分析力學(xué)的思想

1、分析力學(xué)的思想 相對(duì)運(yùn)動(dòng)概念在應(yīng)用到自由度數(shù)很大甚至無限大的系統(tǒng)時(shí)就會(huì)受到限制?？墒侵灰覀兓氐侥欠N不可分割的，整體連續(xù)的表象，只要我們放棄單個(gè)物體位置和運(yùn)動(dòng)的參數(shù)變化以及為些所必備的坐標(biāo)系，那么絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的對(duì)立就被撤消了。對(duì)某一宏觀體積中質(zhì)點(diǎn)的熱運(yùn)動(dòng)來說，相對(duì)性的概念就沒有什么用途。不過當(dāng)我們規(guī)定系統(tǒng)的自由度數(shù)不太大，并且可以不間斷地記錄每一質(zhì)點(diǎn)的位置和速度，那么相對(duì)性的概念還可以保持下來。這樣，要是可以把宇宙氣體（不去研究里面?zhèn)€別質(zhì)點(diǎn)的位置和速度）同連續(xù)介質(zhì)組成一體的話，牛頓的絕對(duì)空間或許就獲得唯理論的意義。當(dāng)絕對(duì)空間具有洛侖茲那種全部充滿空間以太的特征的時(shí)候，絕對(duì)空間也同樣會(huì)獲得

2、唯理論的意義。（盡管已為后來的一系列實(shí)驗(yàn)所駁倒） 就科學(xué)思維能力和風(fēng)格的影響來說只有極少數(shù)的科學(xué)發(fā)現(xiàn)可以同廣義坐標(biāo)方法相提并論。把空間中質(zhì)點(diǎn)的位置，即古典力學(xué)的原始的形象和被當(dāng)成是多維“空間”的點(diǎn)的系統(tǒng)的位形相對(duì)應(yīng)，從幾何的觀點(diǎn)來說這是在拉格朗日把四維時(shí)空引入科學(xué)之后所采取的下一個(gè)步驟。當(dāng)達(dá)朗貝爾在百科全書【1】的量度一文中寫到他的一些“機(jī)敏的熟人”把時(shí)間看成是第四維時(shí)候，他可能就是指拉格朗日和其他一些人。但是，把第四維的概念引入科學(xué)還是當(dāng)拉格朗日在分析力學(xué)中用四維解析幾何的形式闡明古典力學(xué)原理之后。也正是由于分析力學(xué)才把維空間的觀念引入到科學(xué)之中。多維空間的理論由于柯西（Couehy）、凱爾

3、【2】、普留凱爾（Pluker）【3】、黎曼（Reimmsnn），特別是格拉斯曼（Grassmaum）【4】之在廣延性的理論【5】（1844）中的努力在形式化方面得到了很大發(fā)展。這一發(fā)展以新的、有力的研究方法豐富了數(shù)學(xué)的內(nèi)容，使變革幾何學(xué)的原理成為可能，同時(shí)為相對(duì)論，量子力學(xué)準(zhǔn)備了富有成效的多維幾何學(xué)的解釋。 推動(dòng)這一發(fā)展的首要因素就是拉格朗日把力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)看成是多維空間的點(diǎn)這一天才的設(shè)想和促使數(shù)學(xué)家繼續(xù)建立形式化理論的觀念，然而，此時(shí)不能把物理思想的概念和形式化的理論體系的概念單純地加以對(duì)應(yīng)。從歷史上來說，這種單純地與形式化的理論體系的概念相對(duì)應(yīng)既是十八世紀(jì)后半期和十九世紀(jì)前半期形式化理論

4、體系物理學(xué)從力學(xué)和力學(xué)概念的發(fā)展中獲得解放的重要前題，有時(shí)也是重要的方面，而力學(xué)概念的發(fā)展也刺激了這種解放。 拉格朗日研究了由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)。這些質(zhì)點(diǎn)的位置用個(gè)因子來描述，每因子又由三個(gè)數(shù)組成，則位置即被3n個(gè)坐標(biāo) x1y1z1，x2y2z2，xnynzn 來描述。如果通過具有相應(yīng)下標(biāo)的q1，q2，qn 表示上述每個(gè)坐標(biāo)，那么系統(tǒng)的位形就可以用具有3n個(gè)坐標(biāo)q的點(diǎn)來代表，或者說用具有3n個(gè)分量的矢量q來代表。這樣，系統(tǒng)從一個(gè)位置到另一個(gè)位置的變化就可以表示為q點(diǎn)的位移，或表示為具有分量dq1，dq2，dqn的3n維矢量dq。假若系統(tǒng)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，它的位置的變化可以用3n維的軌跡來代表，

5、而3n維軌跡則是q點(diǎn)位移的結(jié)果。 在拉格朗日的力學(xué)中，廣義坐標(biāo)不僅可以是質(zhì)點(diǎn)系的笛卡爾坐標(biāo)。而且也可以是描繪該系統(tǒng)位形的任何一種參數(shù)。對(duì)一個(gè)受到引力或彈性力作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)來說，每一時(shí)刻作用在系統(tǒng)中各點(diǎn)上的力（因而也就是加速度）由廣義坐標(biāo)所決定。物體的速度不影響加速度，并且當(dāng)已知系統(tǒng)位形時(shí)，速度有可能取不同的值。如果速度可以取不同的數(shù)值，那么，既使已知加速度（即力），下一時(shí)刻系統(tǒng)的位形也是不確定的。所以為確定系統(tǒng)在未來每一時(shí)刻的行為不僅必須給出已知時(shí)刻的坐標(biāo)，而且還要給出速度。有這兩種量就可以詳盡無遺地描述出系統(tǒng)的狀態(tài)。 狀態(tài)的概念是同古典物理學(xué)的基本前提緊密相關(guān)的，這一點(diǎn)要引起注意。當(dāng)我們從原

6、始的、直接給出的、不可分割的混亂的圖景中區(qū)分出個(gè)別的物體和運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，我們是把在空間中改變自己位置的物體的一系列自身同一的狀態(tài)認(rèn)為是某種過程，這是力學(xué)最原始的表象。力學(xué)之原始形象則是坐標(biāo)隨時(shí)間改變的自身同一的物體。坐標(biāo)的變化并不能為懷疑運(yùn)動(dòng)客體與自身同一提供任何根據(jù)。我們完全完全可以“識(shí)別出”在每一個(gè)相繼時(shí)刻的物體。這一力學(xué)的基本前提（運(yùn)動(dòng)客體的自身同一性）是以坐標(biāo)的連續(xù)變化加以保證的。倘若原則上能夠把物體在一個(gè)位置和另一位置的間隔上的每一個(gè)點(diǎn)都記錄下來，那么就可以斷言出現(xiàn)在我們面前的是同一個(gè)物體。物理客體這種個(gè)體性（在上述情況下運(yùn)動(dòng)客體的個(gè)體性）是由每一個(gè)接繼的狀態(tài)同已知狀態(tài)的單值的依存關(guān)系

7、所保證的，也就是說可以由以下這種可能性所保證；即知道物體在某一時(shí)刻的狀態(tài)就可以預(yù)見每一個(gè)相繼時(shí)刻的狀態(tài)（同樣是原則上的）。這樣，所謂狀態(tài)這一概念標(biāo)志若干物理量的綜合，而這種綜合以單值的形式同每一個(gè)相繼時(shí)刻的，每一個(gè)相似的綜合聯(lián)系在一起。根據(jù)這種狀態(tài)的連續(xù)性和單值的依存關(guān)系就可推出運(yùn)動(dòng)的微分方程。當(dāng)已知初始條件時(shí)借助此方程就能絕對(duì)準(zhǔn)確地預(yù)言物體以后的全部運(yùn)動(dòng)。在把這種關(guān)系運(yùn)用于物體系統(tǒng)時(shí)，拉格朗日就把力學(xué)系統(tǒng)的個(gè)體性和自身同一性這些具有質(zhì)的特征的概念，翻譯成分析的語(yǔ)言，而這些概念則是由它們和狀態(tài)之單值的連繼的依存關(guān)系所保證。引入廣義坐標(biāo)和廣義速度（公式）后運(yùn)動(dòng)微分方程表現(xiàn)出古典機(jī)械論的決定論的觀

8、念。 現(xiàn)在我們討論一下為描述或者說為預(yù)見系統(tǒng)后繼狀態(tài)所必須的廣義坐標(biāo)（和廣義速度）的數(shù)目問題。假若系統(tǒng)由一個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，此時(shí)廣義坐標(biāo)和普通坐標(biāo)一致，即廣義坐標(biāo)數(shù) f 等于3。若系統(tǒng)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，那么需要6個(gè)廣義坐標(biāo)，f=6，即第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)要三個(gè)普通坐標(biāo)，第二質(zhì)點(diǎn)也是三個(gè)。若這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)彼此是以不變的距離相聯(lián)系（即有一個(gè)約束條件）這時(shí)有5個(gè)廣義坐標(biāo)就足夠了。數(shù)f 總等于系統(tǒng)自由度數(shù)。每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在三維空間要三個(gè)數(shù)，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)是3n 減去K個(gè)約束條件 f=3nK。給出與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的廣義速度，不僅可以確定位置，也可以確定系統(tǒng)狀態(tài)。 借助于廣義坐標(biāo)對(duì)任何計(jì)算系統(tǒng)都能夠求得運(yùn)動(dòng)方程。拉格朗日在引入了函

9、數(shù) （等于封閉系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之差）之后，得到了運(yùn)動(dòng)方程。后來赫姆霍茨稱這個(gè)函數(shù)為動(dòng)勢(shì)。用動(dòng)勢(shì)（拉格朗日函數(shù)）把運(yùn)動(dòng)方程改寫為下形式：所論系統(tǒng)有多少個(gè)自由度（f=3nK），就有多少個(gè)拉格朗日方程。 在引入廣義坐標(biāo)qi 和廣義速度 之后，下一步就是引入廣義動(dòng)量 pi，它是拉格朗日函數(shù)對(duì)廣義速度 的一階導(dǎo)數(shù)。 ， ，等等，pi被叫作廣義動(dòng)量是因?yàn)樵诘芽栕鴺?biāo)系中（q1=x，q2=y，q3=z）它與動(dòng)量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影一致。然而它被稱之為廣義動(dòng)量這是因?yàn)槔缭跇O坐標(biāo)中q1=，q2=，。p1具有動(dòng)量的量綱，而p2具有動(dòng)量矩的量綱。 借助于廣義動(dòng)量可以得到替代f個(gè)拉格朗日方程（二階）的2f個(gè)一階方程。如果用哈密頓函數(shù)H=T+U代替拉格朗日函數(shù)，這些方程就可以采取極為簡(jiǎn)單的對(duì)稱形式。 決定論的思想在哈密頓的分析力學(xué)中有著更為突出的體現(xiàn)。分析力學(xué)注重用完全的數(shù)學(xué)方程來描述物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。為了尋求力學(xué)體系的的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，哈密頓提出可以從具有相同、并為約束所許可的許多條可能的運(yùn)動(dòng)軌道即S(S為體系的自由度數(shù))維空間曲線中，挑出一條真實(shí)軌道，為此可以采用變分法的方法來挑選這一真實(shí)軌道。 既然可以從許多約束所許可的軌道中，選出真實(shí)軌道，當(dāng)然也就確定了力學(xué)體系沿著這條真實(shí)軌道運(yùn)動(dòng)式的運(yùn)動(dòng)規(guī)律了。拉格朗日方程和哈密頓方程在物理學(xué)中特別是在電動(dòng)力學(xué)