用三點共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題1

1、用三點共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題 教案 學(xué)情分析1、部分學(xué)生因?qū)ο蛄考臃ê蜏p法的不熟練，在用向量表示幾何關(guān)系時存在困難；2、學(xué)生雖然學(xué)過向量共線的條件和平面向量基本定理的內(nèi)容，但現(xiàn)階段對向量的認(rèn)識還不夠深刻，自主應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的意識還沒有樹立起來；3、雖然學(xué)生通過對平面向量基本定理這一節(jié)例5的學(xué)習(xí)，學(xué)會了在三點共線的條件下如何用向量表示幾何關(guān)系的方法，但因時間關(guān)系，這一結(jié)論并沒有去挖掘它的應(yīng)用。應(yīng)對策略1、課前要求學(xué)生自己復(fù)習(xí)向量的加法和減法、向量共線的充要條件和平面向量基本定理有關(guān)知識；2、在上完5.3的平面向量基本定理后，布置教材p110.第7題和一些用向量表示幾何關(guān)系的

2、練習(xí)，讓學(xué)生能較熟練地用向量表示幾何關(guān)系，為學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識作準(zhǔn)備；3、通過探求三點共線的向量結(jié)論中的幾何意義，加深學(xué)生對這一結(jié)論的認(rèn)識與理解，逐步增強學(xué)生應(yīng)用向量的意識。知 識 與 技能目標(biāo)1、能熟練地用向量表示幾何關(guān)系；2、能說出三點共線的向量結(jié)論中的幾何意義；3、模式識別：能應(yīng)用三點共線的向量結(jié)論求平幾中的共線線段的比值問題；4、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的意識。過 程與方 法目 標(biāo)1、復(fù)習(xí)三點共線的向量結(jié)論；2、啟以、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三點共線的向量結(jié)論中的幾何意義；3、鞏固與應(yīng)用，增強學(xué)生應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力。情 感態(tài) 度與價值觀學(xué)會合作與交流；在獨立思考的基礎(chǔ)上獲取知識，獲得成功

3、的體驗；感受向量應(yīng)用的廣泛性。教 學(xué)重 點三點共線的向量結(jié)論的應(yīng)用教 學(xué)難 點應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的意識教 具準(zhǔn) 備多媒體課件注：為了簡單起見，平面幾何簡稱為平幾；師指教師，生指學(xué)生。教 學(xué) 過 程（師生活動）設(shè)計理念和實施方法創(chuàng)設(shè)情景師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三點共線的向量結(jié)論（如右圖）a、b、c三點共線的充要條件是：有唯一實數(shù)對、，使且+=1；有何意義？這就量本節(jié)課需要解決的問題。電腦顯示本節(jié)課課標(biāo)：1、探求的幾何意義；2、應(yīng)用.1、“+=1”可提問學(xué)生，上課伊始適當(dāng)?shù)膯栴}能讓學(xué)生注意力轉(zhuǎn)移到課堂上來；2、板書本節(jié)課課題：用三點共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題探索分析52問題已知如圖，a、

4、b、c三點共線，o為線段ab外一點。1、2、師：請同學(xué)們完成上面兩個問題（請學(xué)生說出答案）生：1、；2、師：請說出1的系數(shù)比 生：師：結(jié)合圖形，你對這一比值有什么新的發(fā)現(xiàn)沒有？生：恰好等于線段值。師：再次發(fā)揮同學(xué)們的想像能力，上述線段能否從1式的向量表達(dá)式中得到？怎樣得到的？生：能；將1式各向量的終點聯(lián)結(jié)就能得到。師：系數(shù)之比與用向量表達(dá)式寫出的線段比位置上有何關(guān)系？生：交叉關(guān)系。師：從以上過程你對此有什么猜想？生：系數(shù)之比等于（由向量表達(dá)式寫出的）“交叉線段”長之比？師：若a、b、c三點共線且+=1我們是否能作這樣的猜想：=。師：大家算一下2的系數(shù)比，你又有什么發(fā)現(xiàn)？生：=，可寫成=|=.師

5、：由此我們可得猜想=。這一猜想是正確的。它的證明留給同學(xué)們課外完成，當(dāng)你完成了這一結(jié)論的證明后，完全有理由相信自己對向量的認(rèn)識會提高一個層次！師：綜上所述，我們有下面結(jié)論：a、b、c三點共線的充要條件是有唯一實數(shù)對、，使，其中+=1； =。師：這一結(jié)論的右邊表示什么的比值？這兩線段有何位置關(guān)系？左邊又表示什么的比值？生：線段；兩線段共線（或三點共線）；向量表達(dá)式的比值。師：這些特點告訴了我們什么？（略停）求解三點共線的線段的比值問題，可將其轉(zhuǎn)化為求三點共線的向量結(jié)論中的系數(shù)。我們所學(xué)的向量知識可與平幾知識聯(lián)系起來！1、電腦顯示結(jié)論2、這節(jié)課的知識較抽象，過多使用電腦會給學(xué)生理解和掌握知識造成障

6、礙。因此，板書對于學(xué)生理解知識是很有好處的。3、兩個問題的答案如下：4、讓學(xué)生經(jīng)歷操作觀察猜想這一過程。5、這節(jié)課的重點是知道結(jié)論并會應(yīng)用，證明的技巧性較強。對高一學(xué)生在教學(xué)中有時采用“重形式輕實質(zhì)”的方法能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)本節(jié)課的主要知識。因此，證明過程讓有興趣的學(xué)生課外完成。6、得到結(jié)論后重要的是引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)論的特點，能模式識別。鞏固練習(xí)應(yīng)用1-想一想圖11、已知平面上不同的四點滿足：，試指出m、a、b的關(guān)系。2、已知如右圖1，若，則 + 3、已知， 4、已知， .應(yīng)用2-做一做例1、已知如右圖，ae=2ec,abc的中線am交be交于點g，求的值。思路分析：要求的是ag與gm兩線段的比

7、值，且兩線段是共線的，故可考慮轉(zhuǎn)化為用本節(jié)課的結(jié)論。解：a、g、m三點共線，可設(shè)又引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題思路：（1）由a、g、m三點共線用結(jié)論表示；（2）由a、e、c三點共線用結(jié)論表示；(3)將與轉(zhuǎn)化成用相同的基底表示； (4)根據(jù)兩向量、共線，通過比較對應(yīng)向量的系數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組求值。例2 已知如下圖，g為abc的重心，過點g的直線分別交邊ab、ac于點e、f，且，（）。 求證：。 思路分析：從圖中可看到e、f、g三點共線，可試著去找適當(dāng)?shù)幕蛄縨表示，些時作輔助線再找一個與共線的向量就是自然的事了！解：連結(jié)ag并延長交bc于點m，則am為bc的中線。 e、g、f三點共線，可設(shè)又，答案：1、三點共線

8、2、3、4、解題過程的回顧與總結(jié)是調(diào)動學(xué)生參與課堂，也是一次學(xué)生自我提高的的過程。例題用多媒體顯示學(xué)生練習(xí)教師巡視，對學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的問題給予指導(dǎo)。答案：4：1課外引申用本節(jié)課所得到的結(jié)論證明第23屆imo試題（見課外作業(yè)）給學(xué)有余力的學(xué)生展示自己的平臺的機會！課堂小結(jié)1、探索得到了三點共線的向量結(jié)論中的幾何意義；2、應(yīng)用這一結(jié)論解決平幾中的一類求值問題；3、應(yīng)用結(jié)論來求值時，選擇適當(dāng)?shù)幕讓缀侮P(guān)系用向量表示，再用向量共線來建立方程組進(jìn)行求解；4、本節(jié)課僅是根據(jù)同學(xué)們現(xiàn)在具備的知識講了向量的一個應(yīng)用。實際上，隨著同學(xué)們知識的積累，你會發(fā)現(xiàn)向量的應(yīng)用是很廣泛的，這節(jié)課只想起到一個拋磚引玉的作用

9、，課后同學(xué)們可去網(wǎng)上查詢有關(guān)這方面的知識！課堂小結(jié)是使知識系統(tǒng)化；作業(yè)布置課堂練習(xí)：已知如圖 ，求 的值。課外作業(yè)（用試卷打好發(fā)給學(xué)生）1、已知如右圖，ae=2ec,abc的中線am交be交于點g，求的值。2、（第23屆imo試題）如圖，m、n分別是正六邊形對角線ac、ce上的點。若b、m、n三點共線，且，求的值。1、作業(yè)的布置是檢查學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)知識的掌握情況；2、作業(yè)的布置要分層次，給不同層次的學(xué)生獲得進(jìn)步的機會。這樣才能真實全面的了解學(xué)生的掌握情況。答案：1、3：22、用三點共線的向量結(jié)論解決平幾中的一類求值問題教案說明 向量是數(shù)與形的高度統(tǒng)一，它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運算的簡捷于一身

10、，在解決平面幾何問題時能起到奇特的作用。在用向量解決平面幾何問題時，首先就是要將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量表示（即選擇適當(dāng)?shù)幕祝?，然后再借助向量運算來解決。因此，本節(jié)課實際就是讓學(xué)生學(xué)會：在三點共線條件下，知道將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量問題來解決。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是按三維目標(biāo)來確定的。它包括知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀三個方面。知識與技能目標(biāo)有4點，它們是相互聯(lián)系層層遞進(jìn)的關(guān)系。目標(biāo)1是基礎(chǔ)，目標(biāo)2是內(nèi)容，目標(biāo)3是獲得技能，目標(biāo)4才是這節(jié)課的根本意圖。我國新一輪課程改革提出：改變課程過于注重知識傳授的傾向，強調(diào)形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，使獲得知識與形成技能的過程成為學(xué)會學(xué)習(xí)和形成價值觀的過程。這就要

11、求我們的教學(xué)過程應(yīng)更多的考慮學(xué)生，要讓他們在課堂上參與適應(yīng)的探索并能在這一過程中感受成功的喜悅。mn本內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的一些基本概念、向量的加法與減法、向量共線的充要條件、平面向量基本定理和三點共線的向量結(jié)論后進(jìn)行的一節(jié)探究式的習(xí)題課。平面向量基本定理這一節(jié)的例5學(xué)生知道了這樣一個結(jié)論：a、b、c三點共線的充要條件是：有唯一的實數(shù)對、，使，其中+=1。并且通過上節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生還知道了在三點共線條件下寫向量表達(dá)式的一種方法：如右圖,m+nnm 圖1 圖2 分母m+n代表線段ab的份數(shù)，即右邊兩向量終點表示的線段，m代表線段cb的份數(shù)，即左邊向量和右邊向量兩向量終點表示的線段，n代表線段ca

12、的份數(shù)，即左邊向量和右邊向量兩向量終點表示的線段。系數(shù)m、n與它對應(yīng)的線段恰好是交叉關(guān)系；當(dāng)分點在線段的外部時，添加一個負(fù)號，其位置由系數(shù)和為1確定。在三點共線的條件下學(xué)生能較為熟練的寫出向量表達(dá)式作為基礎(chǔ)來進(jìn)行這節(jié)課的教學(xué)。對的幾何意義的探求分四個階段進(jìn)行：先由1、2兩個特例得猜想：=；再由檢驗特例2的系數(shù)完善猜想，得猜想2：|=；然后指出這一猜想的正確性（不證明）；最后通過課堂的應(yīng)用1、應(yīng)用2和課堂練習(xí)來鞏固知識。本節(jié)課最關(guān)鍵的是教師引導(dǎo)學(xué)生得猜想1和猜想2，這也是本節(jié)課最難的。因為這一過程思維跳躍性很強，要反復(fù)結(jié)合向量表達(dá)式和圖形，稍有不慎，學(xué)生的思維鏈一斷，這節(jié)課就變得毫無意義了！結(jié)論

13、|=在課堂上沒有證明，從這一意義上說失去了數(shù)學(xué)的理性思維，少了很多的“數(shù)學(xué)味”，但對高一的學(xué)生來說卻是很必要的（要知道，正是因為有時我們過分追求理性思維才讓學(xué)生產(chǎn)生 “數(shù)學(xué)就是繁和難的演繹與推理”這種想法，讓他們畏懼?jǐn)?shù)學(xué)?。?。有時這種“重過程輕實質(zhì)”的方法，能減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，不會因技巧性強、冗長的證明過程沖淡本節(jié)課的主題。本節(jié)課的最終目的是要讓學(xué)生感受到一點向量應(yīng)用的廣泛性，并希望能逐步增強學(xué)生應(yīng)用向量解決數(shù)學(xué)問題的能力。若著眼點僅是這一節(jié)課，探索的幾何意義的過程對高一學(xué)生而言有些難，甚至可以說沒必要。但若將這節(jié)課放到整個高中階段這根知識大鏈上來看又是怎樣的呢？僅從以下兩個例子就可見向量在

14、中學(xué)數(shù)學(xué)知識中的地位了：1、向量與三角知識的融合。在推導(dǎo)正弦定理、余弦定理均用到了向量知識。但是在教學(xué)過程中這一點還沒有引起我們足夠的重視，甚至有些教師對教材中用向量方法證明正弦和余弦定理棄之不用，課堂教學(xué)中僅僅是為了得到一個結(jié)論，證明方法仍是沿用以前的老教材中的方法。應(yīng)該說這是一種教學(xué)資源的浪費！正弦和余弦定理究竟要解決的是什么問題？初中解決角與邊有哪些方法？高中與角和邊有關(guān)的又有哪些知識？通過這種引導(dǎo)，讓學(xué)生將所學(xué)的向量的數(shù)量積與三角形知識聯(lián)系起來，這樣既能讓學(xué)生掌握這種證明方法，又能讓學(xué)生樹立應(yīng)用向量的意識；2、向量在立體幾何中的應(yīng)用。這幾年來高考對立體幾何知識大題的考查都是能建立直角坐

15、標(biāo)系，大題的得分率比以前大大提高。但這也給部分學(xué)生（甚至于我們的教師）留下了這樣一些印象：只要會建立直角坐標(biāo)系就行了；立體幾何對邏輯推理和空間想像能力的要求降低了；向量在立體幾何中的應(yīng)用關(guān)鍵是能建立直角坐標(biāo)系等等。比如高二數(shù)學(xué)教材下b第51頁例2，題如下：已知在一個的二面角的棱上有兩個點a、b，ac、bd分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)，且垂直于ab的線段，又知ab=4cm, ac=6cm, bd=8cm,求cd的長。對于高三的同學(xué)來說也很少想到用向量方法來解決的。在不建立直角坐標(biāo)系的條件下用向量來證明線線平行、線面平行，求線面角、二面角的平面角這方面的意識學(xué)生就更弱了！ 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量的意識不

16、是一朝一夕就能實現(xiàn)的，而要把這種意識轉(zhuǎn)化為一種能力那就更是需要一個長期的、不斷訓(xùn)練的過程了。我從最不理想的角度考慮過這節(jié)課的效果，若有學(xué)生在上課時由于注意力不集中導(dǎo)致后面的內(nèi)容聽不懂了，若他看到用向量方法能這樣簡捷的解決平面幾何問題時，他只要能這樣想：哦，原來還可以這樣呀！我就覺得是我這節(jié)課的收獲了！從這個方面來看，這節(jié)課是及時的也是需要的。在三點共線的條件下讓學(xué)生寫向量表達(dá)式都能準(zhǔn)確的寫出來，但是在探求的幾何意義時還是應(yīng)特別的注意.因為這需要在向量表達(dá)式和圖形中反復(fù)觀察，這也是學(xué)生最容易出問題的地方。此時應(yīng)該放手讓學(xué)生自己先探索，教師再去引導(dǎo)，這樣的效果會更好的，若探索這個環(huán)節(jié)處理得不好，后面的內(nèi)容就會變成老師的獨角戲了！另外，學(xué)生容易出錯的是在例1中求出了的值，是代入還是代入求比值。解題到此時可再回顧三點共線的向量結(jié)論的形式特點，通過課堂上3個題目的和課外1題（課外作業(yè)的第一題是要求每個學(xué)生必做的，2作為選做）共4個題的訓(xùn)練是能正確區(qū)分這一點的。根據(jù)新課改的教育教學(xué)理念，在課堂上探究知識時讓學(xué)生經(jīng)歷：操作實