隨機(jī)變量函數(shù)的分布、卷積公式

1、概率論概率論 4.5 隨機(jī)向量函數(shù)的分布隨機(jī)向量函數(shù)的分布概率論概率論 在第二章中，我們討論了一維在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論步討論: 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 X, Y 的聯(lián)合分布已知時，如何的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?概率論概率論 例例1 若若 X、Y 獨立，獨立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解 )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0b

2、r+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨立性由獨立性r=0,1,2, 一、一、 的分布的分布 ZXY 概率論概率論 解解 依題意依題意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.概率論概率論 riirYiXPrZP0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i

3、 - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.12 概率論概率論 例例3 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度. Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 D=(x, y): x+y z解解Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: ZFzP Zz P XYz它是直線它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyz xy0概率論概率論 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyx

4、fzF),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序xyz xy0y概率論概率論 由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度為密度為: 由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是以上兩式即是兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyu

5、fzF),()(概率論概率論 特別地特別地，當(dāng)，當(dāng) X 和和 Y 獨立，設(shè)獨立，設(shè) (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 X , Y 的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為 fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷積公式卷積公式概率論概率論 為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為 0 的區(qū)域的區(qū)域 例例4 若若 X 和和Y 獨立獨立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .其

6、它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxzx110概率論概率論 zx zxOz1zx 211zz1z 暫時固定暫時固定 0.Zfz 故故 當(dāng)當(dāng) 或或 時時 ,0z 2z 0zZfzdx 當(dāng)當(dāng) 時時 ,01z 12z當(dāng)當(dāng) 時時 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它dxxzfxfzfYXZ)()()(概率論概率論 例例5 若若X和和Y 是兩個相互獨立的隨機(jī)變量是兩個相互獨立的隨機(jī)變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的

7、概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 概率論概率論 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見可見 Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2).概率論概率論 用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨立獨立,),(),(222211NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機(jī)變量之和的情形個獨立隨

8、機(jī)變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論請自行寫出結(jié)論. 若若X和和Y 獨立獨立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 則則Z=X+Y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(0,2). 概率論概率論 有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:概率論概率論 休息片刻再繼續(xù)休息片刻再繼續(xù)概率論概率論 二、二、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè) X，Y 是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為FX(x) 和和 FY(y),我們來求我們來求

9、 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù).FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz XzYz 概率論概率論 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Nz XzYz 由于由于

10、 X 和和 Y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z)概率論概率論 設(shè)設(shè) X1,Xn 是是 n 個相互獨立的隨機(jī)變量個相互獨立的隨機(jī)變量,它們的它們的分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù).(i = 1, , n) 用與二維時完全類似的方法，可得用與二維時完全類似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 12nMXXXFzFz FzFz 121

11、111nNXXXFzFzFzFz iXFz概率論概率論 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相同分相互獨立且具有相同分布函數(shù)布函數(shù)F(x)時，有時，有 nMFzF z 11nNFzF z 概率論概率論 例例6 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng) L 由兩個相互獨立的子系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng) 連接而成連接而成,連接的方式分別為連接的方式分別為 (i) 串聯(lián)串聯(lián), (ii) 并聯(lián)并聯(lián), (iii)備用備用 (當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng) 損壞時損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) 開始工作開始工作) , 如下圖如下圖所示所示.設(shè)設(shè) 的壽命分別為的壽命分別為 已知它們的概已知它們的概率密度分別為率密度分別為12,L L12,L L1L2L,

12、,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0,0,0,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 試分別就以上三種連接方試分別就以上三種連接方式寫出式寫出 的壽命的壽命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2L概率論概率論 XY1L2L解解 (i) 串聯(lián)的情況串聯(lián)的情況 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 中有一個損壞時中有一個損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) L 就停就停止工作止工作,12,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx 因為因為 X 的概率密度為的概率密度為所以所以 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 xXXFxft dt 概率論

13、概率論 xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 當(dāng)當(dāng) x 0 時時 , 000 xtXFxdtedt 1xe 當(dāng)當(dāng) x 0 時時 , 1,0,0,0,xXexFxx 故故 類似地類似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為概率論概率論 于是于是 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度為的概率密度為 min,ZX Y (),0 ,0 ,0 , z ezz minminfzFz 概率論概率論 XY1L2L(ii) 并聯(lián)的情況并聯(lián)的情況

14、 由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng) 都損壞時都損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此時所以此時 L 的壽命為的壽命為 max,ZX Y 故故 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 max,ZX Y maxXYFzFx Fy (1)(1),0 ,0 ,0 ,zzeezz 概率論概率論 XY1L2L maxmaxfzFz (),0,0,0,zz ee ezz 于是于是 的概率密度為的概率密度為 max,ZX Y (iii) 備用的情況備用的情況因此整個系統(tǒng)因此整個系統(tǒng) L 的壽命為的壽命為 由于當(dāng)系統(tǒng)由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時損壞時, 系統(tǒng)系統(tǒng) 才開始工作才開始工作,1L2LZXY 概率論概

15、率論 dyyfyzfzfYXZ)()()(當(dāng)當(dāng) z 0 時時 , 0.Zfz 當(dāng)當(dāng) z 0 時時 , 0z zyyZfzeedy zy zyO當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0,0,yzy 0yz即即 時時,上述積分的被積函數(shù)不等于零上述積分的被積函數(shù)不等于零.故故zz概率論概率論 0z yzeedy ().zzee ZXY 于是于是 的概率密度為的概率密度為 0 ,0.Zfzz (),0,zzeez 0z zyyZfzeedy 概率論概率論 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨立且具有相相互獨立且具有相同分布函數(shù)同分布函數(shù)F(x)時時, 常稱常稱M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極值為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等由