1991年福建高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、1991年福建高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題：本大題共15小題；每小題3分，共45分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)(1) 已知sin=，并且是第二象限的角，那么tg的值等于( )(A) (B) (C) (D) (2) 焦點(diǎn)在(1，0)，頂點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是( )(A) y2=8(x+1)(B) y2=8(x+1)(C) y2=8(x1)(D) y2=8(x1)(3)函數(shù)y=cos4xsin4x的最小正周期是( )(A) (B) (C) 2(D) 4(4)如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有(

2、 )(A) 12對(duì)(B) 24對(duì)(C) 36對(duì)(D) 48對(duì)(5) 函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是( )(A) x=(B) x=(C) (D) (6) 如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且頂點(diǎn)S在底面的射影O在ABC內(nèi)，那么O是ABC的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 內(nèi)心(7) 已知an是等比數(shù)列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為=，那么它的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為( )(A) （0，0），（6，）(B) (

3、3，0)，(3，0)(C) （0，0），（3，0）(D) (0，0)，(6，0)(9) 從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有( )(A) 140種(B) 84種(C) 70種(D) 35種(10) 如果AC0且BC0，那么直線Ax+By+C=0不通過( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么( )(A) 丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件(B) 丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件(C) 丙是甲的充要條件(D) 丙

4、不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件(12) (1)的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3，7上是增函數(shù)且最小值為5，那么f (x)在區(qū)間7，3上是( )(A) 增函數(shù)且最小值為5(B) 增函數(shù)且最大值為5(C) 減函數(shù)且最小值為5(D) 減函數(shù)且最大值為5(14) 圓x2+2x+y2+4y3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有( )(A) 1個(gè)(B) 2個(gè)(C) 3個(gè)(D) 4個(gè)(15) 設(shè)全集為R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M=x|f (x)0，N=x|g (x)0，那么集合x|f (x)g (x)=0等于( )(

5、A) (B)(C)(D)二、填空題：本大題共5小題；每小題3分，共15分把答案填在題中橫線上(16) arctg+arctg的值是_(17) 不等式1，那么a= (20) 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa那么這個(gè)球面的面積是 三、解答題：本大題共6小題；共60分(21) (本小題滿分8分)求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的集合(22) (本小題滿分8分)已知復(fù)數(shù)z=1i, 求復(fù)數(shù)的模和輻角的主值(23) (本小題滿分10分)已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G

6、C垂直于ABCD所在的平面，且GC2求點(diǎn)B到平面EFG的距離(24) (本小題滿分10分)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f (x)=x3+1在(，+)上是減函數(shù) (25) (本小題滿分12分)已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a1，解關(guān)于x的不等式logaxlogx12logxn (n2)logxlog(x2a)(26) (本小題滿分12分)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)若OPOQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程參考答案說明：一、本解答指出了每題所要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查

7、內(nèi)容參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)評(píng)分細(xì)則二、每題都要評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分時(shí)，如果該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響的程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果這一步以后的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不給分三、為了閱卷方便，本試題解答中的推導(dǎo)步驟寫得較為詳細(xì)，允許考生在解題過程中合理省略非關(guān)鍵性的推導(dǎo)步驟四、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)五、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一、選擇題本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題3分，滿分45分(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D

8、(7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空題本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題3分，滿分15分(16) (17) x|2x1 (18) (19) 1+ (20) 3a2 三、解答題(21) 本小題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)滿分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)2sinxcosx+2cos2x 1分=1sin2x(1cos2x) 3分=2sin2x+cos2x=2+sin(2x+) 5分當(dāng)sin(2x+)=1時(shí)y取得最小值2 6分使y取最小值的x的集合為x|x=k，kZ

9、 8分(22) 本小題考查復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算能力滿分8分解：= 2分=1i 4分1i的模r=因?yàn)?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且輻角的正切tg=1，所以輻角的主值= 8分(23) 本小題考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力滿分10分解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O 因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EFBD，H為AO的中點(diǎn)BD不在平面EFG上否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾由直線和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG

10、的距離 4分 BDAC， EFHC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面EFG平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線 6分作OKHG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離 8分 正方形ABCD的邊長為4，GC=2， AC=4，HO=，HC=3 在RtHCG中，HG=由于RtHKO和RtHCG有一個(gè)銳角是公共的，故RtHKOHCG OK=即點(diǎn)B到平面EFG的距離為 10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分 (24) 本小題考查函數(shù)單調(diào)性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力滿分10分證法一：在(，+)上任取x1，x2

11、且x1x2 1分則f (x2) f (x1) = (x1x2) () 3分 x1x2， x1x20 4分當(dāng)x1x20； 6分當(dāng)x1x20時(shí)，有0； f (x2)f (x1)= (x1x2)()0 8分即 f (x2) f (x1)所以，函數(shù)f(x)=x3+1在(，+)上是減函數(shù) 10分證法二：在(，+)上任取x1，x2，且x1x2， 1分則 f (x2)f (x1)=xx= (x1x2) () 3分 x1x2， x1x20又 xx(xx)|x1x2|x1x2 0， f (x2)f (x1) = (x1x2) ()0 8分即 f (x2) loga(x2a) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，0，不等式等價(jià)于 lo

12、gaxloga(x2a) 因?yàn)閍1，式等價(jià)于 6分因?yàn)?，所以，不等式的解集為x|x 8分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，loga(x2a) 因?yàn)閍1，式等價(jià)于 或 10分因?yàn)?12分所以，不等式的解集為x|x綜合得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式的解集是x|；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式的解集是x|(26) 本小題考查雙曲線性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識(shí)，以及綜合分析能力滿分12分解法一：設(shè)雙曲線的方程為=1依題意知，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足方程組 將式代入式，整理得(5b23a2)x2+6a2cx(3a2c2+5a2b2)=0 3分設(shè)方程的兩個(gè)根為x1，x2，若5b23a2=0，則=，即直線與雙曲線

13、的兩條漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)同，與題設(shè)矛盾，所以5b23a20根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有 6分由于P、Q在直線y=(xc)上，可記為P (x1，(x1c)，Q (x2，(x2c)由OPOQ得=1，整理得3c(x1+x2)8x1x23c2=0 將，式及c2=a2+b2代入式，并整理得3a4+8a2b23b4=0，(a2+3b2)(3a2b2)=0因?yàn)閍2+3b20，解得b2=3a2，所以 c=2a 8分由|PQ|=4，得(x2x1)2=(x2c)(x1c)2=42整理得(x1+x2)24x1x210=0將，式及b2=3a2，c=2a代入式，解得a2=1 10分將a2 =1代入b2=3a2得b2=3故所求雙曲線方程為x2=1 12分解法二：式以上同解法一 4分解方程得x1=，x2= 6分由于P、Q在直線y=(xc)上，可記為P (x1，(x1c)，Q (x2，(x2c)由OPOQ，得x1 x