第八章學(xué)案1橢圓

1、進(jìn)進(jìn) 入入 名師伴你行名師伴你行返回目錄返回目錄 1.橢圓的定義（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)（大的距離的和等于常數(shù)（大于于|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡叫做）的點(diǎn)的軌跡叫做 .這兩個(gè)定點(diǎn)這兩個(gè)定點(diǎn)f1,f2叫做橢叫做橢圓的圓的 ，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的 .（2）平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直）平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是小于線的距離的比是小于1的正常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡的正常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫叫 ，定點(diǎn)是橢圓的，定點(diǎn)是橢圓的 ，定直線叫橢圓，定直線叫橢圓的的 ，小于，小于1的正常數(shù)叫的正常

2、數(shù)叫 .離心率離心率 橢圓橢圓 焦點(diǎn)焦點(diǎn) 焦距焦距 橢圓橢圓 焦點(diǎn)焦點(diǎn) 準(zhǔn)線準(zhǔn)線 名師伴你行2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1） =1(ab0)的焦點(diǎn)：的焦點(diǎn)： ，其中其中c= ;（2） =1(ab0)的焦點(diǎn)：的焦點(diǎn)： ，其中其中c= .3.橢圓的參數(shù)方程中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的參數(shù)方程軸上的橢圓的參數(shù)方程 為為 (為參數(shù)為參數(shù)).2 22 22 22 2b by ya ax x2 22 22 22 2b by ya ax x2 22 2b b- -a a2 22 2b b- -a af1(-c,0) ,f2(c,0)f1(0,-c),f2(0,c)x=acos y=bs

3、in 名師伴你行返回目錄返回目錄 4.橢圓的幾何性質(zhì)以標(biāo)準(zhǔn)方程以標(biāo)準(zhǔn)方程 =1(ab0)為例：為例：（1）范圍：）范圍： ;（2）對(duì)稱性：）對(duì)稱性： ;（3）頂點(diǎn)：）頂點(diǎn)： ；長(zhǎng)軸：長(zhǎng)軸： ，短軸：，短軸： ;（4）離心率：）離心率： ;（5）準(zhǔn)線：）準(zhǔn)線： ;（6）焦半徑：）焦半徑：|pf1|= ,|pf2|= ,其中其中p(x,y)是橢圓上任一點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn).2 22 22 22 2b by ya ax xa-ex|x|a,|y|b 對(duì)稱軸：對(duì)稱軸：x=0,y=0， 對(duì)稱中心為對(duì)稱中心為o(0,0)a(a,0),a(-a,0),b(0,b),b(0,-b)|aa|=2a|bb|=2be=

4、 ,0e0,n0)，由題目所給條件求出，由題目所給條件求出m,n即可即可.【解析【解析】（1）若橢圓方程為若橢圓方程為 =1(ab0)，則，則由由a=2b及點(diǎn)及點(diǎn)(2,-6)在橢圓上，可得在橢圓上，可得a2=148,b2=37.若橢圓方程為若橢圓方程為 =1(ab0)，則由，則由a=2b及點(diǎn)及點(diǎn)(2,-6)在橢圓上，可得在橢圓上，可得a2=52, b2=13.所求橢圓方程為所求橢圓方程為 =1或或 =1.2 22 22 22 2b by ya ax x2 22 22 22 2b by ya ax x3737y y148148x x2 22 25252y y1313x x2 22 2名師伴你行返

5、回目錄返回目錄 （2）可設(shè)橢圓方程為）可設(shè)橢圓方程為 =1（ab0），由題意知），由題意知a= b,a-c= - ，又，又a2=b2+c2，可求得，可求得a2=10,b2=5.橢圓方程為橢圓方程為 =1.2 22 22 22 2b by ya ax x2 21 10 05 55 5y y1010 x x2 22 2【評(píng)析【評(píng)析】題（題（1）由于橢圓焦點(diǎn)位置未定，需要討論兩）由于橢圓焦點(diǎn)位置未定，需要討論兩種情形，易錯(cuò)之處在于不討論，或是討論了第種情形，易錯(cuò)之處在于不討論，或是討論了第 種情種情形，第形，第種情形誤以為簡(jiǎn)單交換，變成種情形誤以為簡(jiǎn)單交換，變成 =1，實(shí)，實(shí)際上兩種情形下的際上兩種

6、情形下的a,b取值是不同的取值是不同的.3737y y148148x x2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓交于與該橢圓交于p和和q，且，且opoq,|pq|= ，求橢，求橢圓方程圓方程.設(shè)橢圓方程為設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0),設(shè)設(shè)p(x1,y1)，q(x2,y2), y=x+1 mx2+ny2=1(m+n)x2+2nx+n-1=0,2 21010由由消去消去y，整理得，整理得名師伴你行返回目錄返回目錄 =4n2-4(m+n)(n-1)0,即即m

7、+n-mn0,opoq等價(jià)于等價(jià)于x1x2+y1y2=0，將，將y1=x1+1,y2=x2+1,代入，得代入，得2x1x2+(x1+x2)+1=0, m+n=2. 由弦長(zhǎng)公式，得由弦長(zhǎng)公式，得 .將將m + n=2代入，代入， 得得 mn = . m= m= n= n= .顯然滿足顯然滿足0.故所求橢圓的方程為故所求橢圓的方程為 或或 0 01 1n nm m2n2n- -n nm m1)1)- -2(n2(n2 22 2) )2 21 10 0( (n n) )( (m mm mn n) )- -n n4 4( (m m2 24 43 3聯(lián)立聯(lián)立 得得或或2 21 12 23 32 23 3

8、2 21 11 1y y2 23 32 2x x2 22 21 12 2y yx x2 23 32 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì) 【例【例2】自橢圓自橢圓 =1(ab0)上一點(diǎn)上一點(diǎn)m向向x軸作垂線，軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)f1，且其長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，且其長(zhǎng)軸右端點(diǎn)a及短軸上端及短軸上端點(diǎn)點(diǎn)b的連線的連線ab與與om平行平行.（1）求此橢圓的離心率；）求此橢圓的離心率；（2）p為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，f2為右焦點(diǎn)，當(dāng)為右焦點(diǎn)，當(dāng)|pf1|pf2|取最大取最大值時(shí)，求點(diǎn)值時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)的坐標(biāo).【分析【分析】本題涉及等量關(guān)

9、系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系本題涉及等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系 ，在與所求量，在與所求量有關(guān)的參量上作文章是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵有關(guān)的參量上作文章是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵 ，還有離心率的求，還有離心率的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件獲得關(guān)于解問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件獲得關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，最的關(guān)系式，最后化歸為后化歸為a,c（或（或e）的關(guān)系式，利用方程求解）的關(guān)系式，利用方程求解.2 22 22 22 2b by ya ax x名師伴你行返回目錄返回目錄 【解析【解析】（1）如圖）如圖8-1-3所示，由已知得所示，由已知得m(-c, ),a(a,0),b(0,b),kab=- ,由由kom=kab得得b=c,b2=c2

10、.a2-c2=c2,即即a2=2c2,e= .（2）解法一解法一：|pf1|+|pf2|=2a，|pf1|pf2| =a2.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|pf1|=|pf2|=a時(shí)，上式取等號(hào)時(shí)，上式取等號(hào).即即|pf1|pf2|的最大值為的最大值為a2,此時(shí)此時(shí)p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,-b)或或(0,b).a ab b2 2a ab b2 22 2 2 22 21 12 2| |p pf f| | |p pf f| |)(名師伴你行返回目錄返回目錄 解法二解法二：由焦半徑公式得：由焦半徑公式得|pf1|pf2|=（a+ex0）(a-ex0)=a2-e2 (x0為為p的橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo))-ax0a，當(dāng)當(dāng)x0

11、=0時(shí)，時(shí)，|pf1|pf2|取最大值取最大值a2.此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,-b)或或(0,b).2 20 0 x x名師伴你行返回目錄返回目錄 【評(píng)析【評(píng)析】（1）求橢圓離心率的題目大致分為兩類：一）求橢圓離心率的題目大致分為兩類：一類利用橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率類利用橢圓定義及性質(zhì)直接得出離心率e的式子（或與的式子（或與橢圓的統(tǒng)一定義有關(guān)）；另一類利用條件（題設(shè)條件）橢圓的統(tǒng)一定義有關(guān)）；另一類利用條件（題設(shè)條件）獲得關(guān)于獲得關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，最后化歸為的關(guān)系式，最后化歸為a,c（或（或e）的關(guān)）的關(guān)系式（關(guān)于系式（關(guān)于a,c的齊次方程），再依的齊次方程），再依e=

12、化成關(guān)于化成關(guān)于e的的方程，利用方程思想求離心率方程，利用方程思想求離心率.（2）求有關(guān)最值或范圍問(wèn)題，一般利用橢圓的第一定）求有關(guān)最值或范圍問(wèn)題，一般利用橢圓的第一定義中義中|pf1|+|pf2|=2a為定值，運(yùn)用均值不等式或利用焦為定值，運(yùn)用均值不等式或利用焦半徑公式或利用橢圓的范圍（有界性）性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等半徑公式或利用橢圓的范圍（有界性）性質(zhì)轉(zhuǎn)化為不等式函數(shù)問(wèn)題，這是解析幾何中解決最值或范圍問(wèn)題的常式函數(shù)問(wèn)題，這是解析幾何中解決最值或范圍問(wèn)題的常見方法見方法.a ac c名師伴你行返回目錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練如圖，中心在原點(diǎn)如圖，中心在原點(diǎn)o的橢圓的右焦點(diǎn)為的橢圓的右焦點(diǎn)為f（3,

13、0）,右準(zhǔn)線右準(zhǔn)線l的方程為的方程為x=12.（1）求橢圓的方程）求橢圓的方程;（2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)p1,p2,p3,使使p1fp2=p2fp3=p3fp1,證明證明:為定值，并求此定值為定值，并求此定值. | |fpfp| |1 1| |fpfp| |1 1| |fpfp| |1 13 32 21 1名師伴你行返回目錄返回目錄 （1）設(shè)橢圓方程為）設(shè)橢圓方程為 =1（ab0）,因焦點(diǎn)為因焦點(diǎn)為f（3,0）,故半焦距故半焦距c=3.又右準(zhǔn)線又右準(zhǔn)線l的方程為的方程為x= ,從而由已知從而由已知 =12,得得 =36.因此因此a=6,b= = .故所求橢圓方程為故

14、所求橢圓方程為 =1.2 22 22 22 2b by ya ax xc ca a2 2c ca a2 22 2a a2 22 2c c- -a a3 33 32 27 72727y y3636x x2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 （2）如圖，記橢圓的右頂點(diǎn)為）如圖，記橢圓的右頂點(diǎn)為a,并設(shè)并設(shè)afpi=i(i=1,2,3),不失一般性，假設(shè)不失一般性，假設(shè)0ib0).由已知，得由已知，得c=m, ,所以所以a=2m,b= m.故所求橢圓方程是故所求橢圓方程是 =1.（2）設(shè)）設(shè)q(xq,yq)，直線，直線l:y=k(x+m)，則點(diǎn)，則點(diǎn)m(0,km).當(dāng)當(dāng)mq=2qf時(shí)，由于時(shí)，由于

15、f(-m,0),m(0,km),由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 .又點(diǎn)又點(diǎn)q( ) 在橢圓上，在橢圓上，2 22 22 22 2b by ya ax x2 21 1a ac c3 32 22 22 22 23 3m my y4 4m mx xk km m3 31 12 21 10 0k km my y, ,3 32 2m m- -2 21 12 2m m- -0 0 x xq qq qk km m3 31 1, ,3 32 2m m名師伴你行返回目錄返回目錄 【評(píng)析【評(píng)析】（1）根據(jù)條件判斷橢圓方程是何種形式，然后用待定）根據(jù)條件判斷橢圓方程是何種形式，然后用待定系數(shù)法求橢圓方程

16、，關(guān)鍵是判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上系數(shù)法求橢圓方程，關(guān)鍵是判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上.（2）將向量模的關(guān)系轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)問(wèn)題是解決這一問(wèn)的關(guān)鍵）將向量模的關(guān)系轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)問(wèn)題是解決這一問(wèn)的關(guān)鍵. =1.解得解得k=2 .當(dāng)當(dāng)mq=-2qf時(shí)，時(shí)，xq= =-2m, yq= =-km.于是于是 =1,解得解得k=0.故直線故直線l的斜率是的斜率是0或或2 .2 22 22 22 22 23m3m9 9m mk k4m4m9 94m4m6 62 2- -1 1 ( (- -m m) )( (- -2 2) )0 02 2- -1 1k km m2 22 22 22 22 23 3m mm mk k4 4m

17、m4 4m m6 6名師伴你行返回目錄返回目錄 對(duì)應(yīng)演練對(duì)應(yīng)演練設(shè)設(shè)a，b分別為橢圓分別為橢圓 = 1(a,b0) 的左、右頂點(diǎn)，的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且x=4為它的右準(zhǔn)線為它的右準(zhǔn)線.（1）求橢圓的方程；）求橢圓的方程；（2）設(shè)）設(shè)p為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線的任意一點(diǎn)，若直線ap，bp分別與橢圓相交于異于分別與橢圓相交于異于a，b的點(diǎn)的點(diǎn)m，n，證明點(diǎn)，證明點(diǎn)b在以在以mn為直徑的圓內(nèi)為直徑的圓內(nèi).2 22 22 22 2b by ya ax x名師伴你行返回目錄返回目錄 a=2c a=2 =4， c=1， 故

18、橢圓的方程為故橢圓的方程為 =1.（2）證明：證法一：由）證明：證法一：由(1)得得a(-2,0),b(2,0).設(shè)設(shè)m(x0,y0).m點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓上， . 又又m點(diǎn)異于頂點(diǎn)點(diǎn)異于頂點(diǎn)a，b，-2x00,bmbp0,于是于是mbp為銳角，從而為銳角，從而mbn為為鈍角鈍角.故點(diǎn)故點(diǎn)b在以在以mn為直徑的圓內(nèi)為直徑的圓內(nèi).2 2x x6y6y0 00 02 2x x6y6y0 00 02 2x x6y6y0 02 20 0) ). .3 3y y4 4- -( (x x2 2x x2 22 20 02 20 00 02 25 5名師伴你行返回目錄返回目錄 證法二證法二：由（：由（1）得

19、）得a（-2,0）,b(2,0),設(shè)設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),則則-2x12,-2x22，又，又mn的中點(diǎn)的中點(diǎn)q的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為依題意，計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差依題意，計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差|bq|2- |mn|2=( )2+( ) - (x1-x2)2+(y1-y2)2.化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得|bq|2- |mn|2=(x1-2)(x2-2)+y1y2. 又直線又直線ap的方程為的方程為y= , 直線直線 bp的方程為的方程為y= ，),),2 2y yy y2 2x xx x2 21 12 21 1,(4 412 22 2x xx x2 21 12 2y yy y2 21 14 412 2) )( (x x2 2x xy y1 11 12 2) )( (x x2 2x xy y2 22 2名師伴你行返回目錄返回目錄 兩直線與交點(diǎn)兩直線與交點(diǎn)p在準(zhǔn)線在準(zhǔn)線x=4上，上， ,即即y2= . 又又點(diǎn)點(diǎn)m在橢圓上，在橢圓上， =1,即即 于是將于是將式代入式代入式化簡(jiǎn)可得式化簡(jiǎn)可得|bq|2- |mn|2= (2-x1)(x2-2)0.從而從而b在