信號相關分析原理：自相關函數(shù),互相關函數(shù)

1、2021/6/161第五章第五章 信號相關分析原理信號相關分析原理5.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜5.2 信號的相關分析信號的相關分析5.3 離散信號的自相關函數(shù)離散信號的自相關函數(shù)5.4 信號的互相關函數(shù)信號的互相關函數(shù)作作 業(yè)業(yè)2021/6/1625.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜( (一一) )信號的能量與功率信號的能量與功率信號的能量信號的能量： 指信號指信號f(t)的歸一化能量，即信號的電的歸一化能量，即信號的電 壓（電流）加在壓（電流）加在1 電阻上所消耗的能量。電阻上所消耗的能量。dttfE2|)(|（5.11）若若f(t)為實數(shù)為實數(shù)dttfE2)

2、(由公式：由公式：dtRURdtIE22當當R=1R=1 時，即可時，即可得公式（得公式（5.115.11）。）。對于能量信號對于能量信號E為有限值。為有限值。如果在無限大的時間間隔內，如果在無限大的時間間隔內，信號的能量為有限值，而信號信號的能量為有限值，而信號的平均功率為零的平均功率為零2021/6/163信號的功率信號的功率：信號電壓（或電流）在：信號電壓（或電流）在1 1歐姆電阻上所消耗的功率。歐姆電阻上所消耗的功率。 21212)(1TTdttfTTP若若f(t)f(t)為為實函數(shù)實函數(shù)設設T T2 2=T/2=T/2，T T1 1=-T/2=-T/2，則：，則：222)(1TTdt

3、tfTp在在TT1 1，T T2 2 時間內平均功率可表示為：時間內平均功率可表示為：當當T T時時222)(1limTTTdttfTP（1.221.22）222)(1limTTTdttfTP5.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜2021/6/164( (二二) )能量譜能量譜與與功率譜功率譜5.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜dFdttfE22)(21)(其中其中|F( )|2 表明了信號能量在頻域的分布情況，所以表明了信號能量在頻域的分布情況，所以被稱為被稱為能量譜密度能量譜密度,簡稱簡稱能譜能譜。記作：。記作：2)()(FW因為能譜是因為能譜是頻譜密度頻譜密度模的平

4、方，與相位無關。模的平方，與相位無關。對波形相同而時間位置不同的所有信號，其能譜完全相同。對波形相同而時間位置不同的所有信號，其能譜完全相同。1. 能量譜能量譜: 該式為帕色伐爾（斯瓦爾）定理，又成稱為瑞利公式。該式為帕色伐爾（斯瓦爾）定理，又成稱為瑞利公式。它表明：對于能量信號，在時域內計算的信號能量與在頻域它表明：對于能量信號，在時域內計算的信號能量與在頻域內計算的信號能量相等。內計算的信號能量相等。2021/6/1655.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜2. 功率譜：功率譜：設設 是是 的截短函數(shù)的截短函數(shù))(0tfT)(tf220000)()(TTTtttftf則則f(t)

5、的功率譜密度函數(shù)為的功率譜密度函數(shù)為02)(lim)(00TFSTT所以所以dSP)(212021/6/1665.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜( (三三) )兩信號的兩信號的互能量互能量兩信號兩信號x(t) 、y(t)之和的能量為：之和的能量為：dttytxE2)()(dttytxdttydttx)()(2)()(22xyyxEEE信號的互能量為：信號的互能量為：dttytxExy)()(2兩函數(shù)的標量積：兩函數(shù)的標量積：dttytxyx)()(),(（兩信號之和的能量，除（兩信號之和的能量，除了包含兩信號各自的能量了包含兩信號各自的能量外，還包含一項外，還包含一項Exy）20

6、21/6/1675.1 信號的互能量與互能譜信號的互能量與互能譜若信號若信號x(t) 和和 y(t) 為實函數(shù)，其頻譜密度分別為為實函數(shù)，其頻譜密度分別為)()(YX和，則，則dYXdttytxyx)()(21)()(),( (四四) )廣義瑞利公式廣義瑞利公式、互能譜互能譜1. 廣義瑞利公式：廣義瑞利公式：2. 互能譜：互能譜：)()()(YXWxyWxy( )稱為信號稱為信號x(t)、y(t)的互能譜密度，簡稱互能譜。的互能譜密度，簡稱互能譜。2021/6/1685.2 信號的相關分析信號的相關分析（一）信號的自相關函數(shù)（一）信號的自相關函數(shù)為了定量地確定信號為了定量地確定信號x(t) 與

7、時移副本與時移副本x(t- ) 的差別或的差別或相似程度，通常用自相關函數(shù)：相似程度，通常用自相關函數(shù)：dttxtxRx)()()(自相關函數(shù)的特點：自相關函數(shù)的特點：1. 自相關函數(shù)是偶函數(shù)自相關函數(shù)是偶函數(shù))()(RR2. 當當 =0 時，時，自相關函數(shù)等于信號的能量自相關函數(shù)等于信號的能量xxEdttxR)()0(23. Rx(0)為自相關函數(shù)的最大值為自相關函數(shù)的最大值2021/6/1695.2 信號的相關分析信號的相關分析（二）無限長信號的自相關函數(shù)（二）無限長信號的自相關函數(shù) 無限長非周期函數(shù)無限長非周期函數(shù)：由：由有限時間信號有限時間信號的周期的周期T0趨于趨于 無窮大時獲得的。

8、無窮大時獲得的。為使所得為使所得R( ) 的表達式不發(fā)散，定義新自相關函數(shù)：的表達式不發(fā)散，定義新自相關函數(shù)：20200)()(1lim)(0TTdttxtxTRTx周期函數(shù)：周期函數(shù)：其自相關函數(shù)為其自相關函數(shù)為22)()(1)(TTdttxtxTRx周期信號的自相關函數(shù)是周期信號的自相關函數(shù)是 的周期函數(shù)，周期為的周期函數(shù)，周期為T。當當 =0 或或 T 的整數(shù)倍時，的整數(shù)倍時，x(t- )=x(t), Rx( )達到最大值，達到最大值，為為x(t)的平均功率。的平均功率。2021/6/16105.2 信號的相關分析信號的相關分析（四）自相關函數(shù)與能譜的關系（四）自相關函數(shù)與能譜的關系de

9、XRjx2)(21)(deWjx)(21可見，自相關函數(shù)等于可見，自相關函數(shù)等于 信號能譜的傅立葉變換。由信號能譜的傅立葉變換。由此易得：此易得：deRWjxx)()(2021/6/16115.2 信號的相關分析信號的相關分析（五）自相關函數(shù)與功率譜的關系（五）自相關函數(shù)與功率譜的關系維納維納辛欽（辛欽（Wiener-Khintchine）關系：）關系：S( )為信號的功率譜密度，為信號的功率譜密度，02)(lim)(00TXsTT則：則：deRSj)()(deSRj)(21)(2021/6/16125.3 離散信號的自相關函數(shù)離散信號的自相關函數(shù)離散信號的自相關函數(shù)：離散信號的自相關函數(shù)：j

10、njxjxnR)()()(性質：性質：1、離散自相關函數(shù)是偶函數(shù)、離散自相關函數(shù)是偶函數(shù))()(nRnR2、在、在n=0時，時，自相關函數(shù)自相關函數(shù)就是就是離散信號的離散信號的能量能量xjxEjxR)()0(22021/6/16135.4 信號的互相關函數(shù)信號的互相關函數(shù)（一）互相關函數(shù)（一）互相關函數(shù)設設 x(t)、 y(t) 為能量信號，則為能量信號，則 x(t)、 y(t) 的互相關函數(shù)為的互相關函數(shù)為 dttytxRxy)()()(dttxtyRyx)()()(式中式中 為兩信號的時差。為兩信號的時差。描述兩信號之間的相互關系，描述兩信號之間的相互關系，即兩信號波形的相似程度，時即兩信

11、號波形的相似程度，時間軸上的位置差別間軸上的位置差別如果兩信號正交如果兩信號正交 0)()(dttytx說明正交信號之間毫無相似之處。說明正交信號之間毫無相似之處。2021/6/161420200)()(1lim)(0TTdttytxTRTxy20200)()(1lim)(0TTdttxtyTRTyx若若 x(t),y(t) 為功率信號，則為功率信號，則 x(t), y(t) 的互相關函數(shù)為的互相關函數(shù)為 5.4 信號的互相關函數(shù)信號的互相關函數(shù)2021/6/1615互相關函數(shù)性質：互相關函數(shù)性質：1、互相關函數(shù)不是偶函數(shù)。、互相關函數(shù)不是偶函數(shù)。)()(xyxyRR)()(yxyxRR2、 和和 不是同一個函數(shù)，即：不是同一個函數(shù)，即：)(xyR)(yxR)()(yxxyRR但存在下列關系：但存在下列關系：)()(yxxyRR5.4 信號的互相關函數(shù)信號的互相關函數(shù)2021/6/1616（二）相關與卷積的關系（二）相關與卷積的關系卷積：卷積：dtyxtytx)()()()(互相關：互相關：dtyxRxy)()()(5.4 信號的互相關函數(shù)信號的互相關函數(shù)2021/6/1617（三）相關定理（三）相關定理若若 ， 的頻譜函數(shù)分別為的頻譜函數(shù)分別為 ， )(tx)(ty)(X)(Y則：則：)()()(YXRFxy)()()(XYRFyx由此可見，兩信