小學(xué)奧數(shù)訓(xùn)練專題加法原理之樹形圖及標(biāo)數(shù)法學(xué)生版推薦

1、7-1-3.加法原理之樹形圖及標(biāo)數(shù)法9目歸教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2. 掌握加法原理的運用以及與乘法原理的區(qū)別；3. 培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.力口法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類討論問題的習(xí)慣, 鍛煉思維的周全細(xì)致.知識要點一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的 做法.那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決.例如：王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天 津，有4趟長

2、途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法.上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法.在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法.在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就 可以完成.并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù).、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有mi種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，第k類方法中有mk種不同做法，則完成這件事

3、共有N = mi +m2 + + mk種不同方法，這就是加法原理.加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的 問題可以使用加法原理解決我們可以簡記為：加法分類，類類獨立”.分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次， 分類時要注意滿足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類； 分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確.整體等運用加法原理解題時，關(guān)鍵是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對各類逐一計數(shù)通俗地說，就是 于局部之和”.三、加法原理解題三部曲

4、1、完成一件事分N類；2、 每類找種數(shù)（每類的一種情況必須是能完成該件事）；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進行計數(shù).分類討論的時候經(jīng)常會需要把每一類的情況全部列舉出來，這時的方法就是枚舉法. 枚舉的時候要注意順序，這樣才能做到不重不漏.模塊一、樹形圖法例題精講樹形圖法”實際上是枚舉的一種，但是它借助于圖形，可以使枚舉過程不僅形象直觀，而且有條理 又不重復(fù)遺漏，使人一目了然.【例1】A、B、C三個小朋友互相傳球，先從A開始發(fā)球（作為第一次傳球），這樣經(jīng)過了 5次傳球后,球恰巧又回到 A手中，那么不同的傳球方式共多少種？【考點】加法原理之樹形圖法【難度】

5、3星【關(guān)鍵詞】2005年，小數(shù)報【解析】如圖，同理， 所以，【題型】解答【答案】10A第一次傳給B，到第五次傳回 A有5種不同方式.A第一次傳給C,也有5種不同方式.根據(jù)加法原理，不同的傳球方式共有5 + 5=10種.BCA 5/、CBAAB【鞏固】一只青蛙在A, B, C三點之間跳動，若青蛙從 A點跳起，跳4次仍回到A點，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法?【考點】加法原理之樹形圖法【解析】【難度】3星【題型】解答6種，如圖，第1步跳到B , 4步回到A有3種方法；同樣第1步到C的也有3種方法.根據(jù)加 法原理，共有3+3=6種方法.aBA/、CAABC一BA【答案】甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝

6、兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出 輸贏為止.問：一共有多少種可能的情況？【考點】加法原理之樹形圖法【難度】3星【解析】如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：【例2】【題型】解答甲J甲 、乙 乙匕、郭甲M乙J圖中打V的為勝者，一共有7種可能的情況.同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況.一共有7+ 7=14（種） 可能的情況.【答案】14【例3】如圖，從起點走到終點，要求取出每個站點上的旗子，并且每個站點只允許通過一次，有 不同的走法。起點終占、八、3題，然后采用枚舉法（如右圖）【答案】模塊二、共4種不同的走法。4種標(biāo)數(shù)法d e f/e d 一 f適用于最短路線問題，需要一步

7、一步標(biāo)出所有相關(guān)點的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點的方法總數(shù)標(biāo) 數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合.（一）簡單圖形的標(biāo)數(shù)法【例4】如圖所示，沿線段從 A到B有多少條最短路線?FDEC2341111【題型】解答6 1013BG【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】2星圖中B在A的右上方，因此從 A出發(fā)，只能向上或者向右才能使路線最短，那么反過來想，如 果到達(dá)了某一個點，也只有兩種可能：要么是從這個點左邊的點來的，要么是從這個點下邊的點 來的.那么，如果最后到達(dá)了B,只有兩種可能：或者經(jīng)過 C來到B點，或者經(jīng)D來到B點，因此，到達(dá)B的走法數(shù)目就應(yīng)該是到達(dá) C點的走法數(shù)和到達(dá) D點的走法數(shù)之和，而對于到達(dá)C的走法

8、，又等于到達(dá)E和到達(dá)F的走法之和，到達(dá)D的走法也等于到達(dá) F和到達(dá)G的走法之和， 這樣我們就歸納出：至U達(dá)任何一點的走法都等于到它左側(cè)點走法數(shù)與到它下側(cè)點走法數(shù)之和，根據(jù)加法原理，我們可以從 A點開始，向右向上逐步求出到達(dá)各點的走法數(shù).如圖所示，使用標(biāo)號 方法得到從A到B共有10種不同的走法.10【解析】【答案】【鞏固】如圖，從A點到B點的最近路線有多少條?【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法410203610234111111【題型】解答【考點】加法原理之樹形圖法【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第給這些點依次標(biāo)上字母（如左圖）【解析】【解析】【答案】使用標(biāo)號法得出到 B點的最近路

9、線有20 條.20【例5】如圖，某城市的街道由 5條東西向馬路和 7 的路線走到東北角 B出，由于修路，十字路口條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的A處沿最短C不能通過，那么共有種不同走法.51535558112(410202026393610C613234567111111【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】3星【解析】本題是最短路線問題.要找出共有多少種不同走法， 上圖所示，共有120種.另解：本題也可采用排除法由于不能經(jīng)過 那些經(jīng)過C的路線數(shù)，即得到所求的結(jié)果.對于從A到B的每一條最短路線，需要向右 路線，如果確定了其中的某 6次是向右的，【題型】解答關(guān)鍵是保證不重也不漏， 一般采用標(biāo)數(shù)法.如

10、C，可以先計算出從 A到B的最短路線有多少條，再去掉其中6次，向上4次，共有10次向右或向上；而對于每一條最短 那么剩下的 4次只能是向上的，從而該路線也就確定了.這就說明從A到B的最短路線的條數(shù)等于從 10次向右或向上里面選擇 6次向右的種數(shù)，為 C；。.一般地，對于m的方格中， 類似于中國象棋中的 馬走日”如果 馬”在8圖112221111圖243362221111!圖3【答案】12【例18】 如圖所示，一個花壇的道路由圓上只能順時針方向走，在線段上只能從小圓走向大圓，且每條道路最多走一次，那么小兔可 以選擇的不同路線有3個圓和5條線段組成，小兔要從 A處做到B處，如果它在6212【考點】

11、加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】5星【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，復(fù)賽，第2題【解析】采用標(biāo)數(shù)法，如圖所示，不同路線共有【答案】6條【題型】填空6 條.【例19】蜜蜂王國為了迎接 2010年春節(jié)的到來，特地筑了一個蜂巢如下.每個正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2.春節(jié)到來之時，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個節(jié)拍恰好走過的四個數(shù)字：2010（從某個2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個舞步）且蜜蜂每一步都只能從一個正六邊形移動到與之有公共邊的正六邊形上.蜜蜂要經(jīng)過四個正六種方法.邊形且所得數(shù)字依次為2010,共有2323【題型】333【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】5星【關(guān)鍵詞】

12、迎春杯，高年級，復(fù)賽， 8題【解析】圖中標(biāo)2的六邊形分兩類，第一類如上左圖所示，第二類如上右圖所示.23I2a3203223220cD3D30a36種走法.從第一類六邊形出發(fā)，每個六邊形都只有 形有4種不同的走法，其中兩種是環(huán)形回路 種走法綜上所述，共有【答案】301種走法，（細(xì)線表示），兩種是原路返回24+6 =30種不同的走法.因此共有從第二類六邊形出發(fā)，每個六邊（粗線表示），因此共有4x6=24（三）立體圖形標(biāo)數(shù)法【例20】從北京出發(fā)有到達(dá)東京、莫斯科、巴黎和悉尼的航線，其他城市間的航線如圖所示（虛線表示在地球背面的航線），則從北京出發(fā)沿航線到達(dá)其他所有城市各一次的所有不同路線有多少？4星【考點】加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】【解析】第一站到東京的路線有 10條：【題型】解答北京T東京T彳莫斯科T同理，第一站到悉尼、巴黎、莫斯科的路線各有【答案】40條知納f莫斯科T巴黎T悉尼紐約T 4 悉尼T巴黎T莫斯科紐約tF黎T悉尼（悉尼T巴黎紐約T悉尼 巴黎T 2（悉尼T紐約（紐約T 巴黎T莫斯科 I莫斯科T巴黎悉尼T I紐約T莫斯科 巴黎T 2莫斯科T紐約10條，不同的路線共有10X4=40 條.【例21】 如圖，8個單位正方體拼成大正方體，沿著面上的格線，從A到B的最短路線共有條。3星18X3=54?！究键c】加法原理之標(biāo)數(shù)法【難度】【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第15題【解析】