第八章、Z變換和離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域1-6

1、1第八章、第八章、Z變換和離散時(shí)間系統(tǒng)的變換和離散時(shí)間系統(tǒng)的Z域分析域分析8.1引言引言8.2 Z變換的定義、典型序列的變換的定義、典型序列的Z變換變換8.3 Z變換的收斂域變換的收斂域8.4 逆逆Z變換變換8.5 Z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì)8.6 Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系變換與拉普拉斯變換的關(guān)系8.7 利用利用Z變換解差分方程變換解差分方程8.9 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性8.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)28.1 引言引言 z變換在離散系統(tǒng)中的地位與作用，類似于變換在離散系統(tǒng)中的地位與作用，類似于連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯變換。連續(xù)系統(tǒng)的拉普拉斯變換。0(

2、 )( )( )() ()sTnx tx ttx nTtnT對(duì)上式兩邊取拉氏變換對(duì)上式兩邊取拉氏變換 若連續(xù)因果信號(hào)若連續(xù)因果信號(hào) x(t)經(jīng)均勻沖激取樣，則取經(jīng)均勻沖激取樣，則取樣信號(hào)樣信號(hào)xs(t)的表示式為的表示式為由取樣信號(hào)的拉氏變換引出由取樣信號(hào)的拉氏變換引出3000( )( )() ()ststssnXsx t edtx nTtnTedt 將積分與求和次序?qū)φ{(diào)，利用沖激函數(shù)的取將積分與求和次序?qū)φ{(diào)，利用沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)，得樣性質(zhì)，得此時(shí)此時(shí),引入一個(gè)新的引入一個(gè)新的復(fù)變量復(fù)變量z，即，即sTze000( )()()()stsnTsnnX sx nTtnT edtx nT e-x(

3、n)的單邊的單邊z 變換變換0)(nnznx0( )( )( )() ()sTnx tx ttx nTtnT)()(nxZTzX48.2 Z變換定義、典型序列的變換定義、典型序列的Z變換變換212)2() 1 ()0() 1()2(zxzxxzxzxx(n)的單邊的單邊 z 變換變換:x(n)的雙邊的雙邊 z 變換變換:一、一、z z 變換的定義變換的定義nnznxnxZTzX)()()(210)2() 1 ()0()()()(zxzxxznxnxZTzXnn5二、常見序列的單邊二、常見序列的單邊Z變換變換1)()(00n-n-nnnnTz zz zZ1、單位樣值序列單位樣值序列2. 單位階躍

4、序列單位階躍序列11)(11111)() 1(, 11211)()(00zzznuzzzznuzzqzznznznunuZTnn即即 ，得得根根據(jù)據(jù)等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)求求和和公公式式時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂。即即當(dāng)當(dāng)上上式式的的公公比比，ZT61001 ( )( )(1)11nnnnzZT u nu n zzzzz2021) 1()1 (1)()(zzzznnunnuZTnn將上式兩邊分別對(duì)將上式兩邊分別對(duì)z-1求導(dǎo)后，兩邊各乘求導(dǎo)后，兩邊各乘z-1得得即單位斜變序列即單位斜變序列nu(n)的的Z 變換。變換。7 3. 指數(shù)序列指數(shù)序列 由前面討論由前面討論其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)?z a 。當(dāng)當(dāng) 時(shí)

5、時(shí)其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)?z 。 bbnnuTe)(ez zz zZbaebTe由此可以看出由此可以看出Z變換的基本形式：變換的基本形式：mzzzaaazzanuaT-nnnnnnz zz zz z100111)()(Z)(nuan81cos2)cos(2/ )(2/ )()(cos)()(020000000000zzzzezzezzeeZTnnuZTezznueZTezznueZTjjnjnjjnjjnj4、單邊余弦序列的、單邊余弦序列的 Z 變換變換:bbnnuZTe)(ez zz z95、正弦序列的單邊、正弦序列的單邊 Z 變換變換:1cos2sin2/ )(2/ )()(sin)()(0

6、20000000000zzzjezzezzjeeZTnnuZTezznueZTezznueZTjjnjnjjnjjnjbbnnuZTe)(ez zz z100000)()(jnjnjnjnezznueZTezznueZT例：例：)(cos2)cos(2/)(2/)()(cos202000000zzzzzezzezzeeZTnunZTjjnjnjnn118.3 Z變換的收斂域變換的收斂域20)2() 1 ()0()()(zxzxxznxzXnn 收斂域：當(dāng)收斂域：當(dāng) 為有界時(shí)，令上述級(jí)數(shù)收斂為有界時(shí)，令上述級(jí)數(shù)收斂的的 z 的所有可取的值的集合稱為收斂域的所有可取的值的集合稱為收斂域(ROC)。

7、只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，只有當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，z變換才有意義。在收斂域變換才有意義。在收斂域內(nèi)，內(nèi)，z變換及它的各階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)。變換及它的各階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)。)(nx確定收斂域的常用方法：確定收斂域的常用方法：1.根據(jù)級(jí)數(shù)理論根據(jù)級(jí)數(shù)理論; 2.借助于借助于S平面與平面與Z平面的映射。平面的映射。12例：兩序列分別為例：兩序列分別為x1(n)=anu(n), x2(n)= -anu(-n-1)，分別求它們的分別求它們的 z 變換。變換。如果如果|z|a, 則上面的級(jí)數(shù)收斂，這樣得到則上面的級(jí)數(shù)收斂，這樣得到1101( )1nnnzX za zz aazza1101()nnnnna za z 1111

8、zzaa z za解：解：011)()(nnnzanxZTzX122)()()(nnnzanxZTzX13 根據(jù)級(jí)數(shù)的理論，級(jí)數(shù)收斂的充要條件根據(jù)級(jí)數(shù)的理論，級(jí)數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對(duì)可和條件，即要求是滿足絕對(duì)可和條件，即要求 可以用兩種方法求級(jí)數(shù)的收斂域可以用兩種方法求級(jí)數(shù)的收斂域比比值判定法和根值判定法。值判定法和根值判定法。nnznx|)(|141）比值判定法）比值判定法nnnaa1lim。不能肯定不能肯定級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, 1, 1, 1 所謂所謂比值判定法比值判定法就是說若有一個(gè)正項(xiàng)級(jí)就是說若有一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù) ，令它的后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值等于，令它的后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值等于

9、 ，即即nna 15nnnalim2) 根值判定法根值判定法 所謂所謂根值判定法根值判定法，是令正項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)，是令正項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)的的n次根等于次根等于 。不能肯定不能肯定級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, 1, 1, 116例：例：)()(nuanxn010)()(nnnnnazzazX11limazaannnzazaza11limazaznnn171、 有限長(zhǎng)序列（有始有終序列）有限長(zhǎng)序列（有始有終序列） 這類序列只在有限的區(qū)間具有非零的有限值這類序列只在有限的區(qū)間具有非零的有限值 ，此時(shí)，此時(shí)z 變換為變換為:12()nnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)闀r(shí)，收斂域?yàn)?。120,0nn0z幾類序列的收

10、斂域幾類序列的收斂域2121)()(nnnznxzXnnnn182121)()(nnnznxzXnnnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)闀r(shí)，收斂域?yàn)?。120,0nn0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?。120,0nnz 19 2、 右邊序列：只在右邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列有限值的序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(1)(lim1)(limxnnnnnRnxzznx 其中其中 為收斂半徑。可見，右邊序列的收斂為收斂半徑?？梢姡疫呅蛄械氖諗坑蚴前霃接蚴前霃?的圓外部分。的圓外部分。 1xR1xR1xRz 20(1) n10 n2=1xRz 1xzRnnzn

11、xzXnnn11)()(1xRz 因果序列是一種特殊的右邊序列，收斂域?yàn)橐蚬蛄惺且环N特殊的右邊序列，收斂域?yàn)?1xzR21 3、 左邊序列：只在左邊序列：只在 區(qū)間內(nèi)，有非零的區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列有限值的序列 。2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX1)(lim1)(limznxznxnnnnn左邊序列的收斂域是半徑為左邊序列的收斂域是半徑為Rx2的圓內(nèi)部分。的圓內(nèi)部分。 22)(lim1xxnnRzRnxz：即即22(1) n1=- n2020 xzR(2) n1=- n2a, b0, a0）。）。解：解：由上例的結(jié)果可

12、直接得到由上例的結(jié)果可直接得到：因?yàn)橐驗(yàn)閎a, 這樣得到這樣得到122 ()2( )( )( )()()a bz zzzX zX zXzzaz bza z bazb)()() 1()()(21nxnxnubnuanxnnnnazazzznxzX)|(|)()(11nnbzbzzznxzX)|(|)()(22292 ()2( )()()a bz zX zz a z bazbRe(z)jIm(z)ab308.4 Z變換的逆變換變換的逆變換（1）留數(shù)法）留數(shù)法（2）冪級(jí)數(shù)展開法）冪級(jí)數(shù)展開法（3）部分分式法）部分分式法31（2）冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）冪級(jí)數(shù)展開法（長(zhǎng)除法）若若x(n)為右邊序列，則為

13、右邊序列，則X(z)按按z的降冪排列的降冪排列:若若x(n)為左邊序列，則為左邊序列，則X(z) 按按z升冪排列升冪排列: 如果如果z變換變換X(z)能表示成冪級(jí)數(shù)的形式，能表示成冪級(jí)數(shù)的形式， 則可以則可以直接看出序列直接看出序列x(n)是是 的系數(shù)。的系數(shù)。knznxzX)()(0)()(nnznxzX1|)2() 1 ()0()(21xRzzxzxxzX2|)3()2() 1()(32xRzzxzxzxzX32 若若x(n)為雙邊序列，則要根據(jù)為雙邊序列，則要根據(jù)X(z)的收斂域的收斂域?qū)(z)分成兩部分和的形式，一部分是右邊序分成兩部分和的形式，一部分是右邊序列的列的Z變換，一部分

14、是左邊序列的變換，一部分是左邊序列的Z變換。變換。 這種方法這種方法只能得到數(shù)值解，很難找到閉式表只能得到數(shù)值解，很難找到閉式表示示。33解：解：1） |z|1 x(n) 為右邊序列，這時(shí)為右邊序列，這時(shí)X(z)的的分子與分母按分子與分母按z的降冪（或的降冪（或 z-1的升冪）次的升冪）次序排列。序排列。例例 ：已知已知1,z 分別求上述兩種情況下的逆變換分別求上述兩種情況下的逆變換x(n)。2）收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?,z 1）收斂域?yàn)椋┦諗坑驗(yàn)?112121)(zzzzX34 12-3014710(31)nnX zzzznz 121121212323234341 21 21 2448474714

15、7107zzzzzzzzzzzzzzzzz12314710zzz2112121)(zzzzX)() 13()(nunnx352）|z|1 x(n) 為左邊序列，這時(shí)為左邊序列，這時(shí)X(z)的分子與的分子與分母按分母按z的升冪（或的升冪（或 z-1的降冪）次序排列。的降冪）次序排列。211122232321 212425 25 105858168118zzzzzzzzzzzzzzz 23425811zzzz 234125811(31)nnX zzzzznz2112121)(zzzzX22212)(zzzzzX1212121zzz36 234125811(31)nnX zzzzznz令令 n =

16、- n1( )(31)nnX znz) 1() 13()(nunnx)() 13()(nunnx對(duì)比右邊序列：對(duì)比右邊序列：37（3） 部分分式展開法部分分式展開法 通常序列的通常序列的z變換是變換是z的有理函數(shù)，所以我的有理函數(shù)，所以我們將們將X(z)表示成有理分式的形式，表示成有理分式的形式， 由于由于z變換的基本形式是變換的基本形式是 1、 、 可由書上表可由書上表8-2、8-3和表和表8-4直接得到它們的直接得到它們的 z 逆逆變換。變換。 zza2()()mzzzaza、通常先將通常先將 展開，然后每個(gè)分式再乘以展開，然后每個(gè)分式再乘以z。 X zzkkkkrrrrzazazaazb

17、zbzbbzX11101110)(381）X(z)X(z)/z(真分式）；真分式）；2） X(z)/z進(jìn)行部分分式展開；進(jìn)行部分分式展開；3） 求部分分式中的系數(shù)；求部分分式中的系數(shù)；4）部分分式型）部分分式型 X(z)/z X(z)；5）利用基本形式進(jìn)行逆變換，求得）利用基本形式進(jìn)行逆變換，求得x(n)。部分分式求逆部分分式求逆Z變換步驟：變換步驟：39 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以是因果序列，由表，所以是因果序列，由表82得得到：到： 1z 122(1)(0.5)10.5X zzzzzz22( )10.5zzX zzz)()5 . 01 (2)(nunxn 10.5zX zzz解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)槔?/p>

18、例： 求求 的逆變換的逆變換x(n)（收斂域（收斂域?yàn)闉?） 21.50.5zX zzz1z 402( )2(12)123zzzX zzzzz解：解： 122121(1)(2)(3)123X zzz zzzzzzz 例：例： 求求 的逆變換的逆變換x(n)（收斂域（收斂域?yàn)闉?） 12( )(1)(2)(3)X zzzz2|1 z第一項(xiàng)的逆變換為第一項(xiàng)的逆變換為 ；第二項(xiàng)的斂域?yàn)榈诙?xiàng)的斂域?yàn)?對(duì)應(yīng)的是右邊序列；對(duì)應(yīng)的是右邊序列；第三項(xiàng)收斂域?yàn)榈谌?xiàng)收斂域?yàn)?對(duì)應(yīng)的是左邊序列；對(duì)應(yīng)的是左邊序列；1,z 2,z )(2 n412( )2(12)123zzzX zzzzz) 1(3) 1(22)(

19、) 1()(2)(nunununnxnnn) 1()32()() 1()(21nununnnn解：解：第四項(xiàng)的極點(diǎn)是第四項(xiàng)的極點(diǎn)是3，它不在收斂域的邊界，但，它不在收斂域的邊界，但它不滿足它不滿足 的收斂域，屬于的收斂域，屬于 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的是左邊序列。是左邊序列。1z 2,z 42zBzBzBzzzzX32212) 1(1) 1(1)(11111222zzzzB1111)!12(11221zzzzdzdB111023zzzzB1) 1(1)(2zzzzzX)()()()(nnnunukx nnun1。求)(, 1,)1(1)(2nxzzzX例：例：解：解：43例例：解：解：33/5 . 032

20、)(zzzzzX)() 3(31)() 5 . 0()(32)(nununnxnn。求)(,3722)(2nxzzzzX35 . 0) 35 . 0) 23) 1zzz3) 1z5.0)2z) 1()3(31) 1()5 . 0()(32)(nununnxnn35 . 0)3 z) 1() 3(31)() 5 . 0()(32)(nununnxnn44kkkkrrrrzazazaazbzbzbbzX11101110)(000abArkkmmmzzzAAzX10)(kmmmzzAzzX1)(只有一只有一階極點(diǎn)階極點(diǎn)45mmzzmzzmzzXzzzzXsA)()()(Re)()()(01nAnuz

21、Anxnmkmm)(Rz )(Rz )() 1()(01nAnuzAnxnmkmm46含有含有M個(gè)一階個(gè)一階一個(gè)一個(gè)S階極點(diǎn)階極點(diǎn)ziSjjijMmmmzzzBzzzAAzX110)()(izzsijsjsjzzXzzdzdjsB)()()!(1SjjijjMmmmzzzCzzzAAzX110)()(部分分式為部分分式為另一種形式另一種形式izzjijzXzzzC)(478.5 Z變換的基本性質(zhì)變換的基本性質(zhì) 線性和位移性線性和位移性 序列線性加權(quán)（序列線性加權(quán)（ Z 域微分）域微分） 序列指數(shù)加權(quán)（序列指數(shù)加權(quán)（ Z 域尺度變換）域尺度變換） 初值定理和終值定理初值定理和終值定理 時(shí)域卷積和

22、時(shí)域卷積和 Z 域卷積定理域卷積定理48一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)表現(xiàn)為疊加性和齊次性表現(xiàn)為疊加性和齊次性已知已知:21xxRzR21yyRzR)()(zXnxZT)()(zYnyZT 其中其中, a、b為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。則：則：),min(),max(2211yxyxRRzRR)()()()(zbYzaXnbynaxZT49例：求序列例：求序列 anu(n)-anu(n-1) 的的z變換。變換。1()nnnza zzaza)0(1zazaazz)1()()1()(nuaZTnuaZTnuanuaZTnnnn50二、位移性二、位移性（1）雙邊）雙邊z 變換變換序列不變，移序只影序列不變，移

23、序只影響時(shí)間軸上位置。響時(shí)間軸上位置。若若則則)()(zXnxZT)()(zXzmnxZTm)()(zXzmnxZTm)(nx)2( nx)2( nxnnn51（2）單邊）單邊z 變換變換 a) 若若x(n)是雙邊序列，其單邊是雙邊序列，其單邊z變換為變換為)()(zXnxZT左移性質(zhì)：左移性質(zhì)：1)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT右移性質(zhì)：右移性質(zhì)：10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT521202)()(kkzkxzXz122)()(kkzkxzXz)(zXzmm) )x x( (n n舉例舉例: : )()2(nunxn)()2(nunxn)(nxn53b

24、) 若若x(n)是因果序列，右移序列的單邊是因果序列，右移序列的單邊z變換為變換為 左移序列的單邊左移序列的單邊z變換仍為變換仍為 )1(11)() 1(1) 1()4(1)()4()()(334zzznxzzzzznuzznunununx。的z變換的z變換求序列求序列例:例:)()()(zXznumnxZTm10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT54)() 2() 2(2zXznunx)()(1202kkzkxzXzx(n)u(n) X(z)舉例舉例: )2()2(nunxn)()(nunxn)2()2(nunxn55)(,) 1(1)(:3nxX求例z zz zz z,)

25、1()(:4z zz zz zz zX解)() 1(1nuzzn) 4() 1()(4nunxn？)() 1()(4nunxn56) 1().)(),)(1nuabnuaaanuannn求求已已知知例例: :z zz z 變換變換z zaanuaanuannz zz z1)(1)(:1解解aaaanuaanuannz zz zz zz z1 1- -) 1() 1(157三、三、 z 域微分（序列線性加權(quán)）域微分（序列線性加權(quán)）式中符號(hào)式中符號(hào) 表示表示mdzdzdzdzdzdzdzdzdzdz共求導(dǎo)共求導(dǎo)m次。次。)()(z zXnx若z zz zz zddXnnx)()(則推廣推廣)()(

26、2z zz zz zz zddXdzdnxn)()()()(z zz zXdzdnxnmm58-nnnxXz zz z0)()(證明證明:兩邊對(duì)兩邊對(duì) z求微分，得求微分，得) 1(0)()()(n-nnxnddXz zz zz znn-nnxz zz z01)(z zz zz zddXnnx)()(即即)()()()(z zz zXdzdnxnmm同理有59例例: :已知已知2) 1)1()( (z zz zz zz zz zz zddnnu則,1)(z zz znu2)(,)(aanunaanuann( (z zz zz zz z則4222) 1() 1(2) 1() 1()(zzzzzz

27、zzddznxn3) 1() 1(zzz60四、序列指數(shù)加權(quán)（四、序列指數(shù)加權(quán)（z域尺度變換）域尺度變換）)(21xxRzR若若則則)(21xxRazR)(21xxRazR)(21xxRzR)()(zXnxZT)()(azXnxaZTn)()(azXnxaZTn)()() 1(zXnxZTn 此性質(zhì)表明：時(shí)域中乘以此性質(zhì)表明：時(shí)域中乘以 ， 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于z域域 變變 量量 (尺度尺度) 除以除以 。aka615 5、初值定理、初值定理)0()(lim) 1 ()(lim)0(xXxXxz zz zz zz zz z)()(lim)(10nkkxXnxk k- -n nz zz zz zz z0

28、)()(nnznxZXnznxzxzxx)()2() 1 ()0(21存在，則存在，則且且)(limzXz若若x(n)是因果序列，已知是因果序列，已知)()(zXnx62六、終值定理六、終值定理應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：X(z)的極點(diǎn)必須處于單位圓內(nèi)，的極點(diǎn)必須處于單位圓內(nèi)，或在或在z=1處（一階）。處（一階）。若若x(n)是因果序列，已知是因果序列，已知)()(zXnxZT則則)(1(lim)(lim)(1z zz zz zn n)X-nxf63對(duì)于對(duì)于 ，當(dāng)，當(dāng) 可用終值定理，可用終值定理，1a1a0)(x若若 , 不能用終值定理不能用終值定理, 不存在不存在)(x1a0) 1(lim)(1(lim)(11a)X-xz zz zz zz zz zz zz z解：若解：若 , 則則 的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi),可以可以用終值定理用終值定理(z)X X1a例例:已知已知)(,)(x-aX求( (z zz zz z若若 ,不能用終值定理不能用終值定理, 不存在。不存在。)(x1a64七、時(shí)域卷積定理七、時(shí)域卷積定理解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?bzzzH azzzX, )(az )(bz 已知兩序列已知兩序列x(n),