泰勒公式和運用.docx

1、泰勒公式及其應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 091 班 趙菲【摘 要】 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在微積分學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的各個方面都有重要的應(yīng)用。在現(xiàn)行教材對泰勒公式證明基礎(chǔ)上 ,介紹泰勒公式的一種新的更為簡單的證明方法,并歸納了其在求極限與導(dǎo)數(shù)、 判定級數(shù)與廣義積分斂散性、不等式證明、 定積分證明 ,行列式計算與中值公式、導(dǎo)數(shù)的中值估計、界的估計等方面的應(yīng)用。1 預(yù)備知識1. 1 帶有 Peano 型余項的泰勒公式函數(shù)在a ,b 上具有 n 階導(dǎo)數(shù) ,則x a , b 有+其中即1. 2 帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式若函數(shù)在上連續(xù)，在開區(qū)間 ( a ,

2、b) 內(nèi)存在，則在與之間，使得下式成立其中為 Lagrange 型余項。注：若中取這里（介于與 0 之間）稱之為Maclaurin 型余項1. 3常見的 Maclaurin 公式1（這里為任意實數(shù)）；2 泰勒公式的證明兩種余項的泰勒公式所表達的根本思想就是怎樣用多項式來逼近函數(shù)。公式 (1) 非普通的等式 ,而是反映了極限性質(zhì)的漸進等式 ,因此公式(1) 在求極限時很有用處 ,對余項可以提供充分小量的估計。 公式 (2) 的余項有確定表達式 ,當然也有不確定因素 ,即有中值 ,但不妨礙定理的使用 ,為近似計算的誤差估計提供了理論依據(jù)。證明：設(shè)現(xiàn)在只需要證有關(guān)系式（ 3）可知，并易知因為存在，所

3、以在點的某個領(lǐng)域內(nèi) f 存在介導(dǎo)函數(shù)，于是且時，允許接連使用洛必達法則次，得到2注：滿足的條件是唯一的。4. 泰勒公式的應(yīng)用4.1 在求極限的問題中，可以利用泰勒公式及皮亞諾余項計算。例4.1 求解 由于等價無窮小可以知道，分母為只要把，展開到 即可。故3注: 因為對于函數(shù)多項式或有理分式的極限問題的計算是十分簡單的 , 因此 , 對一些較復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來較復(fù)雜的函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為類似多項式或有理分式的極限問題, 因此滿足下列情況時可考慮用泰勒公式來求極限:( ) 用洛比達法則時 , 次數(shù)較多 , 且求導(dǎo)及化簡過程較繁。( ) 分子或分母中有無窮小的差 , 且此差不容易轉(zhuǎn)化為等

4、價無窮小替代形式。( ) 所遇到的函數(shù)展開為泰勒公式不難。 當確定了要用泰勒公式求極限時 , 關(guān)鍵是確定展開的階數(shù)。如果分母 ( 或分子 ) 是 n階, 就將分子 ( 或分母 ) 展開為 n 階麥克勞林公式。 如果分子 , 分母都需要展開 , 可分別展開到其同階無窮小的階數(shù) , 即合并后的首個非零項的冪次的次數(shù)4.2泰勒公式在微分方程方面的應(yīng)用。例 4.2解微分方程。解 顯然在的領(lǐng)域內(nèi)可展開成冪數(shù)，故方程的解為，帶入原方程并整理得因為各次冪系數(shù)都等于零，所以帶入所設(shè)方程解中的原方程的通解為這里為任意常數(shù)。4注 當微分方程的解不用初等函數(shù)或其積分表達時，常常采用泰勒級數(shù)解決，如微分方程，當在領(lǐng)域

5、內(nèi)可以展開成的泰勒級數(shù)（或冪級數(shù)）時，方程在內(nèi)必有形如的解。4.3 泰勒公式在近似值計算上的應(yīng)用例 4.3計算的值使得誤差不超過；解由上面公式（ 1），當 x=1 時有故當n=9 時 便有從而略去而得 e 的近似值為4.4泰勒公式在判定級數(shù)斂散性方面的應(yīng)用。例 4.4在級數(shù)斂 散性理論中，要判斷一個正級數(shù)nn1p ( p 0), 可有比較判別法來判定，那么在實際應(yīng)用中較困pnn 1n 1 n難的問題是如何選取恰當?shù)?p ( p 0) 中 p 的值？n 1 n考慮以下情況（i ）若 p=2, 此時12收斂，但是 lim an,n 1 nn1n25（ii ）若 p=1, 此時1收斂，但是 lima

6、n0 ，這里我們無法判定n 1 n1nnan 的斂散性，為了有效的選取1p ( p 0) 中 p 的值，可以n 1n 1 n用泰勒公式研究 an0 的階，據(jù)此選取恰當?shù)膒 的值，使得limanl ，并且保證0 l，再有比較判別法就可以判定n1n pan 的斂散性。n 1例 4.4判定級數(shù)an(1ln(1 1) ) 的斂散性。n1n 1nn解利用泰勒公式展開有111112an(2n2o(2 )nnn11(11o( 1)12nn2nn11(110(1)nn4n2n1 n43 32 o(n 2 )11即 an0(n) 時是3階的，與11同斂散故有 lim34234nn 1n2n 2性，所以an 收斂

7、n1注：泰勒公式研究序列無窮小量bn (如 1p , p0) 去比較，有的放矢的求出n可順利解決問題。an 的 階 ，然 后 與 恰 當 的P 的值再求出極限值，則4.5泰勒公式在導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用。6例4.5設(shè)f ( x)在 x0處n次可導(dǎo)，且nx0 ) kx0 ) n )證明 f ( x)n 1x0 )ko( x x0 ) n 1 )f ( x)ak ( x0( xak 1 (k 1)( xk 0k 0證因為 f (x) 在 x0處 n 次可導(dǎo)，且 f ( x)nx0 ) ko( x x0 ) n ) 故ak (xk0由泰勒局部公式的唯一性可知，akf k (x0 ) , (k0,1,2.,

8、n) 即且知k!f ( x) 在 x0 點 n-1次可導(dǎo)。在 x0 的某領(lǐng)域內(nèi)具有n-2 階導(dǎo)數(shù)，故有n1泰 勒 局 部 公 式 ， f ( x)g(x)bk ( x x0 ) ko( x x0 )n 1 ) 且k0bkg (k ) ( x0 )f ( k1) ( x0 ) , k0,1,2. .n 1 將 f (k1) (x0 )ak 1 ( k1)!代入上k!k!n 1式即得 bk ak 1 ( k1) 所以 f ( x)ak 1 (k1)( xx0 ) ko( xx0 )n 1 )k 0注 1. 本題用到泰勒局部公式的條件與唯一性等知識。2. 由本題證明可見，雖然證明是由對f (x) 直

9、接應(yīng)用，泰勒局部公式并利用 f ( x) 在 x0 點泰勒局部公式唯一性得到的結(jié)論，但效果上看，掐相當于在f ( x) 的泰勒公式兩端關(guān)于x 求導(dǎo)所得結(jié)果。4.6 泰勒公式在無窮小中的應(yīng)用例 4.6確定常數(shù) a,b ，使得當 x=0 時 f ( x)ex1ax1bx為 x 的 3 階無窮小。解因為ex1x 2x3o(x3)x3!1ax2!(1 ax)(1bx) 1(1 ax) 1bxb2 x 2b3 x3o( x3 )1bx1( ab) x(b 2ab)x 2(ab 2b3 ) x3o(x3 )7所 以f ( x ) (1a b) x(1b2ab) x2(1ab 2b3 )x 3o( x3 )

10、 為 了 在2!3!時使 f ( x) 為 x 的 31a b 0x 0階無窮小，應(yīng)選則常數(shù)， a,b. 使得 1b 2 ab 021a即 a1解得 22 x1 x3b 11 既有 exo(x 3 )2b( a b) 022x12b注 按照無窮小界的概念，這里應(yīng)在極限式f ( x)0 的條件limx 0 x k下確定 a,b （ k 是指定階數(shù)），本題的解法雖沒有出現(xiàn)此極限式，但實際上正是從這一極限式中0 的要求下進行的， 及當且僅當f ( x) 的泰勒局部展式中低于k 階的系數(shù)等于0， k 階系數(shù) 0 時，有 0 ，為此， f (x) 的佩亞諾余項應(yīng)為 o(x k ) ，這也是解決問題的一般

11、方法 1。4.6關(guān)于界的估計例4.6 設(shè) f (x) 在0,1上有二階導(dǎo)數(shù)， 0x1時 f ( x)1,f (x)2 試證：當 0x1 時， f ( x)3 。f (1)f ( x)f ( x)(1x)1f ( )(1x) 2 ,證2f (0)f ( x)f ( x)(x)1 f ()( x) 22所以f (x) f (1)f (0)1f ( ) (1x) 21f () x 22(1x) 2x21 2 3224.8泰勒公式證明不等式例 4.8 證明：x0, xx2x)xln( 12證明x0,而1x2xxln(1x)x2 (11 ),01又ln(1x)xx21x 2xx 2,02x23 (12

12、)228故 xx20, 有 xln(1 x) x 證畢2可見，用泰勒公式證明不等式是一種很好的方法。4.9泰勒公式證明中值公式例 4.9設(shè) f (x) 在 a,b 上三次可導(dǎo)，試證：c (a,b) 使得f (b) f (a) f ( a b )1 f (c)(b a) 3）（ 1）2 24證（待定系數(shù)法）設(shè) k 為使下式成立的實數(shù)；f (b)f ( a) aba)1(b) 30（2）f ()(b24ka2這時，我們的問題歸為證明：c(a,b) ，使得kf (c) 。（ 3）令 g (x)f ( x)f (a)f ( ax )( xa)k( xa) 3 （4）224則g( a)g (b) 0根據(jù) Rolle 定理，( a, b) 使得 g ()0由（ 4）式，即： f ( ) f ( a)f ( a)(a )k ( a)02228（5）這是關(guān)于 k 的方程，注意到 f () 在點 a處的泰勒f ( a(