拋物線——簡單幾何性質(zhì)

1、拋物線的簡單幾何性質(zhì)、要點(diǎn)精講拋物線的的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2pxP 0y2 2pxP 0x2 2pyP 0x22pyP 0圖形IX w?性質(zhì)范圍x 0, y Rx 0, y Rx R , y 0x R, y 0焦半徑|PF| X。子|PF|X。號PF y0 i|pf|y 號對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O 0,0離心率e 1通徑過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦AB , AB2p、課前熱身21拋物線yI0x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）(A)2.5(B)5(C)7.5(D) 100上一點(diǎn)為Q 6, yo，且Q點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為10,則F到準(zhǔn)線I的距離為(A)4(B)8(C) 122.拋物線y22px P(D

2、)16選R根舞越盤可知點(diǎn)Q卿拋暢歧準(zhǔn)復(fù)詆=一號的建即為6+專=1乩 睥所以處點(diǎn)F劃加媒晌距J4外=2 2 23. （15陜西）若拋物線 y 2px（p 0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 x y 1的一個(gè)焦點(diǎn)，貝U p=姬仔師二亦 t0猊細(xì)|八*“聞一十覺碣因削臨堆以“加ja（B曲翩-彳得翩答磁 22.（k0）與C交于點(diǎn)P, PF丄x軸，則k=k4、（2016新課標(biāo)H ）設(shè)F為拋物線C : y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=x(A)(B) 1(D) 2她分析：兇為戸抽物線尸=4工的焦為SU鳳10）=-( 0) r 7 于點(diǎn) F，F(xiàn)F y 乍乩寸 J、f = 1 .托.I k = 7 代 JJCJ2 25通過直線y

3、x與圓x y 6x 0的交點(diǎn),且對稱軸是坐標(biāo)軸的拋物線方程是 可卜擺牡翼卄口海左蠹自下,說莫洋羅外丫=一2腳工低云=一為疔 竄站片之多所風(fēng)K5*出才#十仏蚯護(hù)孰6.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，通徑為線段 AB，且S aob 4 （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求拋物線方程.:i勵(lì)撫紅才tt ft y*-2Ar（戶A的.孰慢栓jAB| 幼.札最片f纟，0）*- 2p = 4 .強(qiáng)礙丿-2 JI :%物魅才雄三、典例精析類型一：求拋物線的方程1求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以 x軸為對稱軸，且通徑的長為 8的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【時(shí)1U3郵時(shí)札洞瑕禪柑老畑Q。）津尸討尸環(huán) 曲幼=8

4、閑p=4.itM蛍才理為j/噸氐鼠點(diǎn)皇桔為仏0） 卅裁才程青址2 （2）SliixJkl4U上時(shí)，說才程為 0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A, B，交其準(zhǔn)線I于點(diǎn)C,若|BC|= 2|BF|,A .y2= 9xB.y2= 6xC.y2= 3xD.y2= , 3x解:如圖，分別過A,B作AA1丄I于A1,且|AF| = 3,則此拋物線的方程為（）BB1丄l于B1，由拋物線的定義知，|AF|= AA1|,|BF|= |BB1|,v |BC|= 2|BF|,. |BC|= 2|BB1|,/ BCB1= 30 / AFx = 60。連接 A1F，則 AA1F 為等邊三角形，過 F 作 FF1 丄 AA

5、1 于 F1,貝 U F1 為 AA1113的中點(diǎn)，設(shè)I交x軸于K，y |KF |= A1F1| = ?|AA1|=?|AF|,即卩p =孑二拋物線方程為 y2= 3x,故選C.2 23、已知圓x y 9x 0，與頂點(diǎn)在原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在x軸上的拋物線交于 A,B兩點(diǎn)， OAB的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程.依題堂設(shè)所戎拋輸理方赴為y2pj：（p0）,仇點(diǎn)F焙人Eg,地）*VOA | HF, g把代入得2.譏所求擬站狂方 # = 4工4、已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2 y2 4相交的公共弦長等于 2 3，求這個(gè)拋物線的方程設(shè)所求攤物踐專柱沖H上， ；3=就3即一1八

6、=務(wù)二所求堀物線方技為=肛或護(hù)3工5、直線li和12相交于M , Il丄12，點(diǎn)N li，以A,B為端點(diǎn)的曲線段 C上任一點(diǎn)到12的距離與到點(diǎn)N的距離相等，若 AMN為銳角三角形|AM ,17，A叫 3，且B叫 6，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求曲線段C 的方程.立左鈕團(tuán)府示出存空存名由魁*可加便找僵磴是認(rèn)久直為池?cái)〉撵碳厦秾澮?01迪它的才社拘於三妝為卷上鼻中 Z0分咐為的揚(yáng)掃民 / = IMX| t-4-4詹謚茁枷至呼卻山人問【號衛(wèi)片 曲更月龍執(zhí)C上丨也I /TT, ： A.XI =3萍卜坤*+*叫利廠:丄嚴(yán)TMtfVJUtJU臨g-勿知屯比呵嚴(yán)勺由點(diǎn)B廿iUC上扁才I踽專&產(chǎn)以專求旳曲純屣匚妁叭杠是

7、F=w斥工呂訃m6、已知拋物線 C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn) F在x軸正半軸上，設(shè) A,B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(AB不垂直于 x軸)，且|AF| |BF| 8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過點(diǎn) Q(6,0) 求此拋物線的方程.方耐尸2pHpG*準(zhǔn)助 尸一歩 試川商歸傾咖“)V Af|+!5f|-Bi g豐子+切違立 沖沖 5叭 壯倚応錢里屈用屮砧上；|創(chuàng)=QB| . 的也f F十必=(腳一+血 1分=2粗=2并商二一工)(立+可一12+叨=亡類型二：拋物線的幾何性質(zhì)7. 如圖，設(shè)拋物線 y2= 4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A, B, C,其中A, B在拋S BCF _ |BC|_ |B

8、B2|_ |BF|- 1Sacf |AC| AA2 AF|-1.C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM |為半徑的圓和拋物物線上，點(diǎn)C在y軸上，則 BCF與厶ACF的面積之比是()|A1B.|AF|- 1|AF|2- 1|BF|+ 1|BF|2+ 1|AF|+ 1|AF|2+ 1解析 由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=- 1如圖所示，過A作AA2丄y軸于點(diǎn)A2,過B作BB2丄y軸于點(diǎn)B2，則&設(shè)M(xo, yo)為拋物線C: x2= 8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線線C的準(zhǔn)線相交，則yo的取值范圍是()A . (0,2)B . 0,2C. (2 ,+s)D . 2 ,+ 解析 設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镕(0,2)是圓心，

9、拋物線 C的準(zhǔn)線方程為y_ 2,由圓與準(zhǔn)線相交知44，所以yo2.故選C.9.過拋物線y2= 4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于 A, B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|= 3，則 AOB的面 積為（）A.號B. 2C.JD 2 2解析 焦點(diǎn)F（1,0），設(shè)A, B分別在第一、四象限，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線I: x= 1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為2 2, AB的方程為y= 2 2（x- 1），與拋物線方程聯(lián)立可得2x2 5x+ 2= 0，所以B的橫坐標(biāo)2，縱坐標(biāo)為一2,Saaob = 2x1 0, b0)的漸近線與拋物線C2： x2= 2py(p0)交于b點(diǎn)O, A, B.若 OAB的垂心為C2的焦

10、點(diǎn)，則Ci的離心率為解析 由題意，雙曲線的漸近線方程為y=ax，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F 0,.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,2bx=型y= axx=a由 a ，解得2或x2= 2pyy=爹x = 0，故y = 02pb 2pb2，a2.所以2pb2 p a2 2 4b2 a2kAF = 電廠=40.由已知F為a OAB的垂心，所以直線 AF與另一條漸近線垂直，故kAF 4b2 a2-1，即右Xb =1,整理a32.垂足為M，若得 b2=器2,所以 c2 = a2+ b2 =，故 c= |a, 即 e=a=11. 已知拋物線C :=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為I，過拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線I的垂線, AMF與厶A

11、OF（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為3 : 1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為A . (2,2 2) B . (2, 2 .2) C . (2, . 2) D . (2, . .2)解析 如圖所示，由題意，可得|OF |= 1,由拋物線的定義，得|AF|=|AM|, AMF與厶AOF（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積之比為3 : 1 ,1S- AF AM sin MAF2-AM 于3 , |AF|= AM|= 3，設(shè) A 也，y。Saof 2oF AFs in MAF41yk0XI()2類型二：與拋物線有關(guān)的最值問題12. 已知點(diǎn)M( 3,2)是坐標(biāo)平面內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線y2= 2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q是該拋物線上的一動(dòng)

12、點(diǎn)，則|MQ|QF|的最小值是()75A. 2B. 3C.2D . 2115解:拋物線準(zhǔn)線方程為 x=-，當(dāng)MQ / x軸時(shí)，|MQ|QF|取得最小值，此時(shí) QM| |QF|= 3 - = 5，選C.13. 已知P為拋物線y2= 4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2 + (y 4)2= 1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn) P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 .解析 由題意知，圓x2 + (y 4)2= 1的圓心為C(0,4)，半徑為1，拋物線的焦點(diǎn)為 F(1,0).根據(jù)拋物線的定 義，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn) P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離 之和，因此 |PQ|+ |

13、PF|平C|+ |PF| 1 耳CF| 1 = . 17 1.14、若點(diǎn)P在y2x上，點(diǎn)Q在x 32 y21上，則|PQ的最小值為()(A).31(B)1( C) 2(D)12 2點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離的最小值可用點(diǎn)P到圓心距離的最小值減去圓的半徑來求15 .已知圓C: x2 + y2 + 6x+ 8y+ 21 = 0，拋物線y2= 8x的準(zhǔn)線為I，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)P到直線I的距離為m,貝U m+ |PC|的最小值為 .解析 由題意得圓C的方程為(x+ 3)2+ (y+ 4)2= 4,圓心C坐標(biāo)為(一3, 4).由拋物線定義知，當(dāng)m+ |PC| 最小時(shí)，為圓心與拋物線焦點(diǎn)間的距離，即(m + |P

14、C|)min = 3 2 2+ 4 2= 41.16、在拋物線 y2= 4x上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最小. 該命題可轉(zhuǎn)化為求一條平行于y=x+3的直線y=x+b與拋物線y2=4x相切,求出切點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)y x bP到直線y=x+3的距離最短，聯(lián)立方程2y 4x得 x2+ (2b-4) x+b2=0，令 =0,即(2b-4) 2-4b2=0,. b=1，故 x=1 , y=2 , P 為(1, 2)拋物線y2=4x上一點(diǎn)P (1, 2),使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短.M離x軸的最近距離.Vy-x10.j ir-IlAf,畀17、AB為拋物線y x2上的動(dòng)弦，且AB a(a為常

15、數(shù)且a 1),求弦AB的中點(diǎn)諼払韻中點(diǎn)翹縱坐誓為為撫輸畑的亂慮，為逮扯物戰(zhàn)的準(zhǔn)蜒，門皿_+號=1陽們一專迸一+ J印張朋前中點(diǎn)M需工軸藥產(chǎn)近砂為專一18、已知點(diǎn)P為拋物線2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是 M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A -7,4，則PA PM的最小值是(A) 11(B) 4(D) 52PAH IPFI-1 樸屮九+的*小值溝19.已知拋物線方程為y2= 4x,直線I的方程為x y+ 4= 0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,到直線I的距離為d2,則d1 + d2的最小值為（）A號+ 2B乎+ 1 C瞬-2D罟-1解析因?yàn)閽佄锞€的方程為y2= 4x，所以焦點(diǎn)為F（1,0），準(zhǔn)線方程

16、為x= 1,因?yàn)辄c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,所以到準(zhǔn)線的距離為di+ 1,又di + 1 = |PF|，所以di+ d2= di+ 1 + d2 1 = |PF|+ d2 1，焦點(diǎn)F到直線I|1 0 + 4|的距離d =22 =20.已知直線h：4x 3y 60和直線I2 : x2拋物線y4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是A.2B.311C.537D.16解：如下圖，由題意可知 d|3 1 0 6|.324221、（2016四川） 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線2px（p 0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且PM =2(B)法一：設(shè) P 2pt2,2 ptMF ,則直

17、線OM的斜率的最大值為-2(C)2(D) 1x,y （不妨設(shè)tuuu0)，則 FP2pt2puuuu 1 uuu,2pt .由已知得FM FP ,235#,而 |PF|+ d2Sd =空老，所以 d1+ d2=|PF|+ d2 1 丿乎1,選 D.xp2pt23px 2pt2 p,3326,kOM2t1 122pt?2pt2t21 t丄2刁2t 2 22y3Jy 3 ,KomJ?故選c.法二2二 P y ,y，2則M yp-，后面冋法一22p y6p3，3考點(diǎn)四：定點(diǎn)問題22.設(shè)拋物線過定點(diǎn) A(2,0)，且以直線x= -2為準(zhǔn)線.(1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡 C的方程； 已知點(diǎn)B(0, -5)，

18、軌跡C上是否存在滿足 MB NB 0的M, N兩點(diǎn)？證明你的結(jié)論.119 Jr:編詢方砒十十薩倔#22*=1 *2pyi + y2上密華引It贏毛* = 一1,幾址諼:上不群也it右麗帀5=(1的薛點(diǎn).分析：先判斷直線與橢圓相交時(shí)的斜率的取值范圍23、如圖，A、B是拋物線y2= 2px(p 0)上的兩點(diǎn)，且 OA丄OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；(2)求證：直線 AB過定點(diǎn).(3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程;解：設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),中點(diǎn) P(xo, yo).yiy2(I)koA = x , koB = x .因?yàn)?OA丄 OB,所以 k

19、oAkoB= i,所以 xix2 + yiy2= 0.i222yi _y22因?yàn)?屮=2pxi, y2= 2px2，所以 2p 2p + yiy2 = 0.因?yàn)?yi0 y2M0 所以 yiy2= 4p，所以 xix2= 4p .y2 yi證明：因?yàn)?y2 y2= (y2 + yi)(y2 yi) = 2p(x2 xi)，又 xi 孜2，所以X2 xi所以直線AB的方程為y yi =乩(x-xi) =2Pyi + y2yi + y2(x2P)，所以 y=3x-* +yi + y2yi + y22pyiy2yi=x+yi + y2 yi + y22p4p2x yi + y2 yi + y22py

20、i + y2(x 2p).所以直線 AB過定點(diǎn)(2p,0).(3)設(shè) P(x, y)，則 xXi% y2由 y2= 2pxi, y2= 2px2,2得 y1 y2 2y2 2p x1 X22以2y 2 24p 2p2 22x ,即 y px 2 p24、已知A(1,0),B( 1,0), P知是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)已知點(diǎn)M (m,2)在曲線C上，過點(diǎn)M作直線足kik22，求證：直線 DE過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)。(1)解:設(shè)P(x, y),貝V PX (1 x, y),PUv( 1X，BAUJV uuv PB AB.12與C交于uuvy), abD、E兩點(diǎn)，且h、1

21、2的斜率k1、k2滿2 , 0, BA(2,0).uuuuvPABA因?yàn)閡uv uuvPB AB,所以、(1 x)2 y2 22(x1),即 y24x.(2)證明:由(1)知M(1,2),設(shè) D2 2 ；,%), E(乎,y2),所以kik2Y1 2242,整理得14(yi2)( y22)8.y22 2力y244yiy1y24k1由知y”28k1所以直線DE的方程為y y14y1 y2(x2呼),整理得4x ( y1y2)yy1 y20,亦即4x 4y 4 80,即(x1)k (y2)0.所以直線DE過定點(diǎn)(1, 2).四、能力提升遠(yuǎn)匸將廠時(shí) 比曲亍左京小JNii程畏燉2尸命1.拋物線(A)

22、25y= 25x2的通徑長是25 (B)22.拋物線2(D)怎2y 2px與直線ax+y-4=0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離是(（A）-5 5(B) T(C) r510(723.邊長為1的等邊三角形 AOB ,O為原點(diǎn),AB丄x軸，以O(shè)為頂點(diǎn),且過 AB的拋物線方程是（(A) y2、3x6(B),3x6it a軌暑礙*吋上柚嵐點(diǎn)丄抽舟牛樣站， a才由宥片琦朮n 片譚.Y J .如轎站 * 如 吋 IH*tr嶷痢以才杞舟孑-號J冋陀千曲.目卻口帝左時(shí)，鼻試才征舟X2(C) y(D)4.已知點(diǎn)A(0,-3),B(2,3)x2 =y上，當(dāng) PAB的面積最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（(A) (1,1)(B)924li Hitu- y 3-0 rI皿|ig尸_ I 時(shí)適4W可.由配到葺販理斗齊K蒔d - .ift放斗，人菽門占一畑.芋”用04丄1怡=血* f7B-0, fp r 十器一 lfi.7.探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點(diǎn)上， 已知鏡口直徑是 60 cm，鏡深40 cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離是（(A) 11.25 cm(B) 5. 625 cmdil進(jìn)魁冊嵐世非準(zhǔn)才沖總擬皿*即】虛測*佻上丫(C) 20 cm(D) 10 cm8.設(shè)F為拋物線y2=ax（a0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，且其到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn) F的距離之比為1 :