隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望課件

1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望協(xié)方差協(xié)方差第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望2 問題的提出：問題的提出： 在一些實際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量在一些實際問題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。 例：例： 在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量；是平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的平均長度

2、，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度；偏離程度； 考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；程度；隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望31 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 例例1 1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100100次，其中甲、乙的成績次，其中甲、乙的成績 如下：如下： 評定他們的成績好壞。評定他們的成績好壞。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)20

3、651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100對于甲來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；2065158910100100100對于乙來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；數(shù)學(xué)若用期望它們相應(yīng)的概率表示，就得到了，也稱為均值(加權(quán)均值)。 解：計算甲的平均成績：解：計算甲的平均成績： 計算乙的平均成績：計算乙的平均成績： 所以甲的成績好于乙的成績。所以甲的成績好于乙的成績。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望4定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE X

4、x pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機(jī)變量 的，記為 數(shù)學(xué)期望 即 絕對收斂 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望5 例例2 2：有：有2 2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為：服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這若將

5、這2 2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(N(以小時計以小時計) )的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 解：解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函數(shù)221 0( )1 (1( )0 0 xminexFxF xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指數(shù)分布的密度函數(shù)12,Nmin XXN串聯(lián)情況下，故 的分布函數(shù)為：問題：將問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)，個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計算？整機(jī)的平均壽

6、命又該如何計算？根據(jù)根據(jù)N N的概率密度的概率密度fmin( (x),),可得到可得到E(N).E(N).202 ()xE Nxedx()2E N從而隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望6 例例3 3：設(shè)有設(shè)有1010個同種電子元件，其中個同種電子元件，其中2 2個廢品。裝配儀器個廢品。裝配儀器 時，從這時，從這1010個中任取個中任取1 1個，若是廢品，扔掉后重取個，若是廢品，扔掉后重取 1 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X X的期望。的期望。4812()012545459E X 解：解：X的分布律為：的分布律為：01282 82 1

7、1010 910 9kXp0124 58 451 45kXp隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望7 例例4 4：設(shè)一臺機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為：設(shè)一臺機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.20.2，機(jī)器發(fā)生，機(jī)器發(fā)生 故障時全天停工。若一周故障時全天停工。若一周5 5個工作日里無故障，可獲個工作日里無故障，可獲 利利1010萬元；發(fā)生一次故障獲利萬元；發(fā)生一次故障獲利5 5萬元；發(fā)生萬元；發(fā)生2 2次故障次故障 獲利獲利0 0元，發(fā)生元，發(fā)生3 3次或以上故障虧損次或以上故障虧損2 2萬元，求一周內(nèi)萬元，求一周內(nèi) 期望利潤是多少？期望利潤是多少？( )5.216E Y 于是 （萬元

8、）解：設(shè)解：設(shè)X X表示一周表示一周5 5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)， (5, 0.2)Xb則設(shè)設(shè)Y Y表示一周內(nèi)所獲利潤，則表示一周內(nèi)所獲利潤，則5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率為：205100.0570.2050.4100.328kYp隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望8 例5：( ),()XE X 。設(shè) 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律為：X的數(shù)學(xué)期望為：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望9 例6：

9、( , )()XU a bE X。設(shè) ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度為： 其他X的數(shù)學(xué)期望為：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望10幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX則則的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望11 (),YXYg

10、 Xg定理：設(shè) 是隨機(jī)變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望12 ,X Y若二維

11、離散型隨機(jī)變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設(shè) 是隨機(jī)變量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂,X Y若二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地，隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望13 例例7 7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑已知某零件的橫

12、截面是個圓，對橫截面的直徑X X進(jìn)進(jìn) 行測量，其值在區(qū)間（行測量，其值在區(qū)間（1 1，2 2）上均勻分布，求橫截）上均勻分布，求橫截 面面積面面積S S的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0, xXf x解： 的密度函數(shù)為：其他2214xdx71224XS隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望14 例8：,X Y設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02)sin

13、0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解：隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望15 例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求數(shù)學(xué)期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 解：321323 0123( )( )( ) 12 0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，這里 其他考慮：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11(

14、)( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算對了嗎？哪個更容易呢?隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望161000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：設(shè)Z表示該種商品每周所得的利潤，則 (, )1100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互獨立，因此的概率密度為其他202020101010( )( , ) ( , )10001100500() 110014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxy

15、dydxxydy 元）10例 ：某商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨量X與需求量Y是相互獨立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間10,20上均勻分布。商店每售出一單位商品可獲利1000元；若需求量超過進(jìn)貨量，商店可從它處調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品可獲利500元；試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所獲得利潤的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望17數(shù)學(xué)期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc將上面三項合起來就是：這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機(jī)變量線性組合的情況( )CE CC設(shè) 是常數(shù)，則有1.()()XCE CXCE X設(shè) 是一個隨機(jī)變量， 是常數(shù)，則有2.,()()( )

16、X YE XYE XE Y設(shè)是兩個隨機(jī)變量，則有3.,()() ( )X YE XYE X E Y設(shè)是相互獨立的隨機(jī)變量，則有4.隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望18證明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常數(shù)，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面僅對連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望19 dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，則則密密度度為為的的概概率率二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量：設(shè)設(shè)證證明明 dydxyxyfdydxyxxf),(),

17、()()()()(YEXEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),(隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望20 dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，則，則密度為密度為的概率的概率二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量：設(shè)：設(shè)證明證明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(獨獨立立與與)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望21 例例1111：一民航送客車載有一民航送客車載有2020位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有位旅客自機(jī)場出發(fā)，旅客有1010 個車站可以下車，如到達(dá)一個

18、車站沒有旅客下車就個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就 不停車，以不停車，以X X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求 ( (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨立客是否下車相互獨立) )()E X。0 1,2,101 iiXii第 站沒有人下車第 站有人下車1210 XXXX易知：121020()()()()9 101 () 8.784()10E XE XE XE X次()(1)iiE XP X()Pi第 站有人下車2091 ()10 本題是將本題是將X X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和

19、，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望22 例12： (),1,2,3,4.iE Xi i解：12341234,(0, 2 ),( ).XXXXUiXXYXXE Yi設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，X求行列式的數(shù)學(xué)期望1423YX XX X14231423( )()()() ()() ()1 42 32E YE X XE X XE XE XE XE X 由條件，隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量

20、的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望23總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法 數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例例11的方法：的方法：“X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和，和，利用利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結(jié)合使用。可能結(jié)合使用。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望24定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx

21、 p絕對收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機(jī)變量 的，記為 數(shù)學(xué)期望 即 絕對收斂 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望25 (),YXYg Xg定理：設(shè) 是隨機(jī)變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或