9剛體力學(xué)1(2008) ppt

1、第五章第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 有大小、有形狀，在外力作用下不有大小、有形狀，在外力作用下不變形的物體。變形的物體。理想模型理想模型歸為質(zhì)點(diǎn)力學(xué)歸為質(zhì)點(diǎn)力學(xué)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定軸定軸非定軸非定軸剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)定軸定軸非定軸非定軸. .o ocv平動(dòng)平動(dòng)+ +轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體剛體一一. .剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)視為特殊的質(zhì)點(diǎn)組。視為特殊的質(zhì)點(diǎn)組。遵從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律；遵從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律；特殊的規(guī)律。特殊的規(guī)律。遵從質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)規(guī)律；遵從質(zhì)點(diǎn)組力學(xué)規(guī)律； 過(guò)剛體上某點(diǎn)過(guò)剛體上某點(diǎn)p p垂垂直于轉(zhuǎn)軸的平面。直于轉(zhuǎn)軸的平面。轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸的交點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)平面與軸

2、的交點(diǎn) o o圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述剛體的運(yùn)動(dòng)。 p p在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)繞o o作圓周運(yùn)動(dòng)，作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體力學(xué)的研究方法：剛體力學(xué)的研究方法：每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)點(diǎn)組特殊質(zhì)點(diǎn)組特殊質(zhì)點(diǎn)組轉(zhuǎn)動(dòng)中心：轉(zhuǎn)動(dòng)中心：轉(zhuǎn)動(dòng)平面：轉(zhuǎn)動(dòng)平面：轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面po.o轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面 1.1.角位置角位置 ： 矢徑與參考方向的夾角；矢徑與參考方向的夾角；2.2.角速度：角速度：大小：大?。篸td 右手螺旋法則確定。右手螺旋法則確定。僅有兩個(gè)方向僅有兩個(gè)方向（沿軸或反于軸）（沿軸或反于軸）任一點(diǎn)的線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系：任一點(diǎn)的線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系：vorrv 參考方向

3、參考方向方向：方向：定軸：定軸：rv pr3.3.角加速度：角加速度：22dtddtd 角速度變化的方向。角速度變化的方向。僅有兩個(gè)方向僅有兩個(gè)方向（沿軸或反于軸）（沿軸或反于軸）方向：方向：定軸：定軸：+0+00+0+00 00 00 00 000如如: :0rat 2nra dt) rd(dtvda dtrdrdtd vr ntaa vor4.4.勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式t0 200t21t )(20202 （可自己推導(dǎo)）（可自己推導(dǎo)） 二二. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1.1.對(duì)定軸的力矩：對(duì)定軸的力矩：對(duì)對(duì)z z軸的力矩軸的力矩: :F FrMz大小：大?。?sinFrM

4、 dF 右手螺旋法則定右手螺旋法則定 FFF/使剛體繞使剛體繞Z Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有只有 FZ F/FZM 可以證明：可以證明：以下把以下把 記作記作zMM（定軸也僅有兩個(gè)方向）（定軸也僅有兩個(gè)方向）方向：方向：d pF.ro 是是 沿沿z z 軸的投影軸的投影zMoM o .r oM zoirim 即：合力對(duì)即：合力對(duì)z z軸的力矩，等于各分力對(duì)軸的力矩，等于各分力對(duì)z z軸力軸力矩之和。矩之和。若剛體受多個(gè)力的作用，若剛體受多個(gè)力的作用， 可以證明：可以證明：iMM 合合iiisinrF 2. 2.轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：iiiiamfF 受合外力為受合外力為 ，iF合內(nèi)力為合內(nèi)力為ifiii

5、isinfsinF 切向：切向：第第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn) ： , ,、imirifiFi i i iitiam iirm （1）（2）對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn) 應(yīng)用牛頓第二定律：應(yīng)用牛頓第二定律：im （設(shè)均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)）（設(shè)均在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)）式：式：(2)ri 2iiiiiiiirmsinrfsinrF )rm(sinrfsinrFi2iiiiiiiiii 對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)取和對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)取和: :(2)rmamsinfsinFiiitiiiii dtdJJM 合合外外定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量oirjrjifijfjm im i2iirmJ令令=0剛體所受的合外力矩剛體所受的合外力矩. .表述：表述

6、： 剛體所受的合外力矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體所受的合外力矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度之積。角加速度之積。注意：注意： 所受力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都是所受力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都是對(duì)同一軸的對(duì)同一軸的. .3.3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：2iirmJ 若質(zhì)量連續(xù)分布：若質(zhì)量連續(xù)分布： dmrJ2(1) (1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度; ;(2) (2) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體的總質(zhì)量及其對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于剛體的總質(zhì)量及其對(duì)軸的質(zhì)量分布質(zhì)量分布; ;同一剛體對(duì)不同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般不相同同一剛體對(duì)不同的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般不相同. . 說(shuō)明：說(shuō)明：(kgm(kgm2 2) ) 例一：輕質(zhì)桿，長(zhǎng)例一

7、：輕質(zhì)桿，長(zhǎng) ，兩物塊質(zhì)量分別為，兩物塊質(zhì)量分別為mm、2m2m , , 軸過(guò)軸過(guò)o o點(diǎn)且垂直于桿。點(diǎn)且垂直于桿。l2221ml43)2l(m2)2l(mJ 2222ml)3l2(m2)3l(mJ 求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 、1J2J解：解：若：若：1.1.若：若：2.2.3lmm23l 2o.mm2o2l2l. 例二：細(xì)例二：細(xì)圓環(huán)，圓環(huán)，半徑為半徑為R R，質(zhì)量為質(zhì)量為mm，軸過(guò)軸過(guò)環(huán)心且垂直環(huán)面。環(huán)心且垂直環(huán)面。oR dmRJ22mR oR 例三：均勻例三：均勻圓盤(pán)圓盤(pán)，半徑為，半徑為R R，質(zhì)，質(zhì)量為量為mm，軸過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面。，軸過(guò)盤(pán)心且垂直盤(pán)面。r一環(huán)：一環(huán)：drr2rdJ2

8、)Rm(2 求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：解：解：解：整個(gè)盤(pán)：整個(gè)盤(pán)： R03drr2J R214 2mR21 求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 l020dxxJ)lm( 3l31 2ml31 例四：均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為例四：均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm。l(1)(1)軸過(guò)桿的一端軸過(guò)桿的一端o o且與桿垂直且與桿垂直; ;oxxdx 2l2l2cdxxJ求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 、oJcJ2l2l33x )8l8l(31lm33 2ml121 (2)(2)軸過(guò)桿的中心軸過(guò)桿的中心c c且與桿垂直；且與桿垂直；cxxdx解：解：平行軸定理：平行軸定理：2cmdJJ J剛體對(duì)與過(guò)質(zhì)心軸平行的另一軸的剛體

9、對(duì)與過(guò)質(zhì)心軸平行的另一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jc剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m剛體質(zhì)量；剛體質(zhì)量；d兩平行軸之間的距離。兩平行軸之間的距離。2cml121J 2oml31J oc mld 可以證明可以證明組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：22)2Lm(ML121J 222211Rm21Rm21J 組合體對(duì)某定軸的組合體對(duì)某定軸的J J，等于各剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)，等于各剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 常見(jiàn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如下表常見(jiàn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如下表MMmm2L2L1. 1. 勻質(zhì)桿與質(zhì)點(diǎn)球，勻質(zhì)桿與質(zhì)點(diǎn)球，11,mR22,mR2 . 2 . 勻質(zhì)盤(pán)勻質(zhì)盤(pán)+ +

10、勻質(zhì)盤(pán)（如滑輪組）勻質(zhì)盤(pán)（如滑輪組）1.2.R2MRJ 2J2MRR22MRJ Rr)(222rRMJR RL22MRJ RL124J22MRMR2R52J2MR球體球體2R32J2MR薄球殼薄球殼4.4.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例：轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用舉例： 例一例一: :定滑輪定滑輪, ,質(zhì)量質(zhì)量mm, ,半徑為半徑為R R（軸光滑），（軸光滑），輪緣繞細(xì)繩、以力輪緣繞細(xì)繩、以力 向下拉。向下拉。FmRF求：輪的角加速度。求：輪的角加速度。以輪為研究對(duì)象以輪為研究對(duì)象mR21RF2 例二：上題中以例二：上題中以 的物體代替的物體代替力，力，gMF 仍求輪的角加速度。仍求輪的角加速度。解：解：mR21TR

11、2 對(duì)輪：對(duì)輪：mR2F 對(duì)物塊：對(duì)物塊：MaTMg R)(a 求出：求出：2M)R(m2Mg mRg gM MT TT T 解：解：2Ta2GB2m試求試求: :物體的加速度和繩的張力。物體的加速度和繩的張力。1T1GA1ma受力分析如圖（隔離體）受力分析如圖（隔離體）：如圖裝置、繩兩端分別懸掛質(zhì)量為：如圖裝置、繩兩端分別懸掛質(zhì)量為mm1 1、mm2 2的物體的物體A A、B B( (mm1 1 mm2 2), ),滑輪質(zhì)量為滑輪質(zhì)量為mm，半徑為，半徑為R R，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受摩擦阻力矩為在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中受摩擦阻力矩為MMr r ，并設(shè)繩與滑，并設(shè)繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，.oR

12、rM 1T2T mAB1m2mRmo(3)JMRTRTr12 )4( Ra 可解出：可解出：2/mmmRMg)mm(a21r12 ;)(11agmT )mR21(J2 )(22agmT (1)amGT111 對(duì)對(duì)A:A:(2)amTG222 對(duì)對(duì)B:B:對(duì)滑輪：對(duì)滑輪：1T1GA1ma2Ta2GB2m.oRrM 1T2T m繩質(zhì)量忽略繩質(zhì)量忽略;11TT 22TT 求：軸瓦對(duì)輪壓力求：軸瓦對(duì)輪壓力N N=?=?解：解：)(rad/s20.9t20 rad/s,7 .104min/r10000 0, 0,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律： JNRfRM RJN RmR2 mR m R 例四：例四：已知

13、飛輪已知飛輪 R R =0.25m,=0.25m,mm=60kg,=60kg, 0 0=1000r/min=1000r/min, ,要求要求t t=5.0s=5.0s內(nèi)均勻減速而停止內(nèi)均勻減速而停止. .（軸瓦與輪的滑動(dòng)摩擦系數(shù)（軸瓦與輪的滑動(dòng)摩擦系數(shù) ) )8 . 0k N)(392N 由運(yùn)動(dòng)學(xué)：由運(yùn)動(dòng)學(xué)：分析分析fNF利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的解題方法：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的解題方法：質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：牛頓定律牛頓定律; ;剛體：剛體：轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律; ;+ +角量、線(xiàn)量關(guān)系。角量、線(xiàn)量關(guān)系。選取研究對(duì)象選取研究對(duì)象1 1隔離體示力隔離體示力2 2列方程列方程3 3zo設(shè)外力垂直于設(shè)外力垂直于Z Z軸軸iiirdFdA ,2 iisincos dsinrFdAiiii ii0dMA ii0dMAA cosdrFii dMi i0dM 0dM合合1.1.力矩的功：力矩的功：三三. .定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理: :piriFi dird合力矩的功：合力矩的功：（力矩的空間累計(jì)）（力矩的空間累計(jì)）2.2.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：第第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：2iikivm21E 整個(gè)剛體：整個(gè)剛體：22iikikrm2