第三章_遠期與期貨定價

1、1第三章 遠期與期貨定價第一節(jié) 遠期價格與期貨價格2n交割價格（delivery price）:合約中規(guī)定的未來買賣標的物的價格稱為交割價格，用K表示。顯然，如果遠期（期貨）合約一旦簽訂，交割價格是恒定不變的，到期時合約按照交割價格進行交割。一、遠期價值、遠期價格與期貨價格(b) 遠期空頭的到期盈虧(a) 遠期多頭的到期盈虧標的資產(chǎn)價格標的資產(chǎn)價格KK盈虧盈虧圖3.1 遠期與期貨多頭（空頭）的盈虧狀況3n遠期價值（forward value）：遠期合約本身的價值遠期合約本身的價值（多頭或空頭購買或出售合約本身給他們帶來的價值）。 例1： 一個交割價格（K）為10元、交易數(shù)量為100單位、距離到

2、期日還有一年（T-t）的遠期合約，如果標的資產(chǎn)當(dāng)前的市場價格（S）為15元，市場無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利率（r）為10%，則對于多頭來說，該遠期合約的價值就為（15-10*e-10%*1）*100=595元。對于空頭來說，該遠期合約價值就為-595元。4n遠期價格（forward price）：指使一個遠期合約價值為零的交割價格交割價格。 例1： 一個交割價格（K）為10元、交易數(shù)量為100單位、距離到期日還有一年（T-t）的遠期合約，如果標的資產(chǎn)當(dāng)前的市場價格（S）為15元，市場無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利率（r）為10%，則對于多頭來說，該遠期合約的價值就為（15-10*e-10%*1）*100=595元。對于空

3、頭來說，該遠期合約價值就為-595元。 定義遠期價格為F，上述例子中的遠期價格就是使得（15-F*e-10%*1）*100=0的F，計算可得F=16.58元。5總結(jié)： 總之，與傳統(tǒng)理解的價值與價格的相互關(guān)系不同，遠期價值是遠期合約本身的價值，而遠期價格則是理論上使遠期價值等于零的那個未來的交割價格。6期貨的價值與期貨的價格n期貨價值（futures value）：由于期貨是保證金制度與每日盯市結(jié)算制度，所以，期貨合約的價值在每日收盤后都等于零。因此，對于期貨合約而言，一般較少談及“期貨合約的價值”。n期貨價格（futures prices）：與遠期價格類似，在期貨合約中，期貨價格為使得期貨合約

4、價值為零的理論交割價格。 7nCox, Ingersoll and Ross(1981)曾證明： （1）當(dāng)無風(fēng)險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應(yīng)相等。 （2）當(dāng)利率變化無法預(yù)測時，遠期價格和期貨價格就不相等。 The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12): 321-346.n總之，遠期價格與期貨價格的定價思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機制與交易費用的差異上。因此，在大多數(shù)情況下，可以合理的假定遠期價

5、格與期貨價格相等，并都用F來表示。二、遠期價格與期貨價格的關(guān)系8n1.3.1基本的假設(shè)（1）沒有交易費用與稅收；（2）市場參與者能以相同的無風(fēng)險利率借入和貸出資金；（3）遠期合約沒有違約風(fēng)險；（4）允許現(xiàn)貨賣空；（5）市場上不存在套利機會；（6）期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險利率。三、基本的假設(shè)與符號9n1.3.2 基本符號T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年；t：現(xiàn)在的時間，單位為年；S：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間t時的價格；ST：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間T時的價格；K：遠期合約中的交割價格；f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值；F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論

6、遠期價格和理論期貨價格；r：T時刻到期的以連續(xù)復(fù)利計算的t時刻的無風(fēng)險利率。10 無收益資產(chǎn)遠期合約：是指遠期合約的標的資產(chǎn)在從當(dāng)前時刻t到遠期合約到期時刻T之間不產(chǎn)生現(xiàn)金流收入，如貼現(xiàn)債券。一、無套利定價法與無收益資產(chǎn)的遠期價值 本章所用的方法為無套利定價法無套利定價法，基本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，否則就可以進行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險收益。第二節(jié) 無收益資產(chǎn)遠期合約的定價11n為了給無收益資產(chǎn)的遠期合約定價，構(gòu)建如下兩個投資組合：（1）組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke -r（Tt

7、）的現(xiàn)金；（2）組合B：一單位標的資產(chǎn)。遠期合約現(xiàn)金組合A標的資產(chǎn)組合B12 在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無風(fēng)險利率投資，投資期為（Tt）。到T時刻，其金額將達到K。這是因為：Ke-r（Tt）er（Tt） =K。 在遠期合約到期時，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標的資產(chǎn)。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。 即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 該公式表明，無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。13n由于遠期價格F就是使遠期合約價值f

8、為零的交割價格K，即當(dāng)f=0時，K=F。據(jù)此可令式（3.1）中的f=0，則： F= Se-r（Tt） （3.2） 這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理（spot-forward parity theorem），或稱現(xiàn)貨-期貨（spot-futures parity theorem）平價定理。式（3.2）表明，對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格以無風(fēng)險利率計算的終值。二、無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理14案例3.1 無收益資產(chǎn)遠期合約的價值 2007年8月31日，美元6個月期的無風(fēng)險年利率為4.17%，市場上正在交易一份標的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠期合約多頭，其

9、交割價格為970美元，該債券的現(xiàn)價為960美元。請問對于該遠期合約的多頭和空頭來說，遠期價值分別是多少？ 根據(jù)題意，有： S=960，K=970，r=4.17%，T-t=0.5 根據(jù)式（3.1），該遠期合約多頭的價值f為： f=SKe-r（Tt） =960-970* e-4.17%*0.510.02美元，該遠期合約空頭的價值為-f=-10.02美元。15案例3.2 無收益資產(chǎn)遠期合約的遠期價格 2007年8月31日，美元3個月期的無風(fēng)險年利率為3.99%，市場上正在交割一個期限為3個月的股票遠期合約，標的股票不支付紅利且當(dāng)時市價為40美元。那么根據(jù)式（3.2），這份遠期合約的合理交割價格為：

10、F=40*e3.99%*0.25=40.40美元。16n遠期價格的期限結(jié)構(gòu)描述的是同一標的資產(chǎn)不同期限遠期價格之間的關(guān)系。設(shè)F為在T時刻交割的遠期價格，F(xiàn)*為在T*時刻交割的遠期價格，r為T時刻到期的無風(fēng)險利率，r*為T*時刻到期的無風(fēng)險利率。對無收益資產(chǎn)而言，從式（3.2）可知： F=Ser(T-t) F*=Ser*(T*-t) 兩式相除消掉S后： F*=Fe r*(T*-t)-r(T-t) (3.3)三、遠期價格的期限結(jié)構(gòu)17案例3.3 無收益資產(chǎn)遠期合約的遠期價格期限結(jié)構(gòu) 2007年8月31日，美元3個月期與6個月期的無風(fēng)險年利率分別為3.99%與4.17%。某支不付紅利的股票3個月遠期

11、合約的價格為20美元，該股票6月份的遠期價格應(yīng)為多少？ 根據(jù)題意，有： F=20，r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5 則根據(jù)式（3.3），該股票6月期遠期價格應(yīng)為： F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)=20*e0.0417*0.5-0.0399*0.25=20.22美元。18 支付已知現(xiàn)金收益的標的資產(chǎn)：指在遠期合約到期前會產(chǎn)生完全可預(yù)測的現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如附息債券和支付已知現(xiàn)金紅利的股票等。 仍然采用無套利定價法給支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約定價?，F(xiàn)構(gòu)建如下兩個組合：（1）組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 Ke -r（Tt）的現(xiàn)金；（2）組合B：

12、一單位標的證券加上利率為無風(fēng)險利率、期限為從當(dāng)前時刻到現(xiàn)金收益派發(fā)日、本金為I的負債。以無風(fēng)險利率借I數(shù)額的資金（約翰赫爾） 一、支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價值第三節(jié) 支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約的定價19 組合A在T時刻的價值等于一單位標的證券； 在組合B中，由于標的證券的現(xiàn)金收益剛好可以用來償還負債的本息，因此在T時刻，該組合的價值也等于一單位標的證券。 因此，在t時刻，這兩個組合的價值應(yīng)相等，即 f+Ke-r(T-t)=S-I f=S-I-Ke-r(T-t) （3.4） 式（3.4）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于標的證券現(xiàn)貨價格扣除現(xiàn)金收益現(xiàn)值后的余額與交割價格現(xiàn)值之差

13、。 20案例3.4 支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)遠期合約的價值 2007年8月31日，美元6個月期與1年期的無風(fēng)險年利率分別為4.17%與4.11%。市場上一種10年期國債現(xiàn)貨價格為990美元，該證券一年期遠期合約的交割價格為1001美元，該債券在6個月和12個月后都將收到60美元的利息，且第二次付息日在遠期合約交割日之前，求該合約的價值。 根據(jù)已知條件，可以先算出該債券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值： I=60*e-4.71%*0.5 +60*e-4.11%*1 =116.35美元 根據(jù)式（3.4），可算出該遠期合約多頭的價值為： f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.35-1001*e-4.11%*

14、1=-87.04美元。 相應(yīng)地，該合約空頭的遠期價值為87.04美元。21 根據(jù)遠期價格的定義，可從式（3.4）中求得： F=（S-I）er(T-t) （3.5） 這就是支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價公式。式（3.5）表明，支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格等于標的證券現(xiàn)貨價格與已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值差額的終值。 二、支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的遠期價格22案例3.5 支付已知現(xiàn)金收益資產(chǎn)的期貨價格 假設(shè)黃金現(xiàn)價為每盎司733美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無風(fēng)險利率為4%。則一年期黃金期貨的理論價格為： F=（S-I）er(T-t) =（733-I）*e4%*1 其中，I=-

15、2*e-4%*1 =-1.92，故： F=（733+1.92）*e4%*1 =764.91美元/盎司23 支付已知收益率的標的資產(chǎn)：是指在遠期合約到期前將產(chǎn)生與該資產(chǎn)現(xiàn)貨價格成一定比率收益的資產(chǎn)。 為了給支付已知收益率資產(chǎn)的遠期定價，可以構(gòu)建如下兩個組合：（1）組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r(T-t)的現(xiàn)金；（2）組合B：e-q(T-t)單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產(chǎn)按連續(xù)復(fù)利計算的已知收益率。一、支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價值第四節(jié) 支付已知收益率資產(chǎn)遠期合約的定價24 組合A在T時刻的價值等于一單位標的證券。 組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券

16、，擁有的證券數(shù)量隨著紅利的不斷發(fā)放而增加，所以在時刻T，正好擁有一單位標的證券。 因此，在t時刻兩者的價值也應(yīng)該相等，即： f+Ke-r(T-t) =Se-q(T-t) f=Se-q(T-t) Ke-r(T-t) (3.6) 式（3.6）表明，支付已知紅利率資產(chǎn)的遠期合約多頭價值等于Se-q(T-t) 與交割價格現(xiàn)值之差。25 根據(jù)遠期價格的定義，可根據(jù)式（3.6）算出支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格： F=Se(r-q)(T-t) (3.7) 這就是支付已知紅利率資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價公式。式（3.7）表明，支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格等于按無風(fēng)險利率與已知收益率之差計算的現(xiàn)貨價格在T時刻的終值。二、支付已知收益率資產(chǎn)的遠期價格26案例3.