數(shù)學建模模擬論文

1、大學數(shù)學建模模擬競賽 承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： a 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：

2、所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 劉洋陽 2. 張丹昱 3. 余 沖 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2011 年 8 月 24日放射性氣體擴散的預(yù)估模型摘要在討論放射性氣體擴散的預(yù)估模型時，我們的基本思想是從比較簡單的理想化的模型入手進行討論放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏后在不同地區(qū)以及不同時段的分布情況，接下來我們引進了一些現(xiàn)實環(huán)境中的因子修正，使我們的模型更接近實況。對第一問，我們首先根據(jù)物質(zhì)守恒條件列出基本等量關(guān)系式，通過數(shù)學上的轉(zhuǎn)化為偏微分方程，但是這個偏微分方程費了很大的力氣才解出來，即就是利用matlab中的前向差分法編程實現(xiàn)代碼也很繁瑣

3、，而且是數(shù)值解，基于此我們就利用在理想條件下氣體濃度分布的各向同性的性質(zhì)，通過簡單的數(shù)學在函數(shù)形式上的變形，就可根據(jù)題意容易建立不含四重積分的積分方程，或去建立繁瑣的偏微分方程，從而使計算極為方便。對于第二問，在外界有風時，且速度為k（m/s）,我們在解決該問題時，我們的核心思想為概率分布思想。假設(shè)風速沿x軸正向，先簡要從幾何上結(jié)合實際中濃度的空間分布是服從與正態(tài)分布，即就是gauss模型的中心思想，同時我們還通過數(shù)學手段簡單地證明了在空間與坐標軸垂直截平面上濃度所服從的正態(tài)分布與真實空間中濃度所服從的三維正態(tài)分布的數(shù)學表達式的組合形式確實就是gauss所提出的組合形式，當?shù)玫絞auss模型表

4、達式時，接下來的主要工作就是要對gauss進行參數(shù)修正，使其在修正之后在誤差范圍內(nèi)，可以用于我們所研究的系統(tǒng)組要修正因子有熱力抬升作用，放射性衰變的修正，地面等可反射截面的全反射修正，雨水（海平面，大氣中的水蒸氣等）吸收的修正，其中對風速的處理方法是運用速度變換實現(xiàn)。對第三問，我們分別討論風速大于氣體擴散速度和小雨氣體擴散速度的不同情況，進而利用（2）中的模型求解處于上風和下風l(km)處的放射性物質(zhì)濃度分布模型。在求解第四問時，我們首先選定中國東南沿海的研究對象為上海，而美國西海岸的研究對象為舊金山。由于是一個現(xiàn)實中的問題，首先我們查找了需要用到的數(shù)據(jù)，或者通過化學和物理的知識求解出來。具體

5、是：先求出有泄漏源處在和速度運動下到達目的地所需時間，再將這個已得到的時間與目的地對應(yīng)坐標和其他所需參數(shù)代入我們已經(jīng)建立的模型之中，就會得到目的地的濃度值大小，再進一步分析其實際影響。關(guān)鍵詞：積分中值定理 偏微分方程 正態(tài)分布概率模型 gauss模型修正 惠更斯原理 概率密度函數(shù)的修正 放射性元素衰變 質(zhì)量守恒定律 能量守恒定律一、問題重述 目前核能的發(fā)展為每個國家?guī)砹酥卮蟮囊饬x，但是在發(fā)展過程中難免會出現(xiàn)一些嚴重的核泄漏問題，這使得有害放射性氣體在大氣中不斷擴散，從而嚴重地影響和危害了周邊環(huán)境。然而精確地研究有害放射性氣體的擴散之后的分布位置，對保護生態(tài)環(huán)境具有極其重要的意義。設(shè)有一座核電

6、站遇自然災(zāi)害發(fā)生泄漏，濃度為p0的放射性氣體以勻速排出，速度為m kg/s，在無風的情況下，勻速在大氣中向四周擴散, 速度為s m/s. 1） 請你建立一個描述核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時段放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。2） 當風速為k m/s時，給出核電站周邊放射性物質(zhì)濃度的變化情況。3） 當風速為k m/s時，分別給出上風和下風l公里處，放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型。4） 將你建立的模型應(yīng)用于福島核電站的泄漏，計算出福島核電站的泄漏對我國東海岸，及美國西海岸的影響。計算所用數(shù)據(jù)可以在網(wǎng)上搜索或根據(jù)具體情況自己模擬。二、模型假設(shè)1.假設(shè)核電站穩(wěn)定排放放射性氣體；2.假設(shè)在無風情況下放射性氣體的擴散

7、滿足各向同性且相互獨立；3.福島核電站面積較考慮擴散范圍很小，放射性粉塵的擴散視為點源擴散；4.假設(shè)放射性氣體從核電站排出來速度減為零的過程中，放射性氣體的上升軌跡近似視為垂直向上；5.假設(shè)放射性氣體在擴散過程中是質(zhì)量守恒定的；6.假設(shè)放射性氣體的排放濃度、排放速度、流量是均勻的、連續(xù)的；7.假設(shè)風向與地面水平，且在氣體擴散的過程中保持不變；8.假設(shè)整個擴散過程中風速的大小、方向保持不變；9.放射性物質(zhì)只考慮碘131的影響，其他放射性氣體含量較小，可忽略；10.假設(shè)放射性氣體自發(fā)生一次反射。三、符號說明m：放射性氣體的排出速度k：風速s:放射性氣體在無風情況下向四周擴散的速度t:氣體擴散時間，

8、在氣體泄漏初始時刻t=0x，y，z：以泄漏源為坐標原點，空間任意一點的坐標p(x,y,z,t)：時刻t無窮空間中任意一點(x,y,z)的放射性氣體濃度r：一規(guī)則球體的半徑x：x方向上的擴散參數(shù)y：y方向上的擴散參數(shù)z：z方向上的擴散參數(shù)t0:：核泄漏出口處的溫度t：環(huán)境溫度q0：從泄漏源泄漏的放射性物質(zhì)的總量p0：泄漏源的總濃度q：放射性物質(zhì)的表況總量h：核泄漏后放射性物質(zhì)被抬高后的有效高度h：核泄漏口的有效高度h：放射性物質(zhì)抬升高度a：泄漏源處在排出時的氣體柱體截面積四、問題分析對于問題一，在無風的情況下放射性氣體以s (m/s)的速度在大氣中均勻地向四周擴散，在此條件下，建立一個模型來預(yù)測

9、核電站周邊不同距離地區(qū)、不同時段放射性物質(zhì)的濃度。在此問題中可以將核電站源源不斷泄漏引起的氣體擴散看作是連續(xù)點源導致的擴散過程。根據(jù)泄漏出的放射性物質(zhì)質(zhì)量守恒定律，可列出反映放射性氣體在整個擴散過程中的濃度變化規(guī)律的偏微分方程。由于不考慮風力的影響，且擴散出的放射性氣體勻速向四周散開，這樣經(jīng)過任意時刻t，擴散的氣體圍成一個半徑為r（r=st）的球體，且距離球心位置不同的地方濃度值不同。為了使模型更貼近實際，可以考慮泄漏源有效高度對濃度分布的影響。對于問題二，我們要在第一問的基礎(chǔ)上考慮風速對氣體擴散濃度的影響，通過分析x，y，z三個軸向上的濃度變化情況，分別列出垂直于x軸、y軸、z軸的截面的濃度

10、表達式推導建立出連續(xù)點源放射性物質(zhì)高斯擴散模型，從人得到任一時刻無窮空間任一點的放射性氣體濃度表達式。這時，我們還可加入熱力抬升作用、放射性衰變、地面反射和雨水、地表的吸收作用等因素對氣體擴散的影響，在原模型的基礎(chǔ)上經(jīng)多次合理修正后得到更好的“優(yōu)化高斯模型”。對于問題三，該問題要求建立泄漏源上風口處和下風口處放射性物質(zhì)濃度的預(yù)測模型， 在參考第二問的基礎(chǔ)上，主要考慮風速和放射性物質(zhì)的擴散速度在空間中的矢量運算。在對上風口進行分析時，要分類討論風速和放射性氣體的擴散速度之間的大小關(guān)系。當風速小于放射性物質(zhì)的擴散速度時，放射性物質(zhì)是無法到達上風口的。 對于問題四，要求我們將建立的模型應(yīng)用于福島核電

11、站的泄漏問題上。此時應(yīng)參考大量地理、氣象和新聞資料，選取我國東海岸的一個地方和美國西海岸的一個地理位置作為研究對象，收集福島核電站和研究對象之間的距離，以及兩地之間的風向、風速等數(shù)據(jù)，綜合考慮多個影響因素，預(yù)測出放射性核物質(zhì)對我國東海岸及美國西海岸的影響。五、模型建立與模型求解5.1問題一5.1.1模型建立將氣體從泄漏源泄漏時刻記作t=0，以泄漏點正下方的地面為坐標原點，平均風向為x軸，指向下風方向，鉛直方向為z軸，水平垂直于風向軸（x軸）為y向，建立空間坐標系，則核電站泄漏源點距地面的高度為h，則泄漏點位置坐標為 (0，0，h)。如圖1。xyzro圖2o 圖1zyx 設(shè)空間內(nèi)任意一點的濃度為

12、：。圖2中陰影部分球體的體積為：，（5.1.1）其中，。經(jīng)過時間時間間隔到達時，從泄漏源泄漏的放射性物質(zhì)的總量可表為：在（t+t）內(nèi)通過原半徑為r的球體的流量為：經(jīng)過時間后，原半徑為r的球體內(nèi)放射性物質(zhì)的增量為 根據(jù)質(zhì)量守恒定律和連續(xù)性原理可知，單位時間內(nèi)通過所選曲面s向外擴散的放射性物質(zhì)與s曲面內(nèi)放射性物質(zhì)增量之和，等于泄漏源在單位時間內(nèi)向外泄漏的放射性物質(zhì)。即 。 將帶入中得：=+5.1.2模型求解經(jīng)過運用數(shù)學上的積分中值定理轉(zhuǎn)化為偏微分方程為（參考相關(guān)文獻），并且解此偏微分方程有：考慮到我們解該偏微分方程的繁瑣性，我們用另一種方法清晰地給出問題一的解。 由于在第一問中我們考慮的是很理想的

13、條件下的擴散，故濃度的分布呈現(xiàn)各向同性，即：氣體的擴散在各方向上是相互獨立，以泄漏源為球心的同一球面上濃度相等，由此我們有如下做法： 由濃度分布的各向同性和它只與速率有關(guān)，可得確定分布函數(shù)的方程：，其中只能是與x，y和z無關(guān)的量，故可得x，y和z的分布函數(shù)為：，則，因此，相應(yīng)的濃度分布函數(shù)為：接下來，我們關(guān)鍵是來確定上述表達式中的，下面是以x軸向上的分布函數(shù)為類比概率密度函數(shù)以及數(shù)學中的對實際物理含義的處理技巧進行計算的，結(jié)果也適用于y軸和z軸。應(yīng)用積分，可由歸一性條件得 同理可得再應(yīng)用積分 可得又因為 ， 則令 ，根據(jù)積分中值定理有所以，可得代入中得：所以可得：同理可得： 綜上可得，空間內(nèi)任

14、意一點的濃度為：我們觀察兩種方法所得解的結(jié)構(gòu)，明顯第二種的解更優(yōu)于第一種，在第一問之中，引入了一個常數(shù)k,而第二之中，雖然是在相同的位置上有一個常數(shù)，但第二個解法的常數(shù)是題目中已知量的組合形式，因而就更優(yōu)。5.1.3考慮熱力抬升作用對模型的修正:o 圖3 氣體抬升后擴散圖zyxhh實際問題中整個擴散過程分為兩個階段，在第一階段放射性氣體從泄漏源排出的時候有一定的初速度，即為題目中所給的放射性氣體的排出速度m(kg/s)（可以容易地轉(zhuǎn)化為其運動的速度），在其初速度逐漸趨外界擴散速度或者擴散速度與風速的和速度時的過程中，放射性氣體會上升一段距離h，這是由于熱力抬升的作用。而在此過程中大氣的擴散作用

15、不是很強，可以近似認為是無擴散，所以該階段初始時刻放射性氣體的合速度即為排出速度m(kg/s)。對于第二階段，當放射性氣體的排出速度變?yōu)橥饨缢俣群?，是從垂直方向上zh+h開始以速度s(m/s)擴散。那么該階段放射性氣體的起始合速度只有擴散速度，也即第一階段的末時刻合速度為s(m/s)。如圖3所示。我們現(xiàn)在選取質(zhì)量為m0的一小團氣體，由于熱力抬升作用，會使這部分氣體上升一個附加高度h，忽略分子間的內(nèi)能變化（由于是理想條件，氣體不受到約束，氣體的人力學性質(zhì)變化很小，可以忽略），由機械能守恒定律可得（假定核泄漏點正下方的地面處為零勢能點）：，即在放射性氣體排出時有一個對應(yīng)恒定速度，其換算關(guān)系如下，從

16、而得到,即于是所以泄漏源的有效高度為由此我們在引入泄漏源距地高度時坐標變換為：，將此變換代人上式就得到變換后的結(jié)果為:5.2問題二xp圖4 x軸上濃度變化圖5.2.1模型建立圖5 垂直與z軸的濃度變化圖濃度分布曲線x（n）y（n）z（n） 在放射性物質(zhì)的排放速度減為零后，此時大氣主要受擴散作用。在大氣的擴散作用下，放射性物質(zhì)開始向四周擴散。可作為三維空間來考慮，大氣的擴散在三個方向上都有，但擴散的參數(shù)不一樣?？梢哉J為放射性物質(zhì)在三維空間里的分布是不均勻的，因此在考慮放射性物質(zhì)地擴散時，我們先分析出三個軸方向上的濃度變化情況，建立三個濃度變化式，再對三個軸上的濃度所占的不同權(quán)重來確定濃度的平均值

17、，這樣結(jié)果更準確。先來分析在大氣擴散作用下的放射性物質(zhì)濃度的大致分布情況，在此以核泄漏點正下方的地面為坐標原點建立直角坐標系。可以分析得出距離核泄漏點越遠的地方放射性氣體的濃度越小，在無限遠處，放射性物質(zhì)的濃度可以近似為零，而距離核泄漏點越近濃度越大，在核泄漏源中心位置濃度是最大值。這樣可以作出x或y軸與濃度的大致關(guān)系二維曲線如圖4所示。也可畫出三維的濃度分布曲線圖。垂直于x軸和垂直于y軸的截面的濃度變化圖如圖5所示。結(jié)合圖4和圖5，可以發(fā)現(xiàn)濃度的變化圖非常接近數(shù)學上的正態(tài)分布曲線圖，因此可以得出濃度的近似變化式。經(jīng)分析，垂直于z軸的截面濃度與x，y軸截面的濃度變化大致相同，但z軸的取值范圍為

18、(0,)，只有z軸的正半軸，即垂直于z軸的截面的濃度變化是單向的，我們在處理空間上的正態(tài)分布時，一方面可以從物理意義上來確定其正態(tài)分布的數(shù)學組合形式，另一方面我們可以從數(shù)學中事件的獨立性性質(zhì)與積事件之間的關(guān)系，則我們可以寫出z軸向上的濃度變化式：其中。為z軸向上的空間點的濃度； 為待定函數(shù)； 為軸向上的擴散系數(shù)。同理可知，5.2.2模型求解以軸向為延展向為例來研究這三個待定的函數(shù)，可以得出在任一垂直于軸向的放射性物質(zhì)截面上可以有： 的積分取間在（-，+）上，的積分區(qū)間在（0，+）上。式中：為放射性物質(zhì)的排放的初始濃度，單位為：； 為放射性物質(zhì)的表況流量，單位為：；由量綱單位平衡可知上式等式成立

19、。將上面的積分結(jié)果代入（5.2.3）式并整理后得出待定函數(shù)的相關(guān)式：而軸上只有正半軸，所以在垂直于軸上的濃度為：，得： 在將代如(5.24)有： 所以 中得：從上面三個式子可以看出濃度的變化隨參數(shù)的增大而減小，即，p0，隨距離有效源的距離越大其濃度越小。由于每個軸上的濃度對實際濃度的影響程度是不一樣的，應(yīng)該按其濃度大小的影響來確定其濃度的最終影響較為合理。將所起的影響設(shè)為權(quán)重，為了更精確地計算濃度，可以求上面三個式子的平均濃度： 因為我們考慮放射性氣體擴散的主要原因是大氣的擴散作用，因此可以根據(jù)大氣的擴散參數(shù)來確定三個軸向上的權(quán)重。在有風時，可以近似認為水平面上的x，y軸上的擴散參數(shù)近似相等。

20、由于擴散參數(shù)越大時，放射性氣體的濃度在這個軸向上的權(quán)重值相對較小，因而三個軸向上的函數(shù)正好與擴散參數(shù)建立了一定的關(guān)系，如下所示： 又 則根據(jù)上式和前面的分析可得出權(quán)重的值為： 令權(quán)重為：再將帶入中得：5.2.3模型修正我們得到的濃度分布時空關(guān)系式是在比較理想條件下的數(shù)學模型，考慮到放射性氣體在現(xiàn)實條件下受外界因素的影響，我們就列出如下主要因素對上述已得到的方程進行修正:a.有熱力抬升作用的速度變化緩沖的影響產(chǎn)生;b.考慮到核電站中的放射性氣體主要為（碘）蒸氣與（銫）蒸氣等，由于它們的半衰期都不是很長，所以我們在考慮濃度變化時要引入衰變修正因子；c.當從距地面有一定高度的泄漏源到達地面時會發(fā)生全

21、反射效應(yīng)，我們?nèi)菀最惐任锢砉鈱W中的惠更斯原理知道，在發(fā)生全反射過程中也會很大程度上影響到放射性物質(zhì)的濃度空間分布；d.雨水，大氣水蒸氣，海平面等的吸收作用很顯著，應(yīng)當值得考慮；（1）對熱力抬升作用的修正題目中知道，在放射性氣體排出時有一個對應(yīng)恒定速度，其換算關(guān)系如下，從而得到，其中指泄漏源處在排出時的氣體柱體截面積，同時氣體在外界無風擴散時的速度與風速也有一個最終恒定的合速度，而且，這個過程不可能是在瞬間完成的，如果是瞬間完成，即 0，則加速度，這是不現(xiàn)實的，因此這個存在的時間緩沖即為熱力抬升作用，我們在此簡要地從物理學上給出由這個抬升作用而產(chǎn)生的計算方法。如圖6所示:根據(jù)能量守恒定理，我們有

22、yzo 圖6 有風情況氣體抬升后圖xhh 風向由此解得如下結(jié)果： = ，其中，分別為所取氣體質(zhì)量微元，對應(yīng)放射氣體的近似等壓比熱容和當?shù)刂亓铀俣?，由此我們在引入泄漏源距地高度時坐標變換為：，將此變換代人上式就得到變換后的結(jié)果為(2)對放射性氣體元素自然衰變的修正 首先簡要建立元素衰變模型，根據(jù)實際物理意義有如下關(guān)系式（引入比例系數(shù)，對特定的放射元素是常量且大于0） 解得：針對我們這道題目中有關(guān)濃度的變化就有 = ,從而我們就得到有關(guān)放射性衰變的修正關(guān)系為(3)對在地面發(fā)生全反射時的修正根據(jù)實際情況，當氣體上升到一定高度時，就會在重力場以及大氣壓的雙重作用下而開始下降，如果接觸地面，就會發(fā)生全

23、放射（如圖7），我們根據(jù)惠更斯原理易知，在發(fā)生全反射的條件下，相當于有兩個放射性氣體泄漏源，分別為原本的母源頭和相當于鏡面對稱的子源頭，這兩個泄漏源強度完全相等，唯一區(qū)別就是它們的源頭所處坐標關(guān)于地面鏡面對稱。如下圖7所示： 圖7 核泄漏地面反射圖 由（1）中的高度修正知道，母源頭坐標可以寫為，而子源頭的坐標為，即就是，將這兩個關(guān)于z的變換代人（2）中已修正的關(guān)系式中分別得到對應(yīng)的濃度分布關(guān)系即：在空間中任意一點的濃度分布關(guān)系式即為上述a，b泄漏源的濃度分布關(guān)系的疊加，故我們?nèi)菀椎玫饺我庖稽c的濃度分布關(guān)系式為：經(jīng)過一系列的數(shù)學上的化簡得到(4)雨水，水蒸氣，海平面等對放射性氣體的吸收的修正我們

24、不妨假設(shè)一個實驗來建立微分方程，當用于吸收放射性氣體水的量一定，而被吸收的氣體濃度是可變的，根據(jù)實際情況我們?nèi)菀字?，該體系的吸收氣體的效率（在不超過水的吸收能力的范圍內(nèi)）應(yīng)當正比于被吸收的氣體濃度，在我們引入比例系數(shù)f（大于0）的條件下有如下方程 其中代表降雨強度，我們通過分離變數(shù)法解上述微分方程，得到解為 接下來我們關(guān)鍵來求解比例系數(shù)，對特定的一種具體氣體其f值是一個定值，在考慮本問題中其擴散氣體主要成份為碘蒸氣，我們可以考慮有近似解取初始濃度為單位濃度， 當f充其量取最大值時應(yīng)當為碘元素的溶解度即=，我們在此就近似取，所以 將（3）中的結(jié)果代入得到上述結(jié)果即為最終含參數(shù)濃度表達式，我們通

25、過查找數(shù)據(jù)得知:代入各參數(shù)值之后就得到目標結(jié)果是5.3問題三5.3.1模型建立在考慮風速的情況下，由于放射性物質(zhì)是向四周擴散的，這樣在下風處，放射性物質(zhì)相對于地面的擴散的最大速度為（k+s）m/s，在上風處，放射性物質(zhì)相對于地面的擴散的最大速度為（k-s）m/s，然后分別代入到問題二中建立的高斯連續(xù)點源擴散模型中，分別用（k+s）和（s-k）去代替方程中的k，同時分別令x=l，y=z=0或者x=-l，y=z=0，這樣就可以求出當風速一定時，上風和下風l公里處放射性物質(zhì)的濃度。分情況討論如下：（1）在上風的情況下，此時滿足ks (m/s)時，即風速大于放射性氣體的擴散速度，此時的放射性氣體是無法

26、達到上風口的。因此必須滿足風速小于擴散速度，然后根據(jù)問題二中的模型可以求解，只需將模型中的k用s-k來代替即可。（2）在下風的情況下，此時k無較大的影響和要求此時不論風速小于擴散速度還是風速大于擴散速度，放射性氣體都可達到下風口處，則仍然可根據(jù)問題二中的修正模型來求解，只需將模型中的k用k+s來代替即可。5.3.2模型求解對于上風l處，x=-l，y=z=0，v=s-k，則此處放射性物質(zhì)的濃度為：對于下風l處，x=l，y=z=0，v=k+s，則此處放射性物質(zhì)的濃度為：5.4問題四5.4.1模型建立該模型的求解是將福島核電站與研究對象之間的距離，以及兩地之間的風向、風速等數(shù)據(jù)帶入修正后的高斯連續(xù)點

27、源擴散模型。在模型假設(shè)中，我們假設(shè)放射性氣體的主要成分是碘131。碘131的理化性質(zhì)如下表1所示。表1相對原子質(zhì)量半衰期/天比熱容/j/溶解度g/100g水1318.30.112990.02由于福島核電站泄漏事件是在2011年3月中旬發(fā)生的，這時我國正是春季，查閱資料可知這階段黃海上的平均風速為6-8m/s，我們?nèi)∑浣y(tǒng)計平均風速為6.2m/s,風向為北風，且以西北風為主。對于我國東海岸，我們選取上海為研究對象，根據(jù)地圖以及比例尺求出上海與福島的距離約為10.86*200=2136.2 km.此時，對于美國西海岸，北太平洋上的平均風速為7-12m/s，我們可以取其統(tǒng)計平均風速為7.8m/s，這時

28、的風向為北風，且以東北風為主。選取美國西海岸上的國家舊金山為研究對象，根據(jù)地圖以及比例尺求出上海與福島的距離約為12500 km.由于選取的兩個地理位置比較特殊，恰好近似地與福島三者構(gòu)成三點一線，所以若以福島的泄漏源為原點建立空間直角坐標系，以指向上海為x軸正向，那么上海和舊金山的坐標分別為m（2136200,0,0），n（-12500000,0,0）。由于我國東海岸的風向為西北風，那么放射性氣體應(yīng)向西北方向擴散。因而可以近似認為合速度即為放射性氣體的擴散速度與風速的算術(shù)和。同理可算出放射性氣體吹向美國西海岸的合速度大小，其中碘蒸氣在無風情況下的擴散速度為52.464m/s。查資料可知泄漏初時

29、刻的放射性物質(zhì)溫度約為84。福島核泄漏初期上海的平均氣溫為13，舊金山的平均氣溫為19。因為模型二中對高斯連續(xù)點源的修正考慮了雨水的吸收作用，就會有關(guān)于降雨強度的計算，根據(jù)氣象資料可以得知上海、舊金山以及太平洋地區(qū)的降雨量，同時根據(jù)我國氣象部門制定的降雨強度標準（見附錄1），并令降雨強度為小雨、中雨、大雨、暴雨、大暴雨、特大暴雨時相應(yīng)的降雨強度值為1、2、3、4、5、6。具體如下表2所示：表2某地區(qū)某時間段內(nèi)的月(年)降雨量降雨量值/毫米降雨強度對應(yīng)降雨強度值上海月平均降雨量100小雨1舊金山3月份降雨量77.7中雨2舊金山月平均降雨量41.7大雨3太平洋少雨區(qū)的年降雨量不足100暴雨4太平洋

30、年的一般年降雨量1000-2000大暴雨5太平洋多雨區(qū)的年降雨量3000-5000特大暴雨 6以上關(guān)于地理、氣象等資料獲取的數(shù)據(jù)即為模型所需的未知常量數(shù)據(jù)，同時帶入問題二建立的修正的高斯連續(xù)點源擴散模型中，可計算出經(jīng)過一段時間后上海、舊金山兩地的放射性氣體濃度。具體算法是先用核電站與兩研究對象之間的距離除以恒定不變的風速與放射性氣體擴散速度的合速度，計算出放射性氣體擴散到上?；蚺f金山所需時間t，然后將時間t及各個常量數(shù)據(jù)帶入修正模型即可。5.4.2模型求解（1）求解福島核泄漏發(fā)生后核物質(zhì)擴散到上海和美國舊金山的擴散時間 利用所查數(shù)據(jù)我們很容易得到：（2）求解放射性物質(zhì)泄漏時的抬升高度根據(jù)問題二

31、中的式（5.2.7）可求得：對于上海，核泄漏時的平均氣溫t1為13攝氏度，風速k1為6.2m/s，并將p0=50mg/m3,m=28g/s,放射源處的面積a=9.079m2代入式（5.2.7）中解得h=18.955m；對于美國舊金山，核泄漏時的平均氣溫t2為19攝氏度，風速k2為7.8m/s，并將p0=50mg/m3,m=28g/s,放射源處的面積a=9.079m2代入式（5.2.7）中解得h=9.373m（3）求解經(jīng)過擴散后到達上海和美國舊金山的放射性物質(zhì)濃度對于上海，坐標為m（2136200,0,0），代入式（5.2.6）中可得，經(jīng)擴散后放射性物質(zhì)的濃度為p=3.579*10-10g/m3

32、對于美國舊金山，坐標為n（-12500000,0,0）,代入式（5.2.6）中可得，經(jīng)擴散后放射性物質(zhì)的濃度p=6.442*10-25g/m3 根據(jù)以上的求解結(jié)果，我們在查閱相關(guān)核試驗參考資料中有關(guān)安全的限制得知：七、模型的分析與檢驗7.1模型的分析1.假設(shè)的合理性分析2. 給出模型的適用范圍進行 靈敏度、穩(wěn)定性、可靠性分析3.給出模型的誤差范圍進行原理誤差分析7.2模型的檢驗 用模型計算數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)進行比較，計算誤差大小，結(jié)合模型的分析說明誤差產(chǎn)生的原因，以及誤差是否在模型估計和實際許可的范圍之內(nèi)。八、模型的評價與推廣8.1模型的優(yōu)缺點與改進8.1.1模型的優(yōu)點1.該模型的建立是一個循序漸

33、進的過程，有理有據(jù)。首先利用假設(shè)將問題簡化從而建立了一個理想化模型，然后再依次考慮現(xiàn)實生活中可能對其產(chǎn)生影響的因素進而對模型進行修正和改進，最終得到具有一定實際意義的關(guān)于危險氣體泄漏的濃度預(yù)估模型。2.該模型是將一個物理問題簡化為一個數(shù)學問題，通過建立模型與模型求解而解決實際問題。因而我們可以采用對應(yīng)的物理思想經(jīng)過數(shù)學計算進行模型建立（如問題一中引入麥克斯韋的速度分布律的思想）。3.在問題四中，對預(yù)測出的濃度變化和對我國東海岸及美國西海岸的影響分析較為合理，因而該模型具有可靠性和參考性，可以進行推廣和做其他方面的應(yīng)用。4.該模型求解出的任一時刻空間任一點的放射氣體濃度在核事故的應(yīng)急救援過程中，

34、對救援人員劃定警戒區(qū)和確定周圍居民的疏散范圍具有重要意義，并可為制定救援和應(yīng)急決策提供科學依據(jù)。8.1.2模型的缺點及改進1.本文中的放射性氣體均按照輕質(zhì)氣體計算，就是沒有考慮氣體的質(zhì)量，認為氣體的密度小于空氣密度。但實際的放射性氣體可能存在密度大于或與大氣相當?shù)臍怏w，應(yīng)對其進行分類討論。2.本文問題一的第一種計算方法主要是數(shù)學方法，由于是多重積分所以求解比較困難，可以引進物理方法或使用計算機語言解決問題。3.擴散是一個非常復(fù)雜、影響因素眾多的過程，在有風情況下本文只考慮了熱力抬升、地面反射、放射性衰變及雨水吸收這四個方面對模型的修正，難免有遺漏之處，因而上述方法具有一定的局限性。除此之外，在

35、時間充裕的情況下，我們還可以考慮大氣的水平運動和垂直運動、水平面存在的氣壓梯度以及地面地形等其他因素對擴散所造成的影響。8.3模型的推廣1.計算核事故中不同的放射性物質(zhì)在連續(xù)點源和瞬時點源的情況下在不同氣象、地形條件下的濃度分布。2.適用于管道中有毒氣體的泄漏，工廠里煙囪中污染氣體的排放，重氣運輸過程中所造成的不慎泄漏以及爆炸中以點源散開之后周邊環(huán)境中濃度的變化和預(yù)估情況。九、參考文獻【1】 姜啟源，數(shù)學模型。北京：高等教育出版社，2002?！?】 包科達，熱學教程。北京：科學出版社，2011?！?】 新一代大氣擴散應(yīng)用研究，【4】 武笑，龍長江，安全評價中的氣體擴散模型，2008?！?】 李華，鄧繼勇，用高斯模型計算大氣中放射性核素云團的擴散，2006?！?】 福島核輻射對我國的危害，【7】百度，。 附錄1.氣象資料：（1）美國舊金山氣候資料：月份1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10月11月12月降雨量 (毫米)110.580.577.734.84.82.80.81.35.13172.678.5（2）我國氣象部門采用的降雨強度標準如下表:降雨類型判