第三章材料力學 扭轉(zhuǎn)

1、1第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)21. 概概 述述 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線 垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA3扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（剪應(yīng)變（）：直角的改變量。mmOBA42. 傳動軸的外力偶矩傳動軸的外力偶矩 扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、傳動軸的外力偶矩一、傳動軸的外力偶矩 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：

2、P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）53 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定： “T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。反之為負。二、扭矩及扭矩圖二、扭矩及扭矩圖 1 扭矩：扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x64 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT7例例1已知：一傳動軸， n =300r/min，主動

3、輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。（輪系如何按排更合理？）nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m8nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37

4、6 , 0 4243.mTmT9繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37103. 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實驗：一、實驗：1.實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。112.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3.結(jié)論：結(jié)論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。變

5、，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。12 acddxbdy 無正應(yīng)力 橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：13二、薄壁圓筒剪應(yīng)力二、薄壁圓筒剪應(yīng)力 大?。捍笮。?tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。14三、剪應(yīng)力互等定理：三、剪應(yīng)力互等定理： 0故dx

6、dytdxdytmz上式稱為剪應(yīng)力互等定理為剪應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz15四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切應(yīng)力狀態(tài)。16 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克

7、定律：當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限當剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（時（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。17G 式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系： 可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1 ( 2EG184. 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力變形幾何方面變

8、形幾何方面物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面靜力學方面靜力學方面 1. 橫截面變形后橫截面變形后 仍為平面；仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行?？v向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：19二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。202. 物理關(guān)系：物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 213. 靜力學關(guān)系：

9、靜力學關(guān)系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關(guān)系式 得：xGdd pIT22pIT橫截面上距圓心為處任一點剪應(yīng)力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面 直桿。直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。23單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實

10、心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp對于實心圓截面：DdO24對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd25 應(yīng)力分布應(yīng)力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。26 確定最大剪應(yīng)力：確定最大剪應(yīng)力：pIT由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdI

11、WWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt27三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。鏈接至扭轉(zhuǎn)變形鏈接至扭轉(zhuǎn)變形281. 點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應(yīng)力； 取分離體如圖(d)：(d) x29(d) xnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由

12、平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 302cos ; 2sin 分析：當 = 0時，max00 , 0當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max45當 = 90時，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。31四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸

13、：maxmaxtWT( 稱為許用剪應(yīng)力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt32 例例2 2 功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩圖計算并校核剪應(yīng)力強度此軸滿足強度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt335 . 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的

14、變形 剛度條件剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp34二、單位扭轉(zhuǎn)角二、單位扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度。 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。35剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷： max max GT Ip

15、 max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。36 例例33長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD37314max 116）（TD40NmxT代入數(shù)值得：D 0.0226m。 由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT3840NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面轉(zhuǎn)角為：弧度）( 0330

16、4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP39 例例44 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率N1 = 500 馬力， 輸出功率分別 N2 = 200馬力及 N3 = 300馬力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？解：圖示狀態(tài)下,扭矩如 圖，由強度條件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m4016 31TdWt mm4671070143421016163

17、632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)41 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d綜上：全軸選同一直徑時 mm851 dd42 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng) 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814436. 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問

18、題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。解由平衡方程和補充方程組成的方程組。44 例例55長為 L=2m 的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固端反力偶。解解：桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。 平衡方程為：02BAmmm45幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果。mN 20Bm46二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算1. 1. 應(yīng)力的計算應(yīng)力的計算=+ Q TtTQWTAQmax近似值：3238124162dDPDddPdPDPQT472. . 彈簧絲的強度條件彈