劃者問題為： 0maxU s.j. .ttttkf(k )(n)kc 這個節(jié)是與市場解相同的。原因，競爭性市場，沒有外部性。我們會在下一講，Romer（1986）和Lucas（1988）看到社會計劃者解和競爭性解的區(qū)別，因為存在外部性。 第十章經(jīng)濟增長理論3211收斂（收斂（convergence）和收斂的速）和收斂的速度度 考 慮 生 產(chǎn) 函 數(shù) 為FAk，0k給 定 。 效 用 函 數(shù) 為1cU1， 資 本 積 累 為.ttttkAk(n)kc 現(xiàn)值漢密爾頓函數(shù)為 1t(n)ttttcH

21、eAk(n)kc 1 .2-37 最優(yōu)化的必要條件是 -(n)tHc0c e 2-38 .1ktH Ak(n) .2-39 TVC tttlim k 0.2-40 第十章經(jīng)濟增長理論33將238微分，并用.1t Ak(n) 代入得到 .1tc( Ak)c.2-41 在穩(wěn)態(tài).c0c，.k0k。由241，穩(wěn)態(tài)中1tAk0，因此 1*1Ak().2-42 *.*k0cA(k )(n)kk 2-43 同時如果滿足橫截條件，因此從231，令0 ，有*1tA(k )(n) ，因此由*1tA(k )必須有n。 （和234比較，就可以知道技術(shù)進步下TVC條件的變化） 第十章經(jīng)濟增長理論34分析穩(wěn)態(tài)附近的均衡，簡化分析分析穩(wěn)態(tài)附近的均衡，簡化分析 (Blanchard和Fischer（1989）第二章附錄B也作了類似的分析，這部分的處理來自Zilibotti的習題) 假定n0，0 。那么在穩(wěn)態(tài)有 .tttkAkc；1*1Ak().2-44 1.t( Ak)cc；*1AcA().2-45 在穩(wěn)態(tài)附近進行一階泰勒展開， Barro和Sa