廣西桂林市逸仙中學(xué)高二數(shù)學(xué)《線性規(guī)劃問題》課件

1、第三節(jié)二元_次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)梳理1.二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示平面區(qū)域:一般地二元一次不等式Ax+By+C 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C二0某一側(cè)所有點(diǎn)組畫的域，我們把直線畫成虛線以表示區(qū)坯包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式Ax+By+C n 0所表示的平面 區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成殳線(2)判定方法由于對(duì)直線Ax+By+C二0同一側(cè)的所有點(diǎn)(xy)把它的坐標(biāo)(xy)原點(diǎn)代入Ax+By+C所得至啲實(shí)數(shù)的符號(hào)韻回所以只需在此直線的 某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(xOO),從AxO+ByO+C的 亠 副可判斷 Ax+By

2、+C 0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域當(dāng)取弋作為原點(diǎn)特殊點(diǎn).(3)不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集 的交鬆而是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的S部分2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的 不等式（或方程）組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù),如z=2x+3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x, y的、解析式可行解滿足線性約束條件的可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得】或的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的或的問題典例分析題型一 用二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域例1】畫出下列不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.(1) 3x+2y+6

3、 0;卜x3x + 2y63y 0z(0,0 )在3x+2y+6 0妾示的平面區(qū)域內(nèi),如圖所示.不等式x 6表示直線3x+2y6二0上及右上方點(diǎn)的集 合杲等式3y 0的平面區(qū)域時(shí)z其邊 界直線應(yīng)為虛線;畫不等式Ax+By+CnO的平面區(qū)域時(shí),其邊 界直線應(yīng)為實(shí)線.(2)畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域z常用的方法是:直 線定界原點(diǎn)定域即先畫出對(duì)應(yīng)的直線,再將原 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程中,看其值比0大還是比0小;不等式組 表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,是 它們平面區(qū)域的公共部分.峑一石=x-y+501若不等式組陽表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值0xo,/X ,ys2-x:xt

4、+l所確定的平面區(qū)域的面積為s=f(t)z 試求f (t) (0t0zb0zH當(dāng)x羊0,yu x+ysl時(shí)恒有ax+bysl,則以a,b為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b)所形成的平面區(qū)域 的面積1丿Oa=解析： 滿足XozXM-yl的點(diǎn)(x,y)的可行域如圖1,若 anO,bnO.恒有 ax+bysl,則 l-bynaxnO-bn(Vbsl同 理，a0,【例3】已知Qx+m2x-y50將C9)代入z得最大值為21.(2) z二x2+(y5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0z5)的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上故z的最嚴(yán)直是| M N $二92.z=2苔手示可行域內(nèi)任一丿

5、 斜率的兩倍I因?yàn)镮0z x+y-20jt z點(diǎn)Q在曲線/+(y +丞尸那么|PQ的最小值為.解析：如圖，當(dāng)P取點(diǎn)(0,3時(shí),|PQ|有最小值為亍|, Q 取點(diǎn)(0,-1)答案：題型四線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】（14分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,計(jì)劃每天每種產(chǎn)品 的生產(chǎn)量不少于15噸z已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸,需煤9噸z電力4 千瓦時(shí),勞力3個(gè)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸,需煤4噸,電力5干瓦時(shí)z 勞力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸的利潤為7萬元z乙產(chǎn)品每噸的利潤為 12萬元；但每天用煤不超過300噸z電力不超過200干瓦時(shí),勞 力只有300個(gè).問:每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸,才能使利潤總額達(dá)到最大？ 分析 設(shè)每天生產(chǎn)

6、甲、乙兩種產(chǎn)品各x噸、y噸,由題意得到線性 約束條件及目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而畫出可行域及求得最優(yōu)解.解設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸、y噸z利潤總額為z 萬元，I1則線性約束條件為4x+5yr9x+4y300z200z3x+10y15z Iy15z.k4目標(biāo)函數(shù)為z二7x+12y, 作出可行域如圖.67x+12y=0o“159x+4y=30074(20.IO1y=5 x+10y=300 -*4尢+5嚴(yán)200作出_組平行直線/x+i2y=tz占亙線經(jīng)車直線4x+5y二200和直線 3x+10y二300的交點(diǎn)A ( 20z24 )時(shí)z利潤最大12Zmax即生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為20噸、24噸時(shí),利潤

7、總額最大， 二 7x20+12x24 二428(萬元)14;答：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20噸z乙產(chǎn)品24噸z才能使利潤總額達(dá)到最 大.學(xué)后反思(1) 扁舜衿規(guī)劃應(yīng)用問題的步驟是:設(shè)出未知數(shù)；列出約束 條件;作出可行域;作平行線，使直線與可行域有交點(diǎn); 求出最優(yōu)解,并作答.(2) 用圖解法解答線性規(guī)劃應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意:仔細(xì)審題，對(duì)關(guān)鍵部 分進(jìn)行精讀，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件/探求的目 標(biāo)如何?起關(guān)鍵作用的變量有哪些?由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量 較多力了理順題目中量與量之間的關(guān)系，一般可將數(shù)據(jù)列成一 個(gè)表格來幫助分析數(shù)量關(guān)系.(3) 要注意結(jié)合實(shí)際問題，確定未知數(shù)x,y等是否有限制，如本題中 有 xn

8、O,ynO.能建立線性規(guī)劃的實(shí)際問題的類型:給定一定數(shù)量的人力、 物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源使完成的任務(wù)量最大,收到的 效益最大；給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任 務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.舉一反=4. （200冠川改編）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品已知生產(chǎn)每噸甲 產(chǎn)品要用A原料引屯、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸, B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得 利潤3萬元該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原 料不超過18噸,那么該企業(yè)可獲得最大利潤是萬元.解析:設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品為x噸,乙產(chǎn)品為y噸,則該企 業(yè)可獲得利潤為z二5x+3y,且x

9、O,X。， I 3x+y13, 2x+3y0仏0 /,(1)歸 + 2/? + 10q + /? + 2 0在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn) （a,b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閍ABD（不包括邊界）, 如圖陰影部分,其中點(diǎn)A（-3Z1）ZB（- 1Q）Q（2OMABD 的面積 為 SBC =BD由的距離）點(diǎn)C2）歹點(diǎn)佝b）連線的斜率 為 塩然 w&lNkCB）,宀宀4a -1ci 1即任14丄a-1考點(diǎn)演練10. （2009-湖南改編）已知D是不等式組lx-2y0z x+3y0所確定的平面區(qū)域，求圓F + y2在區(qū)域b內(nèi)的弧長.解析：如圖,k 等式組表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠?1 11 tan ZAOB

10、= ?彳二 11-X-2 3厶孕謝求弧長為2：11 設(shè)實(shí)數(shù)xy滿足yy-20z 2y-3ctyx的最大值.解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖,裊示可行域內(nèi)yXX的點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，顯然在點(diǎn)A(l,3取最大值為y=2 = 1兀丿max12.某工廠的一個(gè)車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其成本為每公斤27元，售 價(jià)為每公斤50元在生產(chǎn)產(chǎn)品的同時(shí)，每公斤產(chǎn)品產(chǎn)生0.3立方米 的污水，污水有兩種排放方式:其一是輸送到污水處理廠/經(jīng)處理假設(shè)污水處理率為85%）后排入河流淇二是直接排入河流若污水處理廠每小時(shí)最大處理能力是0.9立方米污水/處理成本是每 立方米污水5元;環(huán)保部門對(duì)排入河流的污水收費(fèi)標(biāo)

11、準(zhǔn)是每立方 米污水17.6元,根據(jù)環(huán)保要求該車間每小時(shí)最多允許排入河流中 的污水是0.225立方米試問該車間應(yīng)該選擇怎樣的生產(chǎn)與排污方案/吏其凈收益最大?解析設(shè)該車間凈收入為每小時(shí)Z元,生產(chǎn)的產(chǎn)品為每小時(shí)X公斤，直 接排入河流的污水量為每小時(shí)y立方米每小時(shí)車間污水產(chǎn)生量 為0.3x;污水處理廠污水處理量為0.3x-y;經(jīng)污水處理廠處理后的 污水排放量為(l-0.85)(0.3x-y);$間產(chǎn)品成本為27x;車間生產(chǎn)收 入為50x;車間應(yīng)交納排污費(fèi)用為17.6(l-0.85)(0.3x-y)+y;$間 交納的污水處理費(fèi)為5(0.3x-y).這樣，車間每小時(shí)凈收入為：z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.6(l-0.85)(0.3x-y)+y=20.708x-9.96y.由于污水處理廠的最大處理能力為0.3x-y0.9.根據(jù)允許排入河流的最大污水量的限制，有y+(l-0.85)(0.3x-y)0.225 9x+170y45.輸送給污水處理廠的污水量應(yīng)滿足0.3x-y n 0.綜上所述,這個(gè)環(huán)保問題可歸結(jié)為以