類型四二次函數(shù)與特殊三角形判定問題解析版

1、類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題例1、如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經(jīng)過a(1，0)，c(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個交點(diǎn)為b.(1)若直線ymxn經(jīng)過b，c兩點(diǎn)，求拋物線和直線bc的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x1上找一點(diǎn)m，使點(diǎn)m到點(diǎn)a的距離與到點(diǎn)c的距離之和最小，求點(diǎn)m的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)p為拋物線的對稱軸x1上的一個動點(diǎn)，求使bpc為直角三角形的點(diǎn)p的坐標(biāo)【解析】解：(1)依題意，得，解得拋物線的解析式為yx22x3.對稱軸為x1，拋物線經(jīng)過a(1，0)，b(3，0)設(shè)直線bc的解析式為ymxn(m0)，把b(3，0)，c(0，3)分別代入ymxn，得

2、，解得直線bc的解析式為yx3.(2)如解圖，設(shè)直線bc與對稱軸x1的交點(diǎn)為m，連接ma，mamb，mamcmbmcbc.使mamc最小的點(diǎn)m應(yīng)為直線bc與對稱軸x1的交點(diǎn)把x1代入直線yx3，得y2.m(1，2)(3)設(shè)p(1，t)，結(jié)合b(3，0)，c(0，3)，得bc218，pb2(13)2t24t2，pc2(1)2(t3)2t26t10. 若b為直角頂點(diǎn)，則bc2pb2pc2，即184t2t26t10，解得t2；若c為直角頂點(diǎn)，則bc2pc2pb2，即18t26t104t2，解得t4；若p為直角頂點(diǎn)，則pb2pc2bc2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)

3、p共有四個，分別為：p1(1，2)，p2(1，4)，p3(1，)，p4(1，)例2、如圖，拋物線yx2x4與x軸交于點(diǎn)a、b，與y軸交于點(diǎn)c，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)m.p是拋物線在x軸上方的一個動點(diǎn)(點(diǎn)p、m、c不在同一條直線上)(1)求點(diǎn)a，b的坐標(biāo)；(2)連接ac、pb、bc，當(dāng)spbcsabc時，求出此時點(diǎn)p的坐標(biāo)；(3)分別過點(diǎn)a、b作直線cp的垂線，垂足分別為點(diǎn)d、e，連接md、me.問mde能否為等腰直角三角形？若能，求此時點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不能，說明理由第2題 【解析】解：(1)令yx2x40，解得x11，x25，a點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，b點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，0)(2)如解圖，過點(diǎn)a

4、作apbc，與拋物線交于點(diǎn)p，則spbcsabc，第1題解圖 第2題解圖第2題解圖當(dāng)x0時，yx2x4 4，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0，4)，設(shè)過點(diǎn)b，c兩點(diǎn)的直線的解析式為ykxb(k0)，則有解得直線bc的解析式為yx4，由于pabc，設(shè)ap的解析式為yxm，代入點(diǎn)a(1，0)，解得m，直線ap的解析式為yx，聯(lián)立方程組得解得： p點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，) (3)mde能成為等腰直角三角形，理由：拋物線yx2x4(x3)2，對稱軸是直線x3.m(3，0)當(dāng)med90時，點(diǎn)e，b，m在一條直線上，此種情況不成立；同理：當(dāng)mde90時，不成立；當(dāng)dme90時，如解圖所示，設(shè)直線pc與對稱軸交于點(diǎn)n，emdm，

5、mnam，emndma.mde45，eda90，mda135.med45，nem135，admnem135.在adm與nem中， admnem(asa)mnma2，n(3，2)設(shè)直線pc的解析式為ykxb(k0)，將點(diǎn)n(3，2)，c(0，4)代入直線的解析式得： 解得： 直線pc的解析式為y2x4.將y2x4代入拋物線解析式得：2x4 x2x4，解得：x0或x，p(，3)綜上所述，mde能成為等腰直角三角形，此時點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，3)例3、如圖，拋物線yax2bx4交x軸于a、b兩點(diǎn)(點(diǎn)a在點(diǎn)b左側(cè))，交y軸于點(diǎn)c，連接ac、bc，其中cobo2ao.(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)q為直線b

6、c上方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)q作qeac交bc于點(diǎn)e，作qnx軸于點(diǎn)n，交bc于點(diǎn)m，當(dāng)emq的周長l最大時，求點(diǎn)q的坐標(biāo)及l(fā)的最大值；(3)如圖，在(2)的結(jié)論下，連接aq分別交bc于點(diǎn)f，交oc于點(diǎn)g，四邊形bogf從f開始沿射線fc平移，同時點(diǎn)p從c開始沿折線coob運(yùn)動，且點(diǎn)p的運(yùn)動速度為四邊形bogf平移速度的倍，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)b點(diǎn)時，四邊形bogf停止運(yùn)動，設(shè)四邊形bogf平移過程中對應(yīng)的圖形為b1o1g1f1，當(dāng)pff1為等腰三角形時，求b1f的長度第3題圖【解析】 解：(1)拋物線yax2bx4與y軸交于點(diǎn)c，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0，4)cobo2ao，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為

7、(4，0)，將點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得解得拋物線的解析式為yx2x4.(2)點(diǎn)a(2，0)，點(diǎn)b(4，0)，點(diǎn)c(0，4)，直線ac的解析式為y2x4，直線bc的解析式為yx4.設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(q，q2q4)，qeac，過點(diǎn)e作efqm于點(diǎn)f，如解圖，第3題解圖則，qf2ef，qeef，在rtefm中，易得femfmembn45，emef，efmf，qm3ef，當(dāng)ef最大時，eqm的周長最大，直線ac的解析式為y2x4，直線qeac，設(shè)直線qe的解析式為y2xt，將q點(diǎn)坐標(biāo)代入得，tq2q4，直線qe的解析式為y2x(q2q4)，與直線bc聯(lián)立解得點(diǎn)e的坐標(biāo)為(q2q，q2q4)e

8、fqq2qq2q(q2)2，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)可知，當(dāng)q2時，ef最大，為.此時點(diǎn)q的坐標(biāo)為(2，4)，l3efefef(3)(3)由(2)知點(diǎn)q的坐標(biāo)為(2，4)，則直線qa的解析式為yx2，aqbc于f，且點(diǎn)f的坐標(biāo)為(1，3)點(diǎn)b(4，0)，bf3.設(shè)四邊形bogf平移的距離ff1t，則點(diǎn)p運(yùn)動的速度為2t.當(dāng)點(diǎn)p在oc上，此時0t2，則點(diǎn)b1在bf上此時易得點(diǎn)f1的坐標(biāo)為(1t，t3)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，42t)pf21(12t)24t24t2，pf12(1t)2(3t42t)210t28t2，ff122t2.(i)當(dāng)pf2ff12時，4t24t22t2，解得t1t21，此時b1fb

9、1f1ff1bfff12；(ii)當(dāng)pf2pf12時，4t24t210t28t2，解得t1，t20(舍)，此時b1fb1f1ff1； (iii)當(dāng)f1f2pf12時，2t210t28t2，解得t1t2，此時b1f；當(dāng)點(diǎn)p在ob上，此時2t4，當(dāng)2t3時，點(diǎn)b1在bf上，當(dāng)390，若pff1是等腰三角形，則只能是pfff1，即(2t41)292t2，解得t152，t252(舍)，此時t523，如解圖，第4題解圖第4題解圖第4題解圖sscabspab3(31)(31)(m22m3)2m24m，ssbcd， 2m24m，整理得4m28m150，解得m1，m2(舍去)，p點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點(diǎn)p在x軸下

10、方時，即1m3，如解圖，連接op，ssaocscopspob313m3(m22m3)m2m6， ssbcd， m2m6，整理得m23m10，解得m1，m2(舍去)，p點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，綜上所述，p點(diǎn)坐標(biāo)為(，)或(，)(3)存在直線x1交x軸于點(diǎn)f，bd2，如解圖，eqdb于點(diǎn)q，deq沿eq翻折得到deq，edqbdf，rtdeqrtdbf，即，解得dq，bqbddq2；如解圖，edbd于h，edhbdf，rtdehrtdbf，即，解得dh，eh，在rtqhd中，設(shè)qhx，dqdqdhhqx，dhdeehdeeh2，x2(2)2(x)2，解得x1，bqbddqbd(dhhq)bddhhq211

11、；如解圖，dqbc于點(diǎn)g，作eibd于點(diǎn)i，由得ei，bi，第4題解圖第4題解圖deq沿邊eq翻折得到deq，eqdeqd， egei，be2， bgbeeg2，gbqibe，rtbqgrtbei，即， bq，綜上所述，當(dāng)bq為或1或時，將deq沿邊eq翻折得到deq，使得deq與beq的重疊部分圖形為直角三角形例5、已知如圖，拋物線yx22x與x軸交于a，b兩點(diǎn)(點(diǎn)a在點(diǎn)b的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)c，點(diǎn)d為拋物線的頂點(diǎn)，對稱軸交x軸于點(diǎn)e.(1)如圖，連接bd，試求出直線bd的解析式；(2)如圖，點(diǎn)p為拋物線第一象限上一動點(diǎn)，連接bp，cp，ac，當(dāng)四邊形pbac的面積最大時，線段cp交bd于

12、點(diǎn)f，求此時dfbf的值；(3)如圖，已知點(diǎn)k(0，2)，連接bk，將bok沿著y軸上下平移(包括bok)，在平移的過程中直線bk交x軸于點(diǎn)m，交y軸于點(diǎn)n，則在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)g，使得gmn是以mn為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)g的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第5題圖【解析】 解：(1)在yx22x中，令y0，則x22x0，解得x11，x25，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是(1，0)，點(diǎn)b的坐標(biāo)是(5，0)拋物線yx22x的對稱軸是x2，把x2代入解析式得y，則點(diǎn)d的坐標(biāo)是(2，)設(shè)直線bd的解析式是ykxb(k0)，將b、d兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得： 解得直線bd的解析式是yx.(2)連接b

13、c，如解圖，yx22x中，令x0，則y，則點(diǎn)c的坐標(biāo)是(0，)設(shè)直線bc的解析式y(tǒng)mxn(m0)，則解得則直線bc的解析式是yx.s四邊形pbacsabcsbcp，sabcaboc6，bcp面積最大時，s四邊形pbac有最大值，設(shè)與bc平行且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的解析式是yxd.則x22xxd，即x25x(2d5)0，當(dāng)0時，x，代入yx22x中得：y，則點(diǎn)p的坐標(biāo)是(，)又點(diǎn)c的坐標(biāo)是(0，)，設(shè)直線cp的解析式是yexf，則解得則直線cp的解析式是yx.根據(jù)題意得解得則點(diǎn)f的坐標(biāo)是(，)df，bf，則.(3)存在，點(diǎn)g的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)【解法提示】假

14、設(shè)存在設(shè)bk的解析式是ykxb(k0)，將點(diǎn)b(5，0)，k(0，2)代入得 解得直線bk的解析式是yx2，設(shè)直線mn的解析式為yxm，當(dāng)y0時，xm，即m(m，0)，當(dāng)x0時，ym，即n(0，m)gmn是以mn為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況：mgmn，gmn90，如解圖.第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖mgegme90，gmeomn90，mgeomn.在gme和mno中g(shù)memno(aas)，meon，egom，當(dāng)點(diǎn)m在點(diǎn)e右側(cè)時，mem2，onm，omm，m2m，解得m.egomm，g點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，); 當(dāng)m在線段oe上時，如解圖，me2m，onm，egomm，2mm，

15、解得m， egomm，點(diǎn)g的坐標(biāo)為(2，)；當(dāng)m在點(diǎn)o左側(cè)時，易得mnmg，此時不存在點(diǎn)g使gmn為等腰直角三角形；ngmn，gnm90，過點(diǎn)n作nf拋物線對稱軸于點(diǎn)f，如解圖所示ongmno90，onggnf90，mnognf.在gnf和mno中，gnfmno(aas)，nfon，fgom，當(dāng)點(diǎn)n在y軸正半軸時，onm，omm，2m.fgomm5，egfgeffgon3，g點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點(diǎn)n在y軸負(fù)半軸時，如解圖，onm，omm，nf2，第5題解圖第6題解圖m2，om(2)5(此時m與b重合，n與k重合)，egeffgonom7，點(diǎn)g的坐標(biāo)為(2，7)綜上可知：在拋物線的對稱軸上存

16、在點(diǎn)g，使得gmn是以mn為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)g的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2x3與x軸交于a，b兩點(diǎn)(點(diǎn)a在點(diǎn)b左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)c，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)e.(1)判斷abc的形狀，并說明理由；(2)經(jīng)過b，c兩點(diǎn)的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)d，點(diǎn)p為直線bc上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)pcd的面積最大時，點(diǎn)q從點(diǎn)p出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到拋物線的對稱軸上點(diǎn)m處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運(yùn)動到y(tǒng)軸上的點(diǎn)n處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動到點(diǎn)a處停止當(dāng)點(diǎn)q的運(yùn)動路徑最短時，求點(diǎn)n的坐標(biāo)及點(diǎn)q經(jīng)過的最短路徑的長；(3)如圖，平移拋物線

17、，使拋物線的頂點(diǎn)e在射線ae上移動，點(diǎn)e平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)e，點(diǎn)a的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)a.將aoc繞點(diǎn)o順時針旋轉(zhuǎn)至a1oc1的位置，點(diǎn)a，c的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)a1，c1，且點(diǎn)a1恰好落在ac上，連接c1a，c1e，ac1e是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點(diǎn)e的坐標(biāo)；若不能，請說明理由第6題圖 解：(1)abc為直角三角形，理由如下：在拋物線yx2x3中，令y0，得x2x30，解得x1，x23，故a(，0)，b(3，0)令x0，得y3，故c(0，3)，ac212，bc236，ab248，ac2bc2ab2，abc為直角三角形(2)設(shè)直線bc的解析式為ykxb，將b(3，0)，c(0，3)代入，得解得直線bc的解析式為yx3，如解圖，過點(diǎn)p作pry軸交bc于點(diǎn)r，設(shè)p(t，t2t3)，則r(t，t3)，prt2t3(t3)t2t，則spcdsprcsprdprxr(xrxd)t2t(t)2， 0t3，當(dāng)t時，spcd取得最大值，此時p(，)，將p(，)向左平移個單位，得p(，)，連接ap交y軸于點(diǎn)n，過點(diǎn)n作nm拋物線對稱軸于點(diǎn)m，連接pm，點(diǎn)q沿pmna運(yùn)動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為pmmnan.設(shè)直線ap的解析式為ymxn，將a(，0)，p(，)代入，得： 解得直線ap的解析式