高考第一輪復習——直線、圓方程及其位置關系-29

1、年 級高三學 科數(shù)學版 本通用版課程標題高考第一輪復習直線、圓的方程及其位置關系編稿老師孫洪成一校林卉二校黃楠審核王百玲一、考點掃描考點直線方程的相關概念與公式圓的方程位置關系要求理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直。掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式等），了解斜截式與一次函數(shù)的關系。掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程。能根據(jù)一些給定的條件求圓的方程。能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)

2、給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系。能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。題型單純考查直線的問題多出現(xiàn)在選擇題中，?？疾樾甭逝c位置關系。更多情況是與圓和圓錐曲線綜合，出現(xiàn)在各種題型中。多以與直線、圓錐曲線綜合的形式出現(xiàn)在各種題型中。多出現(xiàn)在選擇、填空題中，偶爾出現(xiàn)在解答題中。分值1217分512分512分二、重難點提示重點：直線與圓的各種形式的方程及相關公式；直線與圓的位置關系的判斷。難點：利用直線與圓的方程和相關公式解決相切、相交弦長、距離（相離）等問題。一、知識脈絡圖二、知識點撥1. 直線方程的相關概念與公式直線的傾斜角與斜率：傾斜角的取值范圍是0，1

3、80） 直線的傾斜角與斜率k的關系：當時，k與的關系是；當時，直線的斜率不存在；經(jīng)過P1（x1,y1），P2（x2,y2）（x1x2）兩點的直線的斜率公式是。直線方程的五種形式：點斜式方程是；不能表示的直線為垂直于軸的直線。斜截式方程為；不能表示的直線為垂直于x軸的直線。兩點式方程為；不能表示的直線為垂直于坐標軸的直線。截距式方程為；不能表示的直線為垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。一般式方程為。兩條直線的平行與垂直關系（分斜率存在與不存在兩種情況討論）：若兩條不重合的直線的斜率都不存在，則這兩條直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則這兩條直線垂直。已知直線，若與相交，則；

4、若，則；若/，則且；若與重合，則且?guī)讉€公式：已知兩點，M為中點，則已知兩點，則 設點，直線點到直線的距離為設直線則與間的距離如：過點（1，0）且與直線x2y2=0平行的直線方程是（ ）A. x2y1=0 B. x2y+1=0 C. 2x+y2=0 D. x+2y1=0答案：A2. 圓的方程圓的標準方程為，其中圓心為，半徑為r；圓的一般方程為，圓心坐標為，半徑為。方程表示圓的充要條件是。隨堂練習：圓M的圓心在直線y=2x上，經(jīng)過點A（2，1），且與直線x+y=1相切，則圓M的方程為（ ）A. （x+1）2+（y2）2=2B. （x+1）2+（y+2）2=2C. （x1）2+（y+2）2=2D.

5、（x1）2+（y2）2=2答案：C3. 位置關系判斷直線與圓的位置關系的兩種方法：幾何法：通過圓心到直線的距離與半徑的大小比較來判斷，設圓心到直線的距離為，圓的半徑為，若直線與圓相離，則；若直線與圓相切，則；若直線與圓相交，則。代數(shù)法：通過直線與圓的方程聯(lián)立的方程組的解的個數(shù)來判斷，即通過判別式來判斷，若，則直線與圓相交；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓相離。點與圓的位置關系：在圓內(nèi)在圓上 在圓外兩圓的的位置關系：設兩圓的半徑分別為，圓心距為d若兩圓相外離，則，若兩圓相外切，則，若兩圓相交，則，若兩圓內(nèi)切，則，若兩圓內(nèi)含，則。如：已知圓，為過點的直線，則（ ）A. 與相交 B. 與相切 C.

6、 與相離 D. 以上三個選項均有可能答案：A夯實基礎例題1 （1）已知直線，直線，則“”是“直線”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件（2）“m=”是“直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（ ）A. 充分必要條件B. 充分而不必要條件C. 必要而不充分條件D. 既不充分也不必要條件思路導航：根據(jù)直線平行與垂直的充要條件，通過考察其斜率的關系判斷，注意斜率不存在的情況。解答過程：（1）若出現(xiàn)斜率不存在的情況，比如b=0，則a0，由可推知n=0，m0，此時可推兩直線平行，若斜率存在，顯然由可推

7、斜率相等，可推平行；反之若，當斜率不存在時，可得b=n=0，可推，當斜率存在時，顯然仍可推。所以選B。（2）當m=或2時，兩條直線垂直，所以m=是兩條直線垂直的充分不必要條件，選B。點評：本題考查利用斜率研究直線的位置關系，此類題目常出現(xiàn)在選擇題中，常與簡易邏輯結合起來考查，屬于中等題，關鍵是注意考慮斜率不存在的情況。例題2 已知直線l：y=kx2和兩點P（1，2）、Q（4，1），若l與線段PQ相交，求k的取值范圍。思路導航：用運動的觀點結合圖形得出傾斜角的范圍，利用兩點的斜率公式求出臨界值，從而得出斜率的取值范圍。解答過程：由直線方程y=kx2可知直線過定點（0，2），要使直線l與線段PQ有

8、交點，則k的取值范圍是k4和k3/4點評：本題是一道經(jīng)典的例題，難度中等。從知識點上說比較簡單，就是考查了兩點的斜率公式，從思想方法上看主要考查了數(shù)形結合思想和用運動的觀點看問題。另外，在觀察動直線運動的過程中，要特別注意傾斜角是否含有角，若含有，則斜率的范圍是，若不含有，則斜率的范圍是（分別為線段端點與直線所過定點連線的斜率），這也是對思維的嚴謹性以及極限思想的培養(yǎng)。本題以及類似本題的題目雖然在高考中不太可能出現(xiàn)，但其訓練價值是顯而易見的。例題3 （1）圓關于直線y=2x對稱的圓的標準方程是 。（2）求以O（0,0），A（2,0），B（0,4）為頂點的三角形OAB外接圓的方程。（3）一圓與y

9、軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程。思路導航：（1）抓住對稱圓的圓心，用點關于直線對稱的點的求法可解，半徑是不變的；（2）用圓的一般方程待定系數(shù)可解；（3）因題目條件與圓心、半徑關系密切，選擇圓的標準方程待定圓心與半徑。與弦長有關的問題，考慮利用弦心距、半徑、半弦長構成的直角三角形求解。解答過程：（1）已知圓的圓心為（1，4），設其關于直線y=2x對稱的點為（a,b），則，求得所以對稱圓的方程為（2）采用一般式，設圓的方程為，將三個已知點的坐標代入得，解得：故所求圓的方程為（3）因圓與y軸相切，且圓心在直線x3y=0上，故設圓的方程為（x3b）2+（yb

10、）2=9b2。又因為直線y=x截圓所得弦長為2，則有（）2+（）2=9b2，解得b=1.故所求圓的方程為（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9。點評：本題考查圓的方程的求法，難度中等。在求圓的方程時，應當注意以下幾點：（1）確定用圓的標準方程還是一般方程；（2）運用圓的幾何性質(zhì)（如本例的相切、弦長等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）在待定系數(shù)法的應用上，列式時要盡量減少未知量的個數(shù)。例題4 已知圓，求（1）的最大值；（2）的最大值與最小值；（3）的最大值。思路導航：根據(jù)所求式子的幾何意義求解或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。解答過程：（1）表示圓上的點到原點的距離的平方因圓心到

11、點的距離為2，的最大值為3，從而的最大值為9（2）表示圓上的點與原點連線的斜率，所以的最大值與最小值是直線與圓相切時的斜率，設直線的方程為，由得，的最大值與最小值分別為和（3）解法1：考慮圓上的動點（x,y）到直線x2y=0的距離，所以解法2：代入圓的方程并化簡得：，解得：點評：本題考查有關圓的最值問題，其常用方法有幾何法、函數(shù)法、判別式法。用幾何法時，要見“數(shù)”想“形”，即所求式子的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用；用函數(shù)法時，常用三角換元以避開含根號的函數(shù)；判別式更具“解析”味道（用代數(shù)研究幾何問題）。厚積薄發(fā)例題1 已知圓，直線=0（1）證明不論取何值，直線過定點； （2）證明直線恒與

12、圓C相交，并求出相交弦最短時的m。思路導航：（1）可對m取不同的值得兩條具體直線，其交點為定點，再結合點斜式方程整理一般式可完成證明，也可采用直線系方程證之。（2）相交弦最短可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離恰為圓心到定點的距離，或者說圓心與定點的連線恰好垂直于直線。解答過程：（1）將直線l化為：，故直線l是經(jīng)過和的交點（3，1）的直線系，故其過定點（3，1）（2）因為，所以（3,1）為圓內(nèi)的點。故直線恒與圓C相交。圓心（1，2），定點（3,1），由，得m=點評：（1）在處理動直線過定點的問題時，分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為過兩條定直線的交點的直線系是最簡單的方法，一般地，過定點的直線系可先找到兩條交于該點的直線，

13、直線系可表示為。（2）利用了直線與圓的幾何性質(zhì)解決，優(yōu)于代數(shù)解法，本題為中高檔題。例題2 如圖，已知、，從點射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點，則光線所經(jīng)過的路程是（ ）A. B. C. D. 思路導航：直接確定M，N的坐標計算量太大，考慮利用對稱知識，將折線的長度轉(zhuǎn)化為折線的長度，光線所經(jīng)過的路程是折線的最短長度CD，C，D點坐標可由點P對稱得到。解答過程：設點關于直線的對稱點為，關于軸的對稱點為，則光線所經(jīng)過的路程的長，選A。點評：本題體現(xiàn)了關于直線對稱的點的應用光線反射問題，光在相同介質(zhì)中總是沿最短路程傳播是其特性，于是利用這點將折線問題轉(zhuǎn)化為直線問題來解決。本

14、題為中高檔題。例題3 設直線系，對于下列四個命題： A. 中所有直線均經(jīng)過一個定點 B. 存在定點不在中的任一條直線上 C. 對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有的邊均在中的直線上 D. 中的直線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）。思路導航：顯然斜率發(fā)生變化，不是平行直線系，改成點斜式，也不過定點，考慮點（0,2）與該直線的距離，發(fā)現(xiàn)為定值，所以該直線系由定圓的切線構成。再結合圖形逐一判斷。 解答過程：因為，所以點到中每條直線的距離，即為圓：的全體切線組成的集合，從而中存在兩條平行直線，所以A錯誤；又因為點不存在于任何直線上，所以B正確；對任意，存在正邊形使其

15、內(nèi)切圓為圓，故正確；中的直線只能組成兩個大小不同的正三角形和，故D錯誤，故真命題的代號是B，C。點評：本題考查直線系、點到直線的距離等知識，關鍵是發(fā)現(xiàn)直線系是圓的切線系，D選項還考查了思維的嚴密性，外切正三角形容易想到，但小的正三角形容易忽視。本題為高檔題。例題4 已知O的半徑為3，直線l與O相切，一動圓與l相切，且與O相交的公共弦恰為O的直徑，求動圓圓心的軌跡方程。思路導航：問題中的幾何性質(zhì)十分突出，如何利用切線、直徑、垂直、圓心這些幾何性質(zhì)是關鍵，動圓圓心滿足的條件是關注的焦點。解答過程：取過O點且與l平行的直線為x軸，過O點且垂直于l的直線為y軸，建立直角坐標系，設動圓圓心為M（x，y）

16、，O與M的公共弦為AB，M與l切于點C，則|MA|=|MC|。AB為O的直徑，MO垂直平分AB于O，由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，=|y+3|，化簡得x2=6y，這就是動圓圓心的軌跡方程。點評：求軌跡的步驟是“建系，設點，列式，化簡”，建系的原則是特殊化（把圖形放在最特殊的位置上），這類問題一般需要通過對圖形的觀察、分析、轉(zhuǎn)化，找出一個關于動點的等量關系。本題將直線與圓、圓與圓的位置關系綜合起來，同時考查了軌跡方程的求法，為高檔題。（高考江西）過直線x+y2=0上點P作圓x2+y2=1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是

17、. 命題意圖：考查圓的切線問題以及有關圓的切線的性質(zhì)。解答過程：如圖所示，過點P作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，由已知得APO=30，所以|PO|=2，設P點坐標為（x0,y0），則解得故所求坐標為（,）。點評：兩切線的夾角取決于點P到圓心的距離，這個幾何性質(zhì)是找到解決問題的突破口的關鍵。本題難度中等。作為解析幾何初步的直線與圓雖然在高考中通常只出現(xiàn)在選擇、填空題中，但它為后面學習圓錐曲線奠定了思想和方法的基礎，復習時應注意下面幾點：（1）直線的斜率問題要特別注意斜率不存在的情況，斜率和直線的傾斜角的關系體現(xiàn)了角的正切值。在坐標系中，終邊旋轉(zhuǎn)一周過程中的變化情況的聯(lián)系。要特別注

18、意在y軸處的“突變”，在設直線方程時也要注意對斜率的存在與否的討論。（2）明確由給定條件能解決什么基本問題，比如：給定兩個點，可求距離，一點關于另一點的對稱點、中點坐標、垂直平分線方程、以兩點確定的線段為直徑的圓的方程；給定一點一直線，可求過該點的垂線、平行線、點到直線的距離、點關于直線的對稱點、直線關于點的對稱點、垂足等等。（3）直線與圓的位置關系是本講重點，解決方法有兩大類，一類是幾何法，一類是代數(shù)法，兩種方法各有所長，前者充分利用圓的幾何性質(zhì)，計算量小，應是首選方法，后者有更強的思想性，且同時適用于直線與圓錐曲線，也應好好理解。（4）熟記常見的直線系與圓系對于簡化運算是很有幫助的，但這必

19、須建立在對雙基完全掌握的基礎上，不可舍本逐末。高考第一輪復習圓錐曲線的基本量的運算一、預習新知1. 橢圓與雙曲線（1）橢圓與雙曲線的定義是什么？有何區(qū)別與聯(lián)系？（2）標準方程及字母a，b，c，e的意義是什么？有何區(qū)別與聯(lián)系？2. 拋物線（1）拋物線是如何定義的？字母p的幾何意義是什么？（2）標準方程有哪些形式？3. 圓、橢圓、雙曲線、拋物線有何聯(lián)系？離心率對曲線的形狀有何影響？二、雙基自測1. （合肥月考）設P是橢圓1上的點，若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于（ ）A. 4 B. 5 C. 8 D. 10答案：D解析：依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2510。2. （蘭州

20、調(diào)研）“3m5”是“方程1表示橢圓”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件答案：B解析：要使方程1表示橢圓，應滿足解得3m5且m1，因此“3m5”是“方程1表示橢圓”的必要不充分條件。3. （煙臺調(diào)研）設雙曲線1（a0，b0）的虛軸長為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. yx B. y2xC. yx D. yx答案：C解析：由題意得b1，c，a，雙曲線的漸近線方程為yx，即yx。4. （西安月考）設拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 12答案：B解析：據(jù)已

21、知拋物線方程可得其準線方程為x2，又由點P到y(tǒng)軸的距離為4，可得點P的橫坐標xP4，由拋物線定義可知點P到焦點的距離等于其到準線的距離，即|PF|xPxP2426。5. （長春模擬）拋物線y28x的焦點坐標是_。答案：（2,0）解析：拋物線方程為y28x，2p8，即p4.焦點坐標為（2,0）。 （答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 已知直線l經(jīng)過點P（1,2），傾斜角的正弦值為，則l的方程為（ ）A. 4x5y60 B. y2（x1） C. 3x4y50 D. y2（x1）2. “ab4”是直線2xay10與直線bx2y20平行的（ ）A. 充分必要條件 B. 充分不必要條件C. 必要不充分條

22、件 D. 既不充分也不必要條件3. 兩個圓：C1：x2y22x2y20與C2：x2y24x2y10的公切線有且僅有（ ）A. 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條*4. 若點P（1,1）為圓（x3）2y29的弦MN的中點，則弦MN所在的直線方程為（ ）A. 2xy30 B. x2y10C. x2y30 D. 2xy10*5. 若直線axby1與圓x2y21相交，則點P（a，b）（ ）A. 在圓上 B. 在圓外 C. 在圓內(nèi) D. 以上均有可能*6. 已知M（x0，y0）是圓x2y2r2（r0）內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0xy0yr2與此圓的位置關系為（ ）A. 相離 B. 相交 C. 相切

23、D. 以上均有可能*7. 過圓x2y21上一點作圓的切線與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，則|AB|的最小值為（ ）A. B. C. 2 D. 3*8. 設圓：，直線，點，使得存在點，使（為坐標原點），則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二、填空題9. 已知圓C1：相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為 。*10. 已知點P（x，y）在圓x2（y1）21上運動，則的最大值與最小值分別為_。*11. 將一張坐標紙折疊一次，使得點A（0,2）與點A1（4,0）重合，點B（7,3）與點B1（m，n）重合，則mn_。*12. 已知圓M：（xcos ）2（ysin ）21，直線l：ykx，

24、下面四個命題（1）對任意實數(shù)k與，直線l和圓M相切（2）對任意實數(shù)k與，直線l和圓M有公共點（3）對任意實數(shù)，必存在實數(shù)k，使得直線l和圓M相切（4）對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)，使得直線l和圓M相切其中真命題的序號為 。三、解答題：13. 過點M（0,1）作直線，使它被兩已知直線l1：x3y100，l2：2xy80所截得的線段恰好被M所平分，求此直線方程。14. 根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）與圓O：x2y24外切于點P（1，），且半徑為4的圓C的方程；（2）求經(jīng)過已知圓C1：x2y24x2y0和C2：x2y22y40的交點，且圓心在直線l：2x4y1上的圓C的方程。*15. 已知圓C過點P（1

25、,1），且與圓M：（x2）2（y2）2r2（r0）關于直線xy20對稱。（1）求圓C的方程；（2）設Q為圓C上的一個動點，求的最小值；（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由。1. D 2. C 3. B4. D解析：設圓心C（3,0），kCP，由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直線方程是y12（x1），即2xy10。5. B解析：圓心到直線的距離，所以點P在圓外。6. A解析：圓心O（0,0）到直線x0xy0yr2的距離為d.因為P（x0，y0）在圓內(nèi)，所以r，則有dr，故直線和圓相離。7. C解析：設圓上的點為（x0，y0），其中x00，y00，則切線方程為x0xy0y1，分別令x0，y0得A（，0），B（0，），|AB|2。8. C解析：如圖，當PQ與O相切，且時，|OP|=2，當即時，圓C上存在點Q，使。故選C。9. x+y3=0 10. ；解析：設k，則k表示點P（x，y）與點（2,1）連線的斜率，當該直線與圓相切時，k取得最大值與最小值，由1，解得k。11. 解析：依題設可知點A1、A關于折痕對稱，即折痕為線段A1A的垂直平分線，其方程為y2x3，同時它也是B1B的垂直平分線，于是，解得，故mn。12. （2）（4）解