第3章 諧振荷載反應(yīng)

1、高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第三章第三章高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)諧振荷載反應(yīng)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 0sinmv tkv tpt (3-2) 02sincos1sin1cpv tvtvtAtBtptk (3-8)初始條件 000vv0211pAk 0B 得 021sinsin1pv tttk (3-10)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)反應(yīng)比：動(dòng)力的與靜止的荷載作用反應(yīng)比值 0/tttstvvRvpk圖 3-1 從靜止初始條件開始正弦波激勵(lì)所引起的反應(yīng)比（a）穩(wěn)態(tài)；（b）瞬態(tài)；（c）總反應(yīng)R(t)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 202sinpv tv tv ttm (3-13)阻尼體系運(yùn)動(dòng)方程 222012sincos121sin2costDD

2、pv teAtBtktt (3-19)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)通常所關(guān)心的是式（3-19）第二項(xiàng)給出的穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)202221( )(1)sin2cos(1)(2)ppvtttk (3-20)這個(gè)穩(wěn)態(tài)位移反應(yīng)的特性，可容易地用圖3-2所示復(fù)平面中所繪出的兩個(gè)相應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量來解釋，它們?cè)趯?shí)軸上的分量之和，即為式（3-20）等號(hào)右端的兩項(xiàng)。合成矢量 的實(shí)部給出了如下形式的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)exp ()iit高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)( )sin()pvtt (3-21)ImttRe202)22 exp()(1(2)pi tk圖 3-2 穩(wěn)態(tài)位移反應(yīng)exp ()iit高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)21222012pk穩(wěn)態(tài)反應(yīng)振幅 (3-

3、22)122tan ()1反應(yīng)滯后于荷載的相位角為 (3-23)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力放大系數(shù)D： 合成反應(yīng)位移與 所引起的靜位移比值21222012Dpk (3-24)圖 3-4 相位角隨阻尼和頻率的變化圖 3-3 動(dòng)力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化0p高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)再一次使用解的指數(shù)形式對(duì)求解穩(wěn)態(tài)諧振反應(yīng)是有意義的?？紤]用指數(shù)形式描述諧振荷載的一般情況為 這里，是諧振荷載函數(shù)中的一個(gè)任意相位角。在涉及一般的諧振荷載時(shí)，尤其是可利用一系列諧振分量表示的周期荷載，對(duì)每一個(gè)諧振項(xiàng)必須說明其相位角。因此，采用復(fù)20( )2( )( )exp ()pv tv tv titm (3-25)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)數(shù)比用

4、幅值和相位角要方便。本章所研究的只有一個(gè)諧振項(xiàng)，因此相位角可以任意取，為了簡(jiǎn)單可取為零。這樣，在荷載表達(dá)式中就不需要包含此項(xiàng)。 方程（3-25）的特解及它對(duì)時(shí)間的一階、二階導(dǎo)數(shù)為 ( )exp()pvtGi t( )exp()pvti Gi t2( )exp()pvtGi t (3-26)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)式中G是一個(gè)復(fù)常數(shù)。為了求G，將式（3-26）帶入方程（3-25），消去各項(xiàng)中的 ,并用 代替m，用 代替 ，則可解出G為 exp()i t2k 2002221(1)(2)(1)(2)(1) (2)ppiGkik將其帶入式（3-26）的第一式，并在復(fù)平面中繪出表示結(jié)果的兩個(gè)向量，如圖3-5所示。

5、 (3-27)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)注意，與圖3-2中相應(yīng)的量相比，這兩個(gè)向量的合成結(jié)果及相位角除了逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了90度外是相同的。圖中的這一差別符合諧振荷載 和 在圖3-2和圖3-5產(chǎn)生的結(jié)果之間的相位差。 注意， 是 的實(shí)部。0() exp()i pmi t0() exp()i pmi t0() sin()pmt0() exp()i pmi t在上述穩(wěn)態(tài)諧振振動(dòng)條件下，如圖3-5所示的總反應(yīng)為( )exp ()pvtit (3-28)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)力的平衡要求慣性力、阻尼力、彈簧力之和等于說作用的荷載2( )( )exp ()( )( )exp ()( )( )exp ()pppIpDpSpftmv

6、tmitftcvticitftkvtkit 0( )exp()p tpi t利用式（3-28），這些力為 (3-29) (3-30)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 2222122201222011222222121sin2cos1112sincos121112pv tttkpttk高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2212220122212cos sinsincos1cos211pttk高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) (3-34) 0cossincos2tDDptv teAtBtk (3-35) 000vv002122 1DppAkk012pBk 021sincoscos21tDDpv tetttk (3-36)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 0

7、11 cossin201sincos2ttv tR tetetpkR tttt (3-37) (3-38)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖 3-7 靜止初始條件下共振荷載（高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) geffmvcvkvmvtpt 0singgvvt 0sineffgpmvtt 00ggmvmDDvkk (3-39)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)0singgvvt20singgvvt 20sineffgpmvt2020ggmvDD vk (3-40)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖 3-9 典型地震儀的示意圖圖 3-10* 動(dòng)力放大系數(shù)隨阻尼和頻率的變化高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖中=0.5,1時(shí)， 2D為常數(shù)圖 3-11 對(duì)于諧振基底位移地震儀的反應(yīng)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力

8、學(xué)總結(jié)：1、一個(gè)相對(duì)柔軟的體系可以用作位移計(jì)，通過降低剛度或增加質(zhì)量的辦法可以擴(kuò)大其使用范圍；2、一個(gè)相對(duì)剛硬的體系可以用作加速度計(jì)，通過增加剛度或降低質(zhì)量的辦法可以擴(kuò)大其使用范圍。高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 0sintppt圖 3-11 單自由度隔振體系（作用荷載）高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 0sinpv tDtk 0sinsfkv tp Dt 00cos2cosDcp Dfcv ttp Dtkmax1122222max012sDfffp D2max012fTRDp (3-41) (3-42) (3-43) (3-44)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 0singg tvvt20s ingptvvDt圖 3-12 單自

9、由度隔振體系（支座擾動(dòng)） (3-44)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 2012sintgtvvDt2max012vTRDv (3-46) (3-47)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)傳導(dǎo)比（TR）212T RD圖 3-13 振動(dòng)傳導(dǎo)比（作用荷載或支座擾動(dòng)）高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)22222高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué) 2222112 /12/ 121221stTRIEIEIEIEgfIE01IE2高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖 3-14 隔振設(shè)計(jì)計(jì)算圖高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖 E3-1 在不平的橋面上行駛的車輛示意圖3 1高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)22mmDmm (3-53)ln/mnn mvv 00sin0 costDDDv

10、vv tetvt高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基于相對(duì)位移反應(yīng)的穩(wěn)態(tài)振幅測(cè)量。激振頻率為包括體系固有頻率而跨越較寬范圍的離散值，從而獲得對(duì)應(yīng)激振的振幅，做出典型頻率-反應(yīng)振幅曲線。圖 3-15 中等阻尼體系的頻率反應(yīng)曲線高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)阻尼比0112計(jì)算時(shí)用00maxmax1122D (4-43*) (3-54)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)112121 22220011222高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)222211812 2221221 高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)2211 222112221 222112122（3-58）221高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)圖 3-16 每周實(shí)際的和等效的阻尼能高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)m ax0m axfpc （4-45*）0Dwp 。Dw高

11、等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)把上式代入方程（4-45*）既可得到一個(gè)每周 能量損失表示的等效粘滯阻尼系數(shù)的表達(dá)式 ：2De qwc （4-46*）在大多數(shù)的情況下，用臨界阻尼比來表示阻尼 要比阻尼系數(shù)更要方便：2 ckc（4-47*）圖 3-17 彈性剛度與應(yīng)變能高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)22 swk（4-48*） 4Dcswccw（4-49*）24se qwc （4-50*）s高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)：Dfk（4-51*）。22Dwk （4-52*） （4-53*）高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特點(diǎn): .時(shí)變的；B.慣性力反應(yīng)類型:.強(qiáng)迫振動(dòng)；B.自由振動(dòng)數(shù)學(xué)上齊次 自由振動(dòng)非齊次 強(qiáng)迫振

12、動(dòng)體系:有限自由度/離散體系 單/多自由度無限自由度/連續(xù)體系數(shù)學(xué)上常微分方程偏微分方程高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化方法:.集中質(zhì)量法 .廣義位移法.有限元法（過硬系統(tǒng)）運(yùn)動(dòng)方程：力學(xué)上：平衡方程數(shù)學(xué)上：常微分方程偏微分方程獲得方程方法： 1.直接平衡法 2.虛功原理 3.Lagrange 方程 4. Hamilton原理體系自身動(dòng)力特性:強(qiáng)迫反應(yīng)初始干擾:0t干擾力:高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)d21d,d PAsinBcostttDuhamel積分高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)自由振動(dòng)解高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)(1)運(yùn)轉(zhuǎn)的裝置能產(chǎn)生振蕩力,而這些力可能在支承結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生有害的振動(dòng).(2)安置在明顯振動(dòng)結(jié)構(gòu)上的精密儀器.3.地震儀原理剛度大 ag(加速度計(jì))柔度大gv(位移計(jì))高等結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)gv 四、非線性問題假定：線性加速度的假定 時(shí)間間隔內(nèi)體系的動(dòng)力特性不變五、程序總結(jié) (1)初始速度和位移的值是已知的它們或是前一增量的終點(diǎn)值或是問題的初始條件值(2)利用這些值及結(jié)構(gòu)特定的非線性特性，可找出時(shí)間間隔內(nèi)的阻尼c(t)和則度k(t)以及陽尼力 和彈性力的當(dāng)前值. (3)初始加速度由下式給出：(4)等效荷載增量 和等效剛度 可按以下方程計(jì)算 Dft sft1( )( )( )( )Dsv