高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用課件

1、高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則Rolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 單調(diào)性單調(diào)性, ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點(diǎn)拐點(diǎn), ,函數(shù)函數(shù)圖形的描繪圖形的描繪; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 1、羅爾中值定

2、理、羅爾中值定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即點(diǎn)的函數(shù)值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,

3、在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那那末在末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF 在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF 在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少

4、有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 推論推論.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4 4、洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則定義定義 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.型型未未定定式式型型及及 00.10型型未未定定式式000,1 ,0 ,0.2 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將

5、其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的某某個(gè)個(gè)開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí), , )(xf可可以以表表示示為為)(0 xx 的的一一個(gè)個(gè)n次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)余余項(xiàng)項(xiàng))(xRn之之和和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxf

6、xfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之之間間與與在在其其中中xxxxnfxRnnn 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用6 6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理定理.,)(0)(

7、),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)

8、是函數(shù)就稱就稱均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義定義(2) 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù),且且在在0 x處取得極值處取得極值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 函數(shù)

9、的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0

10、 x處取得極小值處取得極小值.(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), )(xf符符 號(hào)相同號(hào)相同,則則)(xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf

11、求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)該點(diǎn)的符號(hào)該點(diǎn)的符號(hào)在在在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就那個(gè)小那個(gè)就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3)

12、 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意: :1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值求最值;（或或最最小?。┲抵岛瘮?shù)數(shù)值值即即為為所所求求的的最最大大點(diǎn)點(diǎn)，則則該該點(diǎn)點(diǎn)的的若若目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)只只有有唯唯一一駐駐(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義定義;)(,2)()()2(,)(212121的的上的圖形是（向上）凹上的圖形是（向上）凹在在那末稱那末稱恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)上任意上任意如果對(duì)如果對(duì)上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)IxfxfxfxxfxxIIxf 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;)(,2)()()2(,212121

13、的的上的圖形是（向上）凸上的圖形是（向上）凸在在那末稱那末稱恒有恒有上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)區(qū)間如果對(duì)區(qū)間IxfxfxfxxfxxI ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹在在那那末末稱稱的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹且且在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfbabaxf高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 連

14、連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹凸凸的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn).定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx內(nèi)內(nèi)存存在在二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) , 則則 點(diǎn)點(diǎn) )(,00 xfx是是 拐拐 點(diǎn)點(diǎn) 的的 必必 要要 條條 件件 是是0)(0 xf.高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù);)(,(,)()1(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)兩兩近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號(hào)不變號(hào)兩近旁兩近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0

15、)(,)(00000的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)曲線曲線是是那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)三階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf; 求出方程求出方程0)( xf和和0)( xf 在函數(shù)定義在函數(shù)定義域內(nèi)的全部實(shí)根，用這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)域內(nèi)的全部實(shí)根，用

16、這些根同函數(shù)的間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間不存在的點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間.(5) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論） ；可列表進(jìn)行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢(shì)他變化趨勢(shì);第五步第五步 描描出出與與方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上

17、上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫(huà)畫(huà)出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖圓圓為半徑作為半徑作為圓心為圓心以以使使取一點(diǎn)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)在凹的一側(cè)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線M

18、DkDMDMkkyxMxfy 定義定義,是曲率中心是曲率中心D.是是曲曲率率半半徑徑 .1,1 kk曲曲率率圓圓.30高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例1 1.65,6sinln的正確性的正確性上上在在驗(yàn)證羅爾定理對(duì)驗(yàn)證羅爾定理對(duì) xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上連續(xù)上連續(xù)且在且在 內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并并且且2ln 二、典型例題高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.65,6sinln的的條條件件上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理在在函函數(shù)數(shù) xy, 0cot xy由由內(nèi)內(nèi)顯顯然然有有解解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)(

19、 f則則這就驗(yàn)證了命題的正確性這就驗(yàn)證了命題的正確性.高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的的次次數(shù)數(shù)為為分分子子關(guān)關(guān)于于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原原式式.21 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使內(nèi)內(nèi)存存在在不不同同的的在在對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)試試證證且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連

20、連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)證證,均均為為正正數(shù)數(shù)與與ba10 baa,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存存在在有有上分別用拉氏中值定理上分別用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(l

21、nlnyxyxyxyxyyxx 證證明明不不等等式式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf則則, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是是凹凹的的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于于是是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數(shù)若函數(shù)證證,1 , 00 x設(shè)設(shè)有有展成一階泰勒公式展成一階泰勒公式處把處把在在,)(0 xfx200

22、00)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則則有有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注注意意到到則有則有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又又由由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可可知知命命題題成成立立的的任任意意性性由由 x高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例6 6.,)1 ,2(sin2程程兩兩曲曲線線的的公公

23、共共曲曲率率圓圓方方點(diǎn)點(diǎn)處處并并寫(xiě)寫(xiě)出出向向點(diǎn)點(diǎn)具具有有相相同同的的曲曲率率和和凹凹在在使使拋拋物物線線與與正正弦弦曲曲線線一一拋拋物物線線求求作作處處上上點(diǎn)點(diǎn)過(guò)過(guò)正正弦弦曲曲線線MMcbxaxyMxy 解解為為曲曲率率圓圓的的圓圓心心坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別曲曲率率半半徑徑和和處處的的曲曲率率在在點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,sin)(xxfy 對(duì)于曲線對(duì)于曲線, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 對(duì)于曲線對(duì)于曲線 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a

24、若兩曲線滿足題設(shè)條件若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解此方程組得解此方程組得,21 a,2 b.812 c故所求作拋物線的方程為故所求作拋物線的方程為.8122122 xxy),0 ,2( , 1 曲曲率率半半徑徑曲率圓的方程為曲率圓的方程為. 1)2(22 yx兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心為高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例例7 7.,12并作函數(shù)的圖形并作函數(shù)的圖形漸近線漸近線拐點(diǎn)拐點(diǎn)區(qū)間區(qū)間凹凸凹凸極

25、值極值的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得得可可能能拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo),lim)3( yx;沒(méi)沒(méi)有有水水平平漸漸近近線線,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的鉛鉛

26、直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx 高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜漸漸近近線線為為曲曲線線直直線線yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分點(diǎn)分點(diǎn)和可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)為駐點(diǎn)駐點(diǎn)以函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)以函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn) xxxx列表如下列表如下:高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大值極大值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3( 3xy極極大大值值, 3

27、23 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用xyoxy 1 1作圖作圖高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)共同點(diǎn)，即（共同點(diǎn)，即（ ） （A A） 它們都給出了點(diǎn)的求法它們都給出了點(diǎn)的求法 . . （B B） 它們都肯定了點(diǎn)一定存在，且給出了求的它們都肯定了點(diǎn)一定存在，且給出了求的方法方法. . （C C） 它們都先肯定了它們都先肯定了 點(diǎn)一定存在， 而且如果滿足定點(diǎn)一定存在， 而且如果滿足定理?xiàng)l件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的值理?xiàng)l

28、件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的值 . . （D D） 它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是什么，也沒(méi)有給出求的方法什么，也沒(méi)有給出求的方法 . . 測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2 2、 若若)(xf在在),(ba可導(dǎo)且可導(dǎo)且)()(bfaf , ,則則（ ）（A A） 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在點(diǎn)一定不存在點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存在一點(diǎn)恰存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（D D） 對(duì)任意的對(duì)任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3

29、 3已知已知)(xf在在,ba可導(dǎo)，且方程可導(dǎo)，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 兩個(gè)不同的根兩個(gè)不同的根 與與 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 沒(méi)有；沒(méi)有；（D D） 無(wú)法確定無(wú)法確定. .高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 4 4、如果、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導(dǎo)，可導(dǎo)，c為介于為介于 ba,之間的任一點(diǎn)，那么在之間的任一點(diǎn)，那么在),(ba（ ）找到兩點(diǎn)）找到兩點(diǎn) 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能；

30、（B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無(wú)法確定能）無(wú)法確定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 ),(bax 時(shí)，時(shí)，0)( xf，又，又0)( af, ,則則（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上單調(diào)減少，且上單調(diào)減少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，但上單調(diào)增加，但)(bf的的 正負(fù)號(hào)無(wú)法確定正負(fù)號(hào)無(wú)法確定. .高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的

31、應(yīng)用 6 6、0)(0 xf是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)點(diǎn)處有極值的處有極值的（ ）. .（A A） 充分條件；充分條件；（B B） 必要條件必要條件（C C） 充要條件；充要條件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 條件條件. . 7 7、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小 值，則值，則（ ）. . （A A）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值； （B B）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值； （C C）極大值不一定是最大

32、值，極小值也不一定是）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）極大值必大于極小值）極大值必大于極小值 . .高等數(shù)學(xué)中值定律與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 8 8、若在、若在),(ba內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)0)( xf， 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)0)( xf, ,則函數(shù)則函數(shù))(xf在此區(qū)間內(nèi)在此區(qū)間內(nèi)( ( ). ).（A A） 單調(diào)減少，曲線是凹的；單調(diào)減少，曲線是凹的；（B B） 單調(diào)減少，曲線是凸的；單調(diào)減少，曲線是凸的；（C C） 單調(diào)增加，曲線是凹的；單調(diào)增加，曲線是凹的；（D D） 單調(diào)增加，曲線是凸的單調(diào)增加，曲線是凸的. . 9 9、設(shè)、設(shè)0)(lim)(lim xFxfaxax，且在點(diǎn)，且在點(diǎn)a的某的某 鄰域中鄰域中（點(diǎn)（點(diǎn)a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xF都存在，都存在， 且且0)(