專(zhuān)題19-平行四邊形、矩形、菱形--拔高題

1、專(zhuān)題19平行四邊形、矩形、菱形閱讀與思考平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線三個(gè)方面探討的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個(gè)直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是由鄰邊相等來(lái)體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過(guò)來(lái)，判定一個(gè)四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件連對(duì)角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、矩形、菱形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四邊形的背景下思考問(wèn)題， 運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.熟悉以下基本

2、圖形:例題與求解【例I】如圖，矩形15 那么 /BOE=ABCD的對(duì)角線相交于O , AE平分/BAD交BC 于 E,ZCAE=D行四邊平行四平行四2)設(shè)ABEF的面積為S,求S的取值范圍.“祖沖之杯 ”邀請(qǐng)賽試題 ） 解題思路： 從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手【例 2】 下面有四個(gè)命題：一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平形；一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是 邊形；其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.

3、2 C. 3 D.4（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）解題思路： 從四邊形邊、角、對(duì)角線三類(lèi)元素任意選取兩類(lèi)，任意組合就產(chǎn)生許多判定 邊形的命題，關(guān)鍵在于對(duì)假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定 .【例3】如圖，菱形 ABCD勺邊長(zhǎng)為2 , BD = 2 , E, F分別是邊AD , CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足 AE+CF= 2.（1） 判斷ABEF的形狀，并說(shuō)明理由；EACB（煙臺(tái)中考試題）解題思路：對(duì)于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對(duì)于（2）,只需求出BE的取值范圍【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形 ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE丄AC于點(diǎn)E, PF丄BC于點(diǎn)F, PG丄EF于點(diǎn)G延長(zhǎng)GP并在

4、春延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) D,使得PD = PC求證：BC丄 BD , BC= BD7D（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：只需證明 CPBB/DPB關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)【例5】在CABCDK /BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.度數(shù).CE= CFBE、C圖1（1）在圖1中證明若/ABC =,G是EF的中點(diǎn)(3)（如圖2 ）,直接寫(xiě)出/若/ABC = 120 FG/CE , FG = CE,分別連結(jié) DBDG （如圖CBEGFF圖2解題思路：對(duì)于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有對(duì)于（2）,用測(cè)量的方法可得/ BDG45。進(jìn)而想到等腰直角三角形，連B

5、G圖3BDG的度數(shù)；3）,求/ BDG 的（北京市中考試 題）F3個(gè)等腰三角形；CG, BD，只需證明ABGCA/DGF這對(duì)解決（3）,有不同的解題思路對(duì)于（3）【例6】如圖，AABC中, / C= 90 點(diǎn)M在BC上，且BM且AN = MC , AM與 BN相交于點(diǎn) P=AC點(diǎn)N在AC上,求證：/ BPM= 45（浙江省競(jìng)賽試題）解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移 AN或AC即作ME丄AN ,ME = AN,構(gòu)造平行四邊形？中，BE丄CD , BF丄AD，垂足分別為 E、F,若CE= 2 , D

6、F= 1,Z1.如圖,EBF= 60 貝UABCDXBCD的面積為2.如圖，口ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0，且AD D，過(guò)點(diǎn)0作0M丄AC ,交AD于能力訓(xùn)練點(diǎn)M若厶CDM周長(zhǎng)為a,那么CABCD勺周長(zhǎng)為3.如圖，在 Rt ABC 中，/B= 904.如圖，在菱形 ABCD中, ZB=/EAF= 60B ：/ZBAE= 20。，則/ CEF的大小是 _（浙江省中考試題）ZBA(= 78 過(guò) C 作 CF/AB，連結(jié) AF 與 BC 相交于G,若GF= 2AC則/ BAG的大小是 _A（希望杯”競(jìng)賽試題）（希望杯”邀請(qǐng)賽試題）5.四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a, b , c, d，其中a, c為對(duì)邊，且

7、滿足2 2 2 2a b c d 2ab 2cd，則這個(gè)四邊形一定是（）A-/AD.對(duì)角線相等的四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形A?兩組角分別相等的四邊形6.現(xiàn)有以下四個(gè)命題對(duì)角線相等的四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形;有一個(gè)角為直角且對(duì)角線互相平分的四邊形為矩形；菱形的對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)的平方的4倍.其中，正確的命題有（）A.B.C.D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形;有一個(gè)角為直角A.B.C.D.7.如圖，在矩形 ABCD中, AB = 1 , AD = , 3 , AF平分/DAB過(guò)點(diǎn)C作CE丄BD于E,延長(zhǎng)AF , EC交于點(diǎn)H,下列

8、結(jié)論中： AF= FHBO = BF;CA = CH :BE=3ED正確的是（）（齊齊哈爾中考試題）8.如圖，矩形ABCD勺長(zhǎng)為a,寬為b,如果S $丄(S3S4)，則 S4=(2)3 Ab B. 3abC. -abD. -abABCD是平行四邊形的9.已知四邊形 ABCD現(xiàn)有條件： AB/DC;AB= DCAD IIBC :AD = BC上A =ZC;?Z B=ZD.從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形 有哪幾種情形？請(qǐng)具體寫(xiě)出這些組合.（江蘇省競(jìng)賽試題）10.如圖， ABC為等邊三角形，D F分別是BC AB上的點(diǎn)，且CD = BF以AD為邊作等邊 ADE（1）求證：ZACD 也/CBF

9、；（2）當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形 CDEF為平行四邊形，且/ DEF= 30。證明你的結(jié)論.（江蘇省南通市中考試題）11.如圖，在 Rt AABC 中，AB = AC ZA= 90。，點(diǎn) D 為 BC 上任一點(diǎn)，DF丄 AC 于 F,DE丄AC于E, M為BC中點(diǎn)，試判斷AMEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論12.如圖， ABC 中，AB= 3 , AC = 4 , BC = 5 , AABD , AACE, BCF 都是等邊三角形，求四邊形 AEFD的面積.F（山東省競(jìng)賽試題）1.如圖，已知 ABCD是平行四邊形，E在AC上, AE= 2EC, F在AB上, BF= 2AF,如果ABEF的面積為2 cmt則/BCD的面積是 _.（希望杯”競(jìng)賽試題）2._如圖，已知 P 為矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA= 3 , PD = 4 , PC= 5 ,貝 U PB= _于E, PF丄AC于F,那么PE+ PF的值為3.如圖，在矩形 ABCD中, AB = 6cm , BC= 8cm,現(xiàn)將矩形折疊，使 B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，則折痕EF長(zhǎng)為 _（武漢市競(jìng)賽試題）4.如圖，