小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想

1、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的思考 用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)著小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不同的年級、內(nèi)容、學(xué)習(xí)對象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，但也存在著很大的關(guān)聯(lián)性。就教學(xué)實施的一般程序來看，可以歸結(jié)到三個字：“磨”“模”“魔”。一、“磨”。所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“?！保啃枰獛椭鷮W(xué)生建立怎樣的“?！保咳绾蝸斫ā澳！保吭诙啻蟮某潭壬蟻斫ā澳！保克ǖ摹澳！焙徒５倪^程對于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這些問題都是一些本原性的問題。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話，可以肯定，他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識概念、命題、問題和方法等很難

2、見到“數(shù)學(xué)模型”的影子，他的學(xué)生也可能從未感受過“數(shù)學(xué)模型”的力量。眾所周知，“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程?？墒牵半u兔同籠”卻被廣泛地運用到小學(xué)教材中：北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用。教學(xué)這些內(nèi)容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢？我想至少有三方

3、面是值得關(guān)注的：一是內(nèi)容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征（告知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量）；二是方法層面的，即“假設(shè)法”的一般解題思路（畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”）；三是思想層面的，即從一個具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問題出發(fā)，在經(jīng)歷了對其解答的過程之后，能將解決它的方法和思路進行擴展運用（學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終的目標(biāo)并不僅僅是會解答一道“雞兔同籠”，更有其他）。有了這樣的理解，在教學(xué)中，我們就會引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時，注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運用，用系統(tǒng)的眼光來看待它的教學(xué)價值。這些，恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一

4、次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。再比如，“確定位置”的數(shù)學(xué)模型是立體坐標(biāo)系。學(xué)生在一年級接觸到的一列隊伍中“老爺爺排在第3個”，其實就是一維空間上的確定位置；在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個”，其實就是二維空間上的確定位置；五年級學(xué)習(xí)的“數(shù)對”則是初步抽象的二維坐標(biāo)模型。如果在教學(xué)中能將這一層意義滲透進去，一定能為學(xué)生將來學(xué)習(xí)立體坐標(biāo)系提供很好的支持。眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識，往往會決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。二、“模”。所謂“模”，即“建模”。也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋和運用。對小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建模”的過程，實

5、際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。以下是兩位老師利用同一素材教學(xué)“減法”的片段：【教學(xué)片段1】出示情境圖。師：請同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，剩下3個。師：你真棒!誰再來說一說。生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個小朋友，還剩下3個小朋友。師：很好！你知道怎樣列式嗎？生：5-2=3。教師聽了滿意地點點頭，板書5-2=3。接著教學(xué)減號及其讀法?！窘虒W(xué)片段2】出示情境圖。（同上）師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？生：從圖中我看到了有5個小朋友在澆花。師：第二幅圖呢？生：第二幅圖中有2個小朋

6、友去提水了，剩下3個小朋友。師：你能把兩幅圖的意思連起來說嗎？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個。師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，也說得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個數(shù)學(xué)問題嗎？生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩幾個？生（齊）：3個。師：對，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢？（教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。）師：（結(jié)合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花，走了2個，還剩3個；從5個圓片中拿走2個，還剩3個，都可以用同一個算式（學(xué)生齊接話：5-2=3）來表示。（在圓片下板書：5-2=3）生齊讀：5減2等于3。師：誰來說一說這里的5表示什么？2、

7、3又表示什么呢？師：同學(xué)們說得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題，5-2=3還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只。上述兩段教學(xué)，所體現(xiàn)出來的教學(xué)著力點是不一樣的。第一個片段，屬于“就事論事”式的簡單教學(xué)，教師對教學(xué)的定位完全停留在知識傳授的層面上，“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個片段，除了教學(xué)充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。且這種訓(xùn)練并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點相貼切由具體、形象的實例開始，借助于操作予以內(nèi)化和

8、強化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。再比如，在小學(xué)階段，學(xué)生認(rèn)識小數(shù)時主要是將它和分?jǐn)?shù)之間進行意義上的關(guān)聯(lián)，即：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾。按照螺旋上升的教材編排原則，上述內(nèi)容大多分解在三、四年級分兩次學(xué)完，三年級先認(rèn)識一位小數(shù)。如何在三年級初步認(rèn)識一位小數(shù)時就體現(xiàn)出“建?！钡乃枷肽?，我們進行了如下教學(xué)：課始，教師出示到超市購買的一些物品和相應(yīng)的價錢：水彩筆12元、美工刀3元5角、鉛筆0.4元。當(dāng)“0.4元”出現(xiàn)后，教師提問：師：知道“0.4元”到底是多少錢嗎？生：0.4元就是4角錢。（板書4角=0.4元）師

9、：4角錢有沒有1元多？生：沒有。師：看來，和1元相比，0.4元只能算是一個“零頭”了。如果我們用這樣的一個長方形來表示1元（出示圖1），你能把它分一分、涂一涂，將0.4元表示出來嗎？圖1圖2（學(xué)生拿出練習(xí)紙畫畫涂涂，把自己的想法表示出來。交流時，尋找共性特點：平均分成10份，涂出其中的4份）師：為什么這樣就將“0.4元”表示出來了呢？生：因為1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。師：看著大家畫出的圖示，讓我想起以前咱們學(xué)什么時，也是這樣子平均分一分、涂一涂？生：分?jǐn)?shù)！師：那0.4元如果用分?jǐn)?shù)表示，如何表示呢？生：十分之四元。師：數(shù)學(xué)真是有趣，原來0.4元也就是我們熟悉的十

10、分之四元。（出示圖2）師：老師購買了一塊橡皮，它的價錢是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少錢？生：0.8元就是8角師：又是一個不足1元的零頭，如果我們還是用這樣的一個長方形來表示1元，那0.8元又該怎么表示呢？學(xué)生模仿者剛才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”（見右圖）。接著，老師給學(xué)生提供一個空白的平均分成10份的長方形，任意涂出其中一部分，表示出一個小數(shù)和相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。幾個學(xué)生自由展示后，組織梳理，從0.1就是十分之一，0.2就是十分之二師：接下來我們再來看看筆記本的價格，我給你一個圖示（見下圖），你知道它的價錢了嗎？生：筆記本的價格是1.2師：剛才的小數(shù)都是“零點幾”，現(xiàn)在怎么變

11、成“一點幾”了？生：現(xiàn)在有兩個長方形了，第一個涂滿了顏色，表示整1元。第二個平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角錢，0.2元，合起來就是1.2元了。師：我買的鋼筆的價錢是8.6元，如果讓你畫一幅圖來表示它的價錢，你準(zhǔn)備怎樣畫呢？生：我準(zhǔn)備先畫9個大小一樣的長方形，然后把前面8個涂滿顏色，第9個長方形平均分成10份，涂出其中的6份。上述教學(xué)過程抓住了知識間的聯(lián)系（小數(shù)和十進分?jǐn)?shù)的關(guān)系）而展開，但又不是停留在教師直接的講解和“告訴”，而是讓學(xué)生充分展開探索過程，借助于直觀圖示的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”（長方形等分、涂色）。這種形象的“直觀模型”既搭起了小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的橋梁，

12、也具有強大的“擴展”功能，對后面學(xué)習(xí)兩位小數(shù)、三位小數(shù)（同樣的長方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小數(shù)的意義”具有統(tǒng)攝作用。從上述兩例可以看出，運用建模思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，通過這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強有力的基礎(chǔ)支持。當(dāng)然，對學(xué)生“模型”意識的培養(yǎng)和“建模”方法的指導(dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級而有層次不同的要求，低年級要恰到好處地結(jié)合日常實例和常規(guī)教學(xué)對學(xué)生進行“模型”及“模型意識”的滲透、點化，高年級則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中

13、“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。三、“魔”。所謂“魔”，即“著魔”，也就是學(xué)生對“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運用有著深切的體驗和感悟，并對之產(chǎn)生好奇，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動地構(gòu)想模型、建立模型、運用模型。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛之情。要實現(xiàn)這樣的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識和方法層面，而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”，用數(shù)學(xué)自身的魅力來吸引學(xué)生。正如日本數(shù)學(xué)家米山國藏所說：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。vii要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)

14、學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”，實際教學(xué)中，一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗和感受。比如，在二年級教學(xué)“確定位置”時，設(shè)定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要“從左向右數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線”（坐標(biāo)系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線”（坐標(biāo)系中的“縱軸”原型），既將觀察順序形象表達，又蘊含了二維坐標(biāo)（第一象限）的基本原理。如果學(xué)生在獨立練習(xí)中也能模仿著使用，那感受會更加深刻。而在六年級學(xué)習(xí)“確定位置”（用方向、角度、距離來確定平面圖中任意一個位置）時，如果讓學(xué)生試著總是以觀測點為中心先畫

15、出一個“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序，而且準(zhǔn)確性很高。在此基礎(chǔ)上，老師再對學(xué)生進行“建?！薄ⅰ坝媚！钡膶W(xué)習(xí)水平進行適當(dāng)評價和鼓勵，教學(xué)的境界就會大大提升。另一方面，也可以在中高年級進行一些專題性的訓(xùn)練。我們曾以“雞兔同籠”為例進行過這方面的嘗試。在學(xué)生初步能用不同的假設(shè)思路解答雞兔同籠的題目后，老師提問：“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放在一起養(yǎng)殖，也沒誰去做數(shù)頭數(shù)腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地研究來研究去的，一千多年過去了，雞兔同籠這道數(shù)學(xué)題還作為寶物似的流傳到今？”（屏幕顯示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？）在學(xué)生對所提問題一時困

16、惑皺眉時，老師提議帶著這個問題來繼續(xù)進行“龜鶴同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑問：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？”經(jīng)過研究和比對，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題，如人馬問題、牛雞問題、汽車和自行車的輪子問題，等等。隨后，師生共同研究“信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少張？”，探討其與雞兔同籠問題的關(guān)聯(lián)。經(jīng)過比較和猜想，學(xué)生的認(rèn)識再次提升：“這里的2元的鈔票就相當(dāng)于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當(dāng)于兔，是5只腳的怪兔”。最后，老師讓學(xué)生聯(lián)系生活，將一些實際問題編成“怪雞”、“怪兔”同籠的

17、數(shù)學(xué)問題并解答。到了課堂總結(jié)時，屏幕上第三次出示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？學(xué)生總結(jié)感受之后，老師順勢給以強化：從一個具體的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的運用，數(shù)學(xué)就是這樣發(fā)展起來的。同樣，如果我們在學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)問題時能有“模型”的意識，舉一反三，能觸類旁通，那么你必將會走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。上述教學(xué)通過對“雞兔同籠有什么獨特的魅力？”這一問題的三次追問把整節(jié)課串聯(lián)起來，雖然每一次追問的層次和目標(biāo)是不一樣（第一次是針對具體的、“原生態(tài)”的雞兔同籠問題發(fā)問，主要是激發(fā)學(xué)生的探究欲望，向更高的學(xué)習(xí)層次邁進；第二次是進一步明確“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)、模型，同時，又讓學(xué)

18、生很好地經(jīng)歷更高層次“數(shù)學(xué)化”的過程；第三次是幫助學(xué)生實現(xiàn)完整的“模型”建構(gòu)，實現(xiàn)“形式的”數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”），但是，其核心都是讓學(xué)生從“模型”和“建?！钡慕嵌葋碛H近數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)。站在“高點”再回望探究之旅，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識就更加深入了，由此而產(chǎn)生的“魔力”，將深刻而持久地影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活。總的說來，在數(shù)學(xué)課堂上，我們教的是數(shù)學(xué)，面對的是兒童?！澳ァ?，側(cè)重于教師對數(shù)學(xué)本身的理解；“魔”，則是要堅持兒童立場，讀懂兒童，引領(lǐng)兒童，發(fā)展兒童；“?！敝赶蚪虒W(xué)過程，是在數(shù)學(xué)和兒童之間真正搭起一座有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之橋。三者有機統(tǒng)一，互動交融，締造出小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的至高境界。小學(xué)數(shù)

19、學(xué)思想方法的梳理（三）王永春（課程教材研究所）三，模型思想 1模型思想的概念。 數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟，物理，農(nóng)業(yè)，生物，社會學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)

20、學(xué)知識或是符號思想明顯的區(qū)分開來，本文主要從狹義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。 2模型思想的重要意義。 數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)的語言和工具，對現(xiàn)實世界的一些信息進行適當(dāng)?shù)暮喕?，?jīng)過推理和運算，對相應(yīng)的數(shù)據(jù)進行分析，預(yù)算，決策和控制，并且要經(jīng)過實踐的檢驗。如果檢驗的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場經(jīng)濟和信息化社會已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。 如果說符號化思想更注重數(shù)學(xué)抽象和和符號表達，那么模型思想更注重數(shù)學(xué)地應(yīng)用，更通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問

21、題；當(dāng)然，把現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個抽象化的過程?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對符號化思想有明確要求，如要求學(xué)生“能從具體行進中抽象出數(shù)量變化和變化規(guī)律并用符號來表示”，這實際上就包含了模型思想。但是，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對第一，二學(xué)段并沒有提出模型思想要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過程以“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用于擴展”的模式展開。如果說小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人只是套用第三學(xué)段對模型思想的要求進行研究也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實。 據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)與現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程

22、標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量變化和變量規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用知識”。并在教材編寫中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學(xué)知識解決問題的活動。這樣的活用應(yīng)體現(xiàn)問題情境建立模型求解驗證過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和

23、提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識”。 這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了建立模型是數(shù)學(xué)運用和解決問題的核心。 3模型思想的具體運用 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，也是一個應(yīng)用的過程。從這個角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1,2,3是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題等，實際上都是用各種數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型來

24、解決數(shù)學(xué)問題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來說，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)知識的簡單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡單，但仍然是現(xiàn)實生活和進一步學(xué)習(xí)所不可缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。知識領(lǐng)域知識點應(yīng)用舉例 數(shù) 與 代 數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2，.用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運算a+b=cC-a=b,c-a=bab=c(a0,b0)ca=b,cb=a方程a+b=c數(shù)量關(guān)系時間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價和總價;a=np正比例關(guān)系;y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖像用字母表示公式三角形面積;s=1/2ab平行四邊形面

25、積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長：C=2r圓面積：S=r2長方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計與概率統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表用統(tǒng)計圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小 4數(shù)學(xué)模型思想的教學(xué)。 5從表格中可以看出：模型思想與符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究的各種問題。正是因為數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不但促進了科學(xué)和人類的進步，也使人們對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識：數(shù)學(xué)不

26、僅僅是數(shù)學(xué)家的樂園，它特不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。廣大教師在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問題的數(shù)學(xué)，要注意貫徹數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，另一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學(xué)生如何建立模型，比不過喜歡數(shù)學(xué)。 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識，這個學(xué)習(xí)過程可能是一個探索的過程，也可能是一個接受學(xué)習(xí)的過程；第二種是利用基本模型區(qū)解決各種問題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問題。 教學(xué)建模是一個比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際問題，明確要

27、解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。（2）把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡化，確定必要的數(shù)據(jù)。（3）建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖標(biāo)形式。（4）解答問題。下面結(jié)合案例做簡要分析。 第一，學(xué)習(xí)的過程可以經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過程，現(xiàn)實過程中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家和物理家等科學(xué)家們應(yīng)用于各個領(lǐng)域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來的，是的我們能夠享受現(xiàn)實的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律;平行的杠桿，物體到杠桿支點的距離之比，即F1：F2=L2；L1.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有時是一個探索的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程；也就是說有些模型是可以由學(xué)生再創(chuàng)造的，可以吧科學(xué)家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學(xué)

28、習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡單的學(xué)具進行操作實驗，探索杠桿定律。再如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個模型化的過程，也是一個再創(chuàng)造的過程。 第二，對于大多數(shù)人來說，在現(xiàn)實生活中和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問題，基本上都是根據(jù)對現(xiàn)實情境的分析，利用已有的學(xué)習(xí)知識構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話說，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學(xué)生在創(chuàng)造。如兩個變量成反比例關(guān)系，如果給出兩個量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過觀察

29、和計算有可能發(fā)現(xiàn)者兩個量的關(guān)系。但是如果讓學(xué)生動手實踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定難度的。再如物體運動地路程、時間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運動的簡單的實際問題。但是由于這個模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進行再創(chuàng)造。教師只需要通過現(xiàn)實模擬或者動畫模擬，是學(xué)生能夠理解模型的意義便可。 案例1;小明的家距學(xué)校600米，每天上學(xué)從家步行10分鐘到學(xué)校。今天早上出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學(xué)具了，立即回家去取。他如果想按原來的時間趕到學(xué)校，步行的速度應(yīng)是多少？（取東西的時間忽略不計） 第三,應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型進而解決各種問

30、題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識后，利用已有的知識解決新的更加復(fù)雜的各種問題，是一個富有挑戰(zhàn)的過程，也可以是一個合作探究的過程。如小學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中有很多應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的問題，就是一個建立模型的過程；再如中學(xué)生和大學(xué)生組隊參加數(shù)學(xué)建模大賽，就是一個團隊合作探究的過程。 解題過程如下： （1）本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關(guān)于時間、速度和路程的問題。 （2）這里需要明確所求的速度行相對應(yīng)的路程和時間是什么，因為取東西等時間忽略不計，因此剩余的時間就可以確定為步行的時間；路程是從家出來2分鐘后開始算，在回家的路程加上從家到回家的路程的和；時間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘

31、的時間了。 （3）根據(jù)基本的關(guān)系式s=vt，可先求出s=600+(60010)2=720(米),t=10-2=8(分鐘)。列式為：720=8v （4） V=90,即小明步行的速度每分鐘為90米。 從上面的解答過程來看，小學(xué)數(shù)學(xué)的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說此題比教材中的一般習(xí)題有難度的話，就是路程和時間沒有直接給出，拐了個彎。也就是說難點在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應(yīng)的數(shù)量怎么確定的找出來，一定要注意題中每一個量是怎樣訴述的，有什么特殊的要求，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確的找出來或計算出來。 案例2.;有一根20米長的繩子，要剪成2米和5米長兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？

32、（要求繩子無剩余，并且每種規(guī)格的繩子至少要有一根）分析：此題從表面上看，是小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)乘法的一般問題，但是由于題中有特殊要求，無法列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。那么，面對這樣的問題如何解決呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)中面對一些非常規(guī)范的問題時，有時運用列表列舉或猜測的方式是一種可行的策略，只不過會繁瑣些。5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余根數(shù)1010 由上表可知符號要求的答案為：5米和2米的跳繩分別減2根和5根。 此題如果用方程解決，可設(shè)5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例關(guān)系y=kx圖像的畫法，再有

33、方格紙的坐標(biāo)系里，通過兩點（0,10）和（4,0）畫出一條直線，就是方程5x=2y=20.圖像。再找出圖像與方程的交叉點重合的點，就是方程的解。 案例3：一瓶礦泉水滿瓶為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來，無水的部分高度為4厘米。小林喝了多少水？ 分析;此題是求水的容積，有一個在建模過程中需要假設(shè)，就是礦泉水瓶援助部分并不是一個圓柱的形狀，這樣才便于建立模型，由于不知道圓柱的底面積，所以無法用容積公式直接求解。這就需要換一個思路來想，根據(jù)容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問題轉(zhuǎn)化為比例問題。由于礦

34、泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過來以后喝的水就相當(dāng)于圓柱形瓶子高度為4厘米的水。滿瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水。可設(shè)小林喝的水為v毫升，列式為：v:500=4:(16+4)，V=100在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何基于模型思想開展數(shù)學(xué)教學(xué)？在利用數(shù)學(xué)建模進行教學(xué)的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動了解數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度發(fā)現(xiàn)實際問題中所包含的豐富的數(shù)學(xué)信息，探索多種解決問題的方法。經(jīng)“問題情境建立模型解釋應(yīng)用與拓展”過程，學(xué)會綜合運用所學(xué)知識和方法解決簡單的實際問題，獲得運用數(shù)學(xué)解決問題的思考方法，并能與他人進行合作交流，同時兼顧讓不同的學(xué)生獲得不同

35、的體驗和發(fā)展，鼓勵解決問題策略的多樣色，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要。一、用數(shù)學(xué)模型法解決最重要的就是建立適合問題的數(shù)這模型。有以下幾個基本步驟：(1)提出問題并用準(zhǔn)確的語言加以表述；(2)分析各種因素，作出理論假設(shè)；(3)建立數(shù)學(xué)模型；(4)按數(shù)學(xué)模型進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出有意義的數(shù)學(xué)結(jié)果；(5)對數(shù)學(xué)結(jié)論進行分析。若符合要求，可以將數(shù)學(xué)模型進行一般化和體系化按此解決問題若不符合，則進一步探討，修改假設(shè)，重建模型，直止符合要求為止；(6)優(yōu)化。對一個問題的假設(shè)和數(shù)學(xué)模型不斷加以修改，進行最優(yōu)化處理。因為對一個問題或一類問題也可能有幾個模型，以對它們要進行比較，直到找到最優(yōu)模型。具體來說，在教學(xué)中要注意以

36、下幾點：1、在面向全體，在學(xué)科教學(xué)中滲透。數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，教師成為活動的組織者、引導(dǎo)者和全作者，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。例如在教學(xué)“平行四邊形面積計算公式”一課時，抓住平行四邊形與長方形的聯(lián)系，建立“數(shù)方格”和“公式”算面積的方法，利用“公式”算面積的方法可建立如下模型：以上六種解法都能將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，但前四種解法方法簡便，第種解法最容易使學(xué)生理清

37、長方形和平行四邊形的各種聯(lián)系，從“長方形的面積長寬”中，推導(dǎo)出“平行四邊形的面積“平行四邊形的面積底高”。2、因材施教，在活動課程中提高。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式的不同，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程，動手實踐自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。例如，在學(xué)習(xí)“按比例分分配應(yīng)用題”和“統(tǒng)計圖表”后，讓學(xué)生利用假日去調(diào)查生產(chǎn)、生活中一些事物的分布情況，作為假日小隊的小課題研究內(nèi)容。同學(xué)們分組深入醫(yī)院、賓館、街頭、工地、廠房、車間，通過調(diào)查、訪問、咨詢、實驗，收集數(shù)據(jù)，統(tǒng)計分析，形成一份份有價值的調(diào)查

38、報告，例如：“劇場路交通整治的策略”、“小洋河污水形成的原因”、“光明藥店劣質(zhì)藥品剖析”、“城市110的作用”等。我在建構(gòu)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于模型思想開展數(shù)學(xué)教學(xué)所采取的基本方法：1、把生活原型抽象為數(shù)學(xué)模型。2、建立正確的表象，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。3、把實際問題數(shù)學(xué)化，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。4、開展課程資源，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。5、建立模型，解決實際問題。教研專區(qū)全新登場教學(xué)設(shè)計教學(xué)方法課題研究教育論文日常工作二、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型需要注意的方面1、建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型要能有效的提高學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)模型的一個重要特點就在于其所具有的抽象性。例如表示一節(jié)裝滿貨物的車廂，用一個有既定比例的長方體表示就足夠了。長方體可以算

39、得上是車廂的抽象化舍棄了這個車廂內(nèi)部的具體形狀、大小、所裝貨物等非本質(zhì)屬性，只保留了車廂的相對大小這一本質(zhì)屬性。由此可見，數(shù)學(xué)模型化是一種意識、一種主觀傾向，它的形成過程實質(zhì)上就是學(xué)生個體思維強度和廣度的提高過程。而它的實現(xiàn)則依賴于主體對客體的認(rèn)知水平，對知識的領(lǐng)悟能力，并引出個體的思維深刻度、廣闊性和靈活性。2、建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型要能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中一些實際問題的意識。由于數(shù)學(xué)模型形成的背景十分豐富，因此，在具體的教學(xué)過程中，要給于較大的自由度，這樣才能夠較好地照顧到學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣（例如選擇一些來源于生活的實例）如教學(xué)“小數(shù)乘法”一課時，教師可以選擇安排學(xué)生在超市中購

40、物的現(xiàn)實情景，超市中有許多學(xué)生感興趣的琳瑯滿目的商品，讓學(xué)生按照各種要求在超市中進行購物，比如班級開展聯(lián)歡會，要給每位同學(xué)準(zhǔn)備一些食物、獎品等，讓他們先自由分組，再在小組中展開廣泛地討論初步得出采購的內(nèi)容和數(shù)量，再進行分工開始購買商品，最后算一算每種商品的價錢以及購物的總價。不僅使學(xué)生在輕松愉快地活動中掌握了小數(shù)乘法同時也復(fù)習(xí)了加法的相關(guān)知識，更使得學(xué)生進一步地體會到數(shù)學(xué)來源于生活的道理。除此之外還要通過激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力來形成他們的學(xué)習(xí)動機（例如選擇一些能夠激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突的例子）。例如：在教學(xué)三角形面積時，提供給學(xué)生的學(xué)具除了兩個完全相同的三角形之外，還應(yīng)該補充一些不完全一樣的三角形

41、，銳角、直角、鈍角三角形都應(yīng)該提供。在動手操作的過程中學(xué)生會遇到很多沖突和問題，并不是能夠很輕易地解決的，隨之進行激烈地討論以及充分地思考、反復(fù)多次地操作后終于發(fā)現(xiàn)銳角、直角、鈍角三角形，只要是兩個完全相同的三角形就可以拼成一個平行四邊形（直角三角形可以拼成長方形、直角等腰三角形則可以拼成正方形等等），從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出面積計算的公式。根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)動機的出現(xiàn)，在其年齡較小時，好奇與興趣占有很大比重，而隨著年齡增大，認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力則逐漸扮演了重要角色。因此，模型的建構(gòu)要可以很方便地應(yīng)用到數(shù)學(xué)以外的世界，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。三、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法1、建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)該上學(xué)生大膽的去猜

42、想，再在直觀的事例中進行具體地分析。猜想是一種帶有一定直覺性的比較高級的思維方式，對于探索或發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)來說，猜想是一種非常重要的思維方法。在教學(xué)生一些數(shù)學(xué)定理之前，我們不妨可以讓他們根據(jù)已有的知識大膽地去猜想一下這個定理。例如：學(xué)生在掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形面積計算的推導(dǎo)過程以及計算方法之后，在教學(xué)梯形的面積計算時，則可以讓學(xué)生大膽地猜想一下它的面積計算可能會和誰有關(guān)，根據(jù)以往所學(xué)的知識，學(xué)生應(yīng)該會想到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，推測出可能會與平行四邊形的面積計算有關(guān)，再讓學(xué)生從教師所提供的各種各樣的梯形材料中進行研究，從直觀的圖形中開展具體地分析，從而找出其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，最

43、終得出結(jié)論。2、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)該讓學(xué)生在許多直觀或貼近生活的實例中進行有效地綜合比較。綜合是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中將數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)實例的分析情況進行整理組合，從而形成對這一類數(shù)學(xué)知識的總體認(rèn)識。比較是對有關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、數(shù)學(xué)實例，區(qū)別它們的相同之處和不同之處。數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，包括多少與大小的比較，相同與不同的比較，結(jié)構(gòu)與關(guān)系的比較，定律與性質(zhì)的比較等。比較的目的是認(rèn)識事物的聯(lián)系與區(qū)別，明確彼此之間存在的同一性與相似性，一邊解釋其背后的共同模型。例如：在教學(xué)生活中的百分率，教師先由死海的含鹽率引出，在給出許多相關(guān)的實例，比如：出勤率、合格率、成活率、及格率、發(fā)芽率、出粉率等等之后，學(xué)生通過綜

44、合得出以上這些都是生活中的百分率，都是求部分量占總量的百分之幾。再通過比較得出雖然都是百分率，也各有各的不同，含鹽率是指鹽的重量占鹽水重量的百分之幾，而出勤率則是指實際出勤的人數(shù)占應(yīng)出勤總?cè)藬?shù)的百分之幾。3、建構(gòu)數(shù)學(xué)模型應(yīng)該讓學(xué)生從具體的實例中抽象出它們所具有的共性，再用數(shù)學(xué)的語言或符號等進行概括。抽象是從許多數(shù)學(xué)實例或數(shù)學(xué)現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)其共同的本質(zhì)特點。而概括則是把抽象出來的共同點用數(shù)學(xué)的語言或符號等形式進行歸納和總結(jié)。例如：在教學(xué)分?jǐn)?shù)與除法之間的關(guān)系，通過大量的實例使學(xué)生從中抽象出它們的共性是：被除數(shù)除數(shù)=，最終用數(shù)學(xué)符號概括出：ab=(b0)的結(jié)論。數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透20

45、11-11-24 10:58:06|分類：課題研究|字號訂閱在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)我們發(fā)現(xiàn)這樣一句話“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。”,這實際上就是要求把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程當(dāng)做建立數(shù)學(xué)模型的過程,并在建模過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,引導(dǎo)學(xué)生自覺地用數(shù)學(xué)的方法去分析、解決生活中的問題。明確要求教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，不但要重視其結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生自主建立數(shù)學(xué)模型的過程，讓學(xué)生在進行探究性學(xué)習(xí)的過程中科學(xué)地、合理地、有效地建立數(shù)學(xué)模型。一、數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型是對某種事物系

46、統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系概括或近似表述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都是由現(xiàn)實世界的原型抽象出來的,從這個意義上講,所有的數(shù)學(xué)知識都是刻畫現(xiàn)實世界的模型。狹義地理解,數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu),是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)安排了“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應(yīng)用”四塊學(xué)習(xí)領(lǐng)域,強調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動,發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、以及應(yīng)用意識與推理的能力。這些內(nèi)容中最重要的部分,就是數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)階段,數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關(guān)系、定律、

47、公理系統(tǒng)等。二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模思想的可行性數(shù)學(xué)模型不僅為數(shù)學(xué)表達和交流提供有效途徑，也為解決現(xiàn)實問題提供重要工具，可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)的意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)采取有效措施，加強數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識以及分析和解決實際問題的能力。數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”、“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解

48、釋與運用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進入和發(fā)展。”對數(shù)學(xué)建模這個概念來講也許是新的，但回想我們的日常教學(xué)不難發(fā)現(xiàn)我們的學(xué)生已經(jīng)有數(shù)學(xué)建模的思想或意識，只不過沒有從理論的角度把它概括出來而已。例如，在以往教學(xué)求比一個數(shù)多幾的應(yīng)用題時，經(jīng)常碰到這樣一個例題“小明家養(yǎng)了6只公雞，養(yǎng)的母雞只數(shù)比公雞多3 只，母雞有幾只？”在教學(xué)此例時老師們都是采用讓學(xué)生擺、說等教學(xué)活動來幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，理解“同樣多的部分”，但教學(xué)效果并沒有我們老師想象的那么好，一般同學(xué)們在解釋數(shù)量關(guān)系式6+3=9時，母雞和公雞是不分的，極大部分學(xué)生都會說6只公雞加3只母雞等

49、于9只母雞。為什么學(xué)生不會用“同樣多的部分”去描述母雞的只數(shù)，其原因是十分明顯的，那就是學(xué)生在操作時頭腦中已經(jīng)對現(xiàn)實問題進行簡化，并建立了一個有關(guān)母雞只數(shù)求法的數(shù)學(xué)模型，這個模型顯然是一種疊加模型，即6+3=9（只），而6表示什么在模型中已經(jīng)是無關(guān)緊要，因為實際問題最終要解決的是數(shù)量問題。從以上這個教學(xué)實例至少可以說明兩點；其一，小學(xué)生在解決實際問題時有他自己的數(shù)學(xué)模型，有他自圓其說的解讀數(shù)學(xué)模型的方法，因此，小學(xué)生也有數(shù)學(xué)建模能力 。其二，當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型一旦建立了以后，即使他的模型是不合理或不規(guī)范的，但外人很難改變他的模型結(jié)構(gòu)。三、小學(xué)生如何形成自己的數(shù)學(xué)建模一、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想

50、。數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，因此，要將現(xiàn)實生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，描述數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景。情景的創(chuàng)設(shè)要與社會生活實際、時代熱點問題、自然、社會文化等與數(shù)學(xué)問題有關(guān)的各種因素相結(jié)合，讓學(xué)生感到真實、新奇、有趣、可操作，滿足學(xué)生好奇好動的心理要求。這樣很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，并在學(xué)生的頭腦中激活已有的生活經(jīng)驗，也容易使學(xué)生用積累的經(jīng)驗來感受其中隱含的數(shù)學(xué)問題，從而促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。如教學(xué)平均數(shù)一課，新課伊始出示兩個小組一分鐘做題道數(shù)：第一組 9 8 9 6第二組 7 1

51、0 9 8教師提問：哪組獲勝，為什么？這時出示，第一組請假的一位同學(xué)后來加入比賽。第一組 9 8 9 6 8第二組 7 10 9 8師：根據(jù)比賽成績我們判定一組獲勝。此時有學(xué)生提出異議：雖然第一組做對的總道數(shù)比第二組多，但是兩個隊的人數(shù)不同，這樣比較不公平。師：那怎么辦呢？生：可以用平均數(shù)進行比較。師：什么是平均數(shù)？學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗進行總結(jié)。本節(jié)課平均數(shù)這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學(xué)生在兩次評判中解讀、整理數(shù)據(jù)，產(chǎn)生思維沖突，從而推進數(shù)學(xué)思考的有序進行。學(xué)生從具體的問題情境中抽出平均數(shù)這一數(shù)學(xué)問題的過程就是一次建模的過程，二、參與探究，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)家華羅庚通過多年的學(xué)習(xí)

52、、研究經(jīng)歷總結(jié)出：對書本中的某些原理、定律、公式，我們在學(xué)習(xí)的時候不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來的，怎樣一步一步提煉出來的。只有經(jīng)歷這樣的探索過程，數(shù)學(xué)的思想、方法才能沉積、凝聚，從而使知識具有更大的智慧價值。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學(xué)時我們要善于引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，對學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)主動歸納、提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。如教學(xué)圓錐的體積一課：1、回顧、猜想：師：請同學(xué)們回憶我們在學(xué)習(xí)圓柱的體積推導(dǎo)過程中，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)

53、思想方法？生：運用了轉(zhuǎn)化的方法。師：猜一猜圓錐的體積能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形的體積？它會與學(xué)過的哪種立體圖形有關(guān)？學(xué)生大膽進行猜想，有的猜能轉(zhuǎn)化成圓柱、有的猜能轉(zhuǎn)化成長、正方體。2、動手驗證師：請同學(xué)們利用手中的學(xué)具進行操作，研究圓錐體積的計算方法。教師給學(xué)生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關(guān)系的、有不等底不等高關(guān)系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關(guān)系）、沙子等學(xué)具，學(xué)生分小組動手實驗。3、反饋交流生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進行實驗，將正方體中倒?jié)M沙子，然后倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發(fā)現(xiàn)圓錐體與這個圓柱體之間沒有關(guān)系。生2：我們組選取的是圓

54、錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關(guān)系，然后我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。4、歸納總結(jié)。師：那么存在3倍關(guān)系的圓柱和圓錐的底面有什么關(guān)系?它們的高又有什么關(guān)系?生3：底面積相等，高也相等。師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什么關(guān)系?生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權(quán)的1/3。師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關(guān)系？請每個組都選出這樣的學(xué)具進行操作驗證。生：匯報后師板書:圓錐的體積等于同它等底等高的圓柱體積的1/3。師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？生：圓錐的體積等于底面積乘高乘1/3。在

55、上述教學(xué)過程中，教師提供豐富的實驗材料，學(xué)生需要從中挑選出解決問題必須的材料進行研究。學(xué)生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗證、修訂實驗方案，再猜測、再驗證這樣的過程，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情景，學(xué)生在主動探索嘗試過程中，進行了再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，以抽象概括方式自主總結(jié)出圓錐體積計算公式。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識，同時讓學(xué)生經(jīng)歷猜測與驗證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過程。學(xué)習(xí)過程中學(xué)生有時獨立思考，有時小組合作學(xué)習(xí)，有時是獨立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在新知探索中充分體驗了數(shù)學(xué)模型的形成過程。三、解決問題，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型用所建立的數(shù)學(xué)模型來解答生活實際中的問題，讓學(xué)

56、生能體會到數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用價值，體驗到所學(xué)知識的用途和益處，進一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，讓學(xué)生體驗實際應(yīng)用帶來的快樂。解決問題具體表現(xiàn)在兩個方面：一是布置數(shù)學(xué)題作業(yè)，如基本題、變式題、拓展題等；二是生活題作業(yè)，讓學(xué)生在實際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)。通過應(yīng)用真正讓數(shù)學(xué)走入生活，讓數(shù)學(xué)走近學(xué)生。用數(shù)學(xué)知識去解決實際問題的同時拓展數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，又可以促進學(xué)生的探索意識、發(fā)現(xiàn)問題意識、創(chuàng)新意識和實踐意識的形成，使學(xué)生在實際應(yīng)用過程中認(rèn)識新問題，同化新知識，并構(gòu)建自己的智力系統(tǒng)。如在學(xué)生掌握了速度、時間、路程之間關(guān)系后，先進行單項練習(xí)，然

57、后出示這樣的變式題：1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發(fā)，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？學(xué)生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進行變式練習(xí)，學(xué)生基本能正確解答，說明學(xué)生對基本數(shù)學(xué)模型已經(jīng)掌握，并能夠從4小時行駛了240千米中找到需要的速度，從8：00至14：00中找到所需時間。雖然兩題敘述不同，但都可以運用同一個數(shù)學(xué)模型進行解答。掌握了數(shù)學(xué)模型，學(xué)生解答起數(shù)學(xué)問題來得心應(yīng)手。又如學(xué)習(xí)了圓的周長后設(shè)計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學(xué)校到家里的實際距離。這一問題的設(shè)計既考慮與學(xué)生生活的真實情景相結(jié)合，又能引起學(xué)生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學(xué)習(xí)活動，并能使學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)活動中學(xué)會搜集資料、分析問題