自然界中的數(shù)學(xué)大師

1、 數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的一個(gè)學(xué)科。如數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的一個(gè)學(xué)科。如果有人對(duì)你說，有許多動(dòng)物也果有人對(duì)你說，有許多動(dòng)物也“精精通數(shù)學(xué)通數(shù)學(xué)”，你一定會(huì)感到很奇怪。，你一定會(huì)感到很奇怪。事實(shí)上，大自然中確實(shí)有許多奇妙事實(shí)上，大自然中確實(shí)有許多奇妙的動(dòng)物的動(dòng)物“數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家”。 數(shù)學(xué)家存在于大自然中數(shù)學(xué)家存在于大自然中你有沒有觀察過一片葉子，對(duì)它為什么能精確的分成兩瓣表示奇怪？你有沒有觀察過一片葉子，對(duì)它為什么能精確的分成兩瓣表示奇怪？你有沒有注意到各種花的花瓣成完美星形？有沒有注意到某種貝殼你有沒有注意到各種花的花瓣成完美星形？有沒有注意到某種貝殼和松果的螺旋形生長模式？面對(duì)奇跡紛呈的自然界，我們中的大多

2、和松果的螺旋形生長模式？面對(duì)奇跡紛呈的自然界，我們中的大多數(shù)人往往認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)只是人類的專利，其實(shí)自然界中也存在許多數(shù)人往往認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)只是人類的專利，其實(shí)自然界中也存在許多名不見經(jīng)傳的名不見經(jīng)傳的“數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家”一、幾何專家一、幾何專家 貓和蜘蛛是貓和蜘蛛是“幾何專家?guī)缀螌＜摇?，在寒冷的冬天，貓睡覺時(shí)總要，在寒冷的冬天，貓睡覺時(shí)總要把身體抱成一個(gè)球形，這其間也有數(shù)學(xué)，因?yàn)榍蛐问股眢w的把身體抱成一個(gè)球形，這其間也有數(shù)學(xué)，因?yàn)榍蛐问股眢w的表面積最小，這樣，身體露在冷空氣中的表面積最小，因而表面積最小，這樣，身體露在冷空氣中的表面積最小，因而散發(fā)的熱量也最少。散發(fā)的熱量也最少。蜘蛛結(jié)的“八卦”網(wǎng)，

3、既復(fù)雜又非常美麗，這種八角形的幾何圖案，既使木工師傅用直尺和圓規(guī)也難畫得如蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱。當(dāng)對(duì)這個(gè)美麗的結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析時(shí)，出現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)上的概念真是驚人半徑、弦、平行線段、三角形、全等對(duì)應(yīng)角、對(duì)數(shù)螺線、懸鏈線和超越線。 切葉蜂用大腭剪下的每片圓形葉片，像模子沖出來似的，大小完全一樣。 每天上午，當(dāng)太陽升每天上午，當(dāng)太陽升起與地平線成起與地平線成30時(shí)，時(shí)，蜜蜂中的蜜蜂中的 “偵察員偵察員”就會(huì)就會(huì)肩負(fù)重托去偵察蜜源。肩負(fù)重托去偵察蜜源?；貋砗螅闷涮赜械幕貋砗?，用其特有的“舞舞蹈語言蹈語言”向伙伴們報(bào)告花向伙伴們報(bào)告花蜜的方位、距離和數(shù)量，蜜的方位、距離和數(shù)量，于是蜂王便派工蜂去采于是蜂

4、王便派工蜂去采蜜。令人嘖嘖稱奇的是，蜜。令人嘖嘖稱奇的是，它們的計(jì)算能力非常之它們的計(jì)算能力非常之強(qiáng)，派出去的工蜂不多強(qiáng)，派出去的工蜂不多不少，恰好都能吃飽，不少，恰好都能吃飽，保證回巢釀蜜。保證回巢釀蜜。 蜜蜂的蜂房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個(gè)相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅(jiān)固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小。令人類建筑師驚嘆不已！同時(shí)，令人驚奇的是，蜜蜂還“知道”兩點(diǎn)間的最短距離是一條直線。工蜂在花間隨意來去而采集到大量花蜜后，它知道取最直接的路線回到蜂房。大約在公元

5、300年左右，古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其編寫的數(shù)學(xué)匯編一書中對(duì)蜂房的結(jié)構(gòu)，作過精彩的描寫：蜂房是由許許多多的正六棱柱，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，蹭沒有一點(diǎn)空隙蜜蜂憑著自己本能的智慧選擇了正六邊形，因?yàn)槭褂猛瑯佣嗟脑牧希呅尉哂凶畲蟮拿娣e，從而可貯藏更多的蜂蜜?！狈浞拷Y(jié)構(gòu)和造型令世界上最優(yōu)秀的建筑師稱贊不已。已故數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)蜂房作過十分形象的描繪：“如果把蜜峰放大為人體的大小，蜂箱就成為一個(gè)二十公頃的密集市鎮(zhèn)。當(dāng)一道微弱的光線從這個(gè)市鎮(zhèn)的一邊射來時(shí)，人們可以看到是一排排五十層高的建筑物。在每一排建筑物上，整整齊齊地排列著簿墻圍成的成千上萬個(gè)正六角形的蜂房?！?。是蜜蜂算錯(cuò)了嗎？是蜜蜂算錯(cuò)了嗎

6、？ 進(jìn)一步的觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)正六角形的蜂房的底部，都是由完全相同的菱形組進(jìn)一步的觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)正六角形的蜂房的底部，都是由完全相同的菱形組成的。十八世紀(jì)初的法國學(xué)者馬拉爾迪指出蜂房底部菱形的鈍角是，銳角是。成的。十八世紀(jì)初的法國學(xué)者馬拉爾迪指出蜂房底部菱形的鈍角是，銳角是。另一位法國科學(xué)家雷奧米爾作出一個(gè)猜想，他認(rèn)為用這樣的角度來建造蜂房，另一位法國科學(xué)家雷奧米爾作出一個(gè)猜想，他認(rèn)為用這樣的角度來建造蜂房，在相同的容積下最節(jié)省材料。后來他向一位瑞士數(shù)學(xué)家柯尼希請(qǐng)教，他證實(shí)了在相同的容積下最節(jié)省材料。后來他向一位瑞士數(shù)學(xué)家柯尼希請(qǐng)教，他證實(shí)了其猜測(cè)。但計(jì)算的結(jié)果是，與猜想的數(shù)值只有兩分之差。人們覺

7、得蜜蜂的這一其猜測(cè)。但計(jì)算的結(jié)果是，與猜想的數(shù)值只有兩分之差。人們覺得蜜蜂的這一小點(diǎn)誤差是完全可以原諒的，對(duì)于人類來說，這也是一個(gè)非同尋常的數(shù)學(xué)難題小點(diǎn)誤差是完全可以原諒的，對(duì)于人類來說，這也是一個(gè)非同尋常的數(shù)學(xué)難題啊。然而，事情并沒有完結(jié)。頗具戲劇性的是，在啊。然而，事情并沒有完結(jié)。頗具戲劇性的是，在1743年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林，用初等幾何方法，得到最省材料的來得蜂房底部菱形鈍角為，銳角為。勞林，用初等幾何方法，得到最省材料的來得蜂房底部菱形鈍角為，銳角為。與猜想值完全相同。那兩分的誤差，竟然不是蜜蜂不準(zhǔn)，而是數(shù)學(xué)家柯尼希算與猜想值完全相同。那兩分的誤差，竟然不是蜜蜂

8、不準(zhǔn)，而是數(shù)學(xué)家柯尼希算錯(cuò)了。于是錯(cuò)了。于是“蜜蜂正確而數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤蜜蜂正確而數(shù)學(xué)家錯(cuò)誤”的說法便不脛而走。后來才發(fā)現(xiàn)也不是柯的說法便不脛而走。后來才發(fā)現(xiàn)也不是柯尼希的錯(cuò)。尼希的錯(cuò)。 事情到底是怎樣的呢？事情到底是怎樣的呢？公元前公元前3世紀(jì)古埃及亞歷山大城的巴普士就曾細(xì)心地觀察過蜂房，并推測(cè)：蜂世紀(jì)古埃及亞歷山大城的巴普士就曾細(xì)心地觀察過蜂房，并推測(cè)：蜂房的形狀可能最材料的。事過兩千，房的形狀可能最材料的。事過兩千，17世紀(jì)初，法國著名理論家開普勒也觀測(cè)世紀(jì)初，法國著名理論家開普勒也觀測(cè)到了同樣的事實(shí)。與此同時(shí)，法國另一們學(xué)者馬拉爾弟經(jīng)過住址測(cè)量后發(fā)現(xiàn)：到了同樣的事實(shí)。與此同時(shí)，法國另一們學(xué)者

9、馬拉爾弟經(jīng)過住址測(cè)量后發(fā)現(xiàn)：蜂房底面的每個(gè)菱形鈍角為蜂房底面的每個(gè)菱形鈍角為109度度28分，所有的銳角為分，所有的銳角為70度度32分。分。消息傳到法國自然哲學(xué)家列厄木那里，這件事引起他的思索：這些菱形的鈍角消息傳到法國自然哲學(xué)家列厄木那里，這件事引起他的思索：這些菱形的鈍角為何不是為何不是100或或110而偏偏是而偏偏是10928？哲學(xué)家把問題交給了當(dāng)時(shí)著名的瑞？哲學(xué)家把問題交給了當(dāng)時(shí)著名的瑞士數(shù)學(xué)家寇尼希，經(jīng)過這位數(shù)學(xué)家精心推演完全證實(shí)了列厄木的猜想。然而計(jì)士數(shù)學(xué)家寇尼希，經(jīng)過這位數(shù)學(xué)家精心推演完全證實(shí)了列厄木的猜想。然而計(jì)算結(jié)果卻與實(shí)際測(cè)量值有算結(jié)果卻與實(shí)際測(cè)量值有2之差，算得結(jié)果鈍角

10、和銳角分別為之差，算得結(jié)果鈍角和銳角分別為10926和和7034。1743年，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林又重新研究蜂房的構(gòu)造，他用新方法從另外角度年，英國數(shù)學(xué)家麥克勞林又重新研究蜂房的構(gòu)造，他用新方法從另外角度進(jìn)行探討，經(jīng)過一番演算，結(jié)果卻使他大大吃驚進(jìn)行探討，經(jīng)過一番演算，結(jié)果卻使他大大吃驚!原來錯(cuò)誤不是發(fā)生在蜜蜂那里，而是發(fā)生在那數(shù)學(xué)家的計(jì)算上。這位著名的數(shù)原來錯(cuò)誤不是發(fā)生在蜜蜂那里，而是發(fā)生在那數(shù)學(xué)家的計(jì)算上。這位著名的數(shù)學(xué)家計(jì)算時(shí)使用的對(duì)數(shù)表印刷有誤學(xué)家計(jì)算時(shí)使用的對(duì)數(shù)表印刷有誤!這是這是1744年初，當(dāng)一場(chǎng)海難之后的調(diào)查公布年初，當(dāng)一場(chǎng)海難之后的調(diào)查公布于世的時(shí)候，海船觸礁是因?yàn)楹较蚱x了于

11、世的時(shí)候，海船觸礁是因?yàn)楹较蚱x了2，而這，而這2之差也是出自那本有誤對(duì)之差也是出自那本有誤對(duì)數(shù)表。數(shù)表。人們經(jīng)歷了幾個(gè)世紀(jì)對(duì)蜂房構(gòu)造的研究中，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了蜂房結(jié)構(gòu)有不少奇特人們經(jīng)歷了幾個(gè)世紀(jì)對(duì)蜂房構(gòu)造的研究中，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了蜂房結(jié)構(gòu)有不少奇特的性，這種蜂房的結(jié)構(gòu)現(xiàn)在已被廣泛地用于建筑、航空、航海、航天、無線電的性，這種蜂房的結(jié)構(gòu)現(xiàn)在已被廣泛地用于建筑、航空、航海、航天、無線電話等許多領(lǐng)域中，從建筑上隔音材料的構(gòu)造到航空發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣孔的設(shè)計(jì)，都從話等許多領(lǐng)域中，從建筑上隔音材料的構(gòu)造到航空發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)氣孔的設(shè)計(jì)，都從蜂房構(gòu)造中得到了啟示。蜂房構(gòu)造中得到了啟示。生物體中神奇的結(jié)構(gòu)生物體中神奇的結(jié)構(gòu) DN

12、A重組機(jī)理研究重組機(jī)理研究 Science 數(shù)學(xué)打開了雙螺旋數(shù)學(xué)打開了雙螺旋 的疑結(jié)的疑結(jié) 1990，美國數(shù)學(xué)家，美國數(shù)學(xué)家 瓊斯瓊斯，紐結(jié)理論，紐結(jié)理論二、計(jì)算專家二、計(jì)算專家螞蟻是“計(jì)算專家”。英國科學(xué)家興斯頓作過一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，他把一只死蚱蜢切成三塊，第二塊比第一塊大一倍，第三塊比第二塊大一倍，當(dāng)螞蟻發(fā)現(xiàn)這食物40分鐘后，聚集在最小的一塊蚱蜢旁的螞蟻有28只，第二塊44只，第三塊89只，后一組較前一組差不多多一倍。螞蟻的計(jì)算本領(lǐng)如此精確，令人驚奇！不僅如此，螞蟻們?cè)趯ふ沂澄飼r(shí)，總是能夠找到通往食物的最短路線?？茖W(xué)家又發(fā)現(xiàn)，植物的花瓣、萼片、果科學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，植物的花瓣、萼片、果實(shí)的數(shù)目以及

13、其他方面的特征，都非常實(shí)的數(shù)目以及其他方面的特征，都非常吻合于一個(gè)奇特的數(shù)列吻合于一個(gè)奇特的數(shù)列著名的斐著名的斐波那契數(shù)列：波那契數(shù)列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89其中，從其中，從3開始，每開始，每一個(gè)數(shù)字都是前二項(xiàng)之和。一個(gè)數(shù)字都是前二項(xiàng)之和。 向日葵種子的排列方式，就是一種典型向日葵種子的排列方式，就是一種典型的數(shù)學(xué)模式。仔細(xì)觀察向日葵花盤，你的數(shù)學(xué)模式。仔細(xì)觀察向日葵花盤，你會(huì)發(fā)現(xiàn)兩組螺旋線，一組順時(shí)針方向盤會(huì)發(fā)現(xiàn)兩組螺旋線，一組順時(shí)針方向盤繞，另一組則逆時(shí)針方向盤繞，并且彼繞，另一組則逆時(shí)針方向盤繞，并且彼此相嵌。雖然不同的向日葵品種中，種此相嵌。雖然不同的向日葵品

14、種中，種子順、逆時(shí)針方向和螺旋線的數(shù)量有所子順、逆時(shí)針方向和螺旋線的數(shù)量有所不同，但往往不會(huì)超出不同，但往往不會(huì)超出34和和55、55和和89或者或者89和和144這三組數(shù)字，這每組數(shù)字這三組數(shù)字，這每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。前都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)。前一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針盤繞的線數(shù)，后一個(gè)一個(gè)數(shù)字是順時(shí)針盤繞的線數(shù)，后一個(gè)數(shù)字是逆時(shí)針盤繞的線數(shù)。數(shù)字是逆時(shí)針盤繞的線數(shù)。 雛菊的花盤也有類似的數(shù)學(xué)模式，只不雛菊的花盤也有類似的數(shù)學(xué)模式，只不過數(shù)字略小一些。菠蘿果實(shí)上的菱形鱗過數(shù)字略小一些。菠蘿果實(shí)上的菱形鱗片，一行行排列起來，片，一行行排列起來，8行向左傾斜，行向左傾斜，13

15、行向右傾斜。挪威云杉的球果在一個(gè)行向右傾斜。挪威云杉的球果在一個(gè)方向上有方向上有3行鱗片，在另一個(gè)方向上有行鱗片，在另一個(gè)方向上有5行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，行鱗片。常見的落葉松是一種針葉樹，其松果上的鱗片在兩個(gè)方向上各排成其松果上的鱗片在兩個(gè)方向上各排成5行和行和8行，美國松的松果鱗片則在兩個(gè)行，美國松的松果鱗片則在兩個(gè)方向上各排成方向上各排成3行和行和5行行 會(huì)數(shù)數(shù)的水老鴨會(huì)數(shù)數(shù)的水老鴨 科學(xué)家發(fā)現(xiàn)水老鴨會(huì)數(shù)數(shù)，中國有些地方靠水老鴨捕魚。主人用一根細(xì)繩拴住水老鴨的喉頸，當(dāng)水老鴨捉回6條魚以后，允許它們吃第7條魚，這是主人與水老鴨之間長期形成的約定，科學(xué)家注意到,漁民偶爾“數(shù)錯(cuò)”了，

16、沒有解開水老鴨脖子上的繩子時(shí)，水老鴨則不動(dòng)，即使?jié)O民打它們，它們也不出去捕魚了，它們知道這第7條魚就應(yīng)該是自己所得的份。 三、代數(shù)天才三、代數(shù)天才對(duì)數(shù)螺線對(duì)數(shù)螺線 ，或，或 eba0a lnae ,a螺線的特性要通過與圓的比較才能有深刻的感受繞圓一周的距離螺線的特性要通過與圓的比較才能有深刻的感受繞圓一周的距離(即周長即周長)是有限的圓還是一條封閉的曲線，圓上的所有點(diǎn)都跟是有限的圓還是一條封閉的曲線，圓上的所有點(diǎn)都跟圓心等距離而另一方面，螺線卻有一個(gè)始點(diǎn)，而且圍著它不斷圓心等距離而另一方面，螺線卻有一個(gè)始點(diǎn)，而且圍著它不斷地繞下去，其長度是無限的它是一條開放性的曲線，始點(diǎn)與終地繞下去，其長度是

17、無限的它是一條開放性的曲線，始點(diǎn)與終點(diǎn)不連接在一起螺線上的點(diǎn)也不像圓那樣與它的極點(diǎn)點(diǎn)不連接在一起螺線上的點(diǎn)也不像圓那樣與它的極點(diǎn)(始點(diǎn)始點(diǎn))等等距離距離螺線有二維和三維之分右圖是一個(gè)平面二維螺線的優(yōu)秀例子它螺線有二維和三維之分右圖是一個(gè)平面二維螺線的優(yōu)秀例子它不是由分離的同心圓形成的，而是由單純的溝漕構(gòu)成的當(dāng)螺線不是由分離的同心圓形成的，而是由單純的溝漕構(gòu)成的當(dāng)螺線圍著像圓柱或圓錐那樣的物體纏繞時(shí)便形成了空間的三維螺線，圍著像圓柱或圓錐那樣的物體纏繞時(shí)便形成了空間的三維螺線，就像就像DNA分子、螺絲釘或螺絲錐那樣三維螺線我們又稱螺旋分子、螺絲釘或螺絲錐那樣三維螺線我們又稱螺旋螺線是一種令人興奮

18、的曲線，無論是從數(shù)學(xué)上加以研究，還是在自螺線是一種令人興奮的曲線，無論是從數(shù)學(xué)上加以研究，還是在自然現(xiàn)象的生成中和其他領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)它的蹤影及其聯(lián)系這些領(lǐng)域然現(xiàn)象的生成中和其他領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)它的蹤影及其聯(lián)系這些領(lǐng)域包括：有蔓植物、貝殼、旋風(fēng)、颶風(fēng)、骨的構(gòu)造、旋渦、銀河系、包括：有蔓植物、貝殼、旋風(fēng)、颶風(fēng)、骨的構(gòu)造、旋渦、銀河系、蜘蛛網(wǎng)、建筑和藝術(shù)圖案等蜘蛛網(wǎng)、建筑和藝術(shù)圖案等珊瑚蟲是“代數(shù)天才”。它在自己身上記下“日歷”，每年在體壁上“刻畫”出365條環(huán)紋，一天“畫”一條。生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)，3.5億年前的珊瑚蟲每年“畫”出400條環(huán)紋，天文學(xué)家告訴我們，當(dāng)時(shí)的地球晝夜只有21.9小時(shí)，一年不是365天，而

19、是 400天。丹頂鶴總是成群結(jié)隊(duì)遷飛，而且排成“人”字形，角度也永遠(yuǎn)是110度，更精確的計(jì)算還表明“人”字夾角的一半，即每邊與鶴群前進(jìn)的夾角度數(shù)54度44分8秒；而金剛石結(jié)晶體的角度也正好是54度44分8秒！是巧合還是大自然的某種“默契”？ 鷹類從空中俯沖下來獵取地上的小動(dòng)物時(shí)，常常采取一個(gè)最好的角度出其不意地?fù)湎颢C物。 壁虎在捕食蚊、蠅、蛾等小昆蟲時(shí)，總沿著一條螺旋形曲線爬行，這條曲線，數(shù)學(xué)上稱為“螺旋線”。 鼴鼠“瞎子”在地下挖掘隧道時(shí)，總是沿著90轉(zhuǎn)彎。蛇在爬行時(shí)，走的是一個(gè)正弦函數(shù)圖形。它的脊椎像火車一樣，是一節(jié)一節(jié)連接起來的，節(jié)與節(jié)之間有較大的活動(dòng)余地。如果把每一節(jié)的平面坐標(biāo)固定下來

20、，并以開始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)蛇是按著30度、60度和90度的正弦函數(shù)曲線有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)的。 DNA分子具有多樣性的原因？分子具有多樣性的原因？ 在生物體內(nèi)，一個(gè)最短在生物體內(nèi)，一個(gè)最短DNADNA分子分子也大約有也大約有40004000個(gè)堿基對(duì)，堿基對(duì)有：個(gè)堿基對(duì)，堿基對(duì)有：ATAT、TATA、GCGC、CGCG。請(qǐng)同學(xué)們。請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算計(jì)算DNADNA分子有多少種？分子有多少種？ 4 種種 4n(n表示堿基對(duì)數(shù)表示堿基對(duì)數(shù))4000 堿基對(duì)堿基對(duì)排列順序的千變排列順序的千變?nèi)f化萬化，構(gòu)成了，構(gòu)成了DNADNA分子的多分子的多樣性，從而能夠儲(chǔ)存了大量樣性，從而能夠儲(chǔ)存了大量的遺傳信息。的遺傳信息。 孟德爾小傳孟德爾小傳 孟德爾(Gregor Mendel, 1822-1884) 孟德爾是現(xiàn)代遺傳學(xué)之父，是這一門重要生物學(xué)科的奠基人。1865年發(fā)現(xiàn)遺傳定律。 1822年7月22日，孟德爾出生在奧地利的一個(gè)貧寒的農(nóng)民家庭里，父親和母親都是園藝家。孟德爾受到父母的熏陶，從小很喜愛植物。 豌豆雜交試驗(yàn)豌豆雜交試驗(yàn) 孟德爾把黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆是黃色的。第二年，當(dāng)他把第一年收獲的黃色豌豆再種下時(shí)，收獲的豌豆既有黃色的又有綠色的。 類似地，他把圓形和皺皮豌豆雜交，第一年收獲的都是圓形豌豆，連一粒皺皮豌豆都沒有。第二年