北京數(shù)學(xué)中考一模新定義創(chuàng)新題

1、西城29、給出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形 G和G2，點(diǎn)P為G上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為G2上任一點(diǎn)，如果線段PQ的長(zhǎng)度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形 Gi和G2之間的距離在平面直角坐標(biāo) 系xOy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn).（1） 點(diǎn)A的坐標(biāo)為A （1，0）則點(diǎn)B （2，3）和射線0A之間的距離為，點(diǎn)C （-2,3 ）和射線0A之間的距離為;（2）如果直線y=x和雙曲線y -之間的距離為42.，那么k=;（可在圖1中進(jìn)行研究）x（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1, 73 ），將射線0E繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到射線OF在坐標(biāo)平 面內(nèi)所有和射線0E 0F之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形 M. 請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形M并描述圖形M

2、的組成部分；（若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影 表示） 將射線0E,0F組成的圖形記為圖形 W拋物線y X22與圖形M的公共部分記為圖形N,請(qǐng)直接寫出圖形 W和圖形N之間的距離.解析：29.解：（1）3，13 （每空各 1 分）（2）-1 ；（3）如圖9,過(guò)點(diǎn)0分別作射線0E,0F的垂線0G 0H則圖形M為：y軸正半軸，G0H勺邊及其內(nèi)容的所有點(diǎn)（圖中的陰影部分）說(shuō)明：V3（畫圖2分，描述1分）（圖形M也可以描述為：y軸正半軸，直線y x下方與直3線yx下方重疊的部分（含邊界）33東城 29 .定義符號(hào)min a, b的含義為：當(dāng)a b時(shí),min a, b b ;當(dāng)av b時(shí),min a, b

3、 a .如：min 1,22 , min 1,21.求 min x2-1,-2; 已知min x2 2x k, 33 ,求實(shí)數(shù)k的取值范圍； 已知當(dāng)2 x0 , x2-1 -1 . x2-1 -2.- min x2-1,-22.2 分22(2)/ x2 2x k x 1 k 1, x 1 2 k 1 k 1.t min x2 2x k, 33 , k 1 3. k2. 5 分3 m1 ，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的限變點(diǎn).例如：點(diǎn)2,3的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn) 2,5b,a 1的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是2, 5 .(1) 點(diǎn)/3,1的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;在點(diǎn)A 2, 1，B 1,2中有一個(gè)點(diǎn)是函數(shù)y ?圖象上某一個(gè)

4、點(diǎn)的限變點(diǎn)，x這個(gè)點(diǎn)是(2) 若點(diǎn)P在函數(shù)y x 3( 2W x k,k2)的圖象上，其限變點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)b的取值范圍是5 b m或，其中m n.令s m n，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍.解析:29.（本小題滿分8分）解:（ 1）（、3,1）；點(diǎn)B.（2）依題意,x 3 x1y x 3（x 2）圖象上的點(diǎn)P的限變點(diǎn)必在函數(shù)y x 3,2x 1的圖象上.b 2，即當(dāng)時(shí)，取最大值2.當(dāng)時(shí)，x 5 .3 分當(dāng)時(shí)，或.x 2 或 x 8.4 分Q 5 b 2 ,由圖象可知，k的取值范圍是5 k m或b 1，當(dāng)x1時(shí)，的最小值為，即； 當(dāng)時(shí)，的值小于，即.s關(guān)于t的函數(shù)解析式為s t2 1 （

5、t 1） . 7 分當(dāng)t= 1時(shí)，s取最小值2.s的取值范圍是s2.8 分豐臺(tái)29.設(shè)點(diǎn)Q到圖形 W上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)Q到圖形W的距離.例如正方形ABCD滿足 A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么點(diǎn) C（0，0）到正方形 ABCD勺距離 為1.（1） 如果。P是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓，那么點(diǎn)qo, 0）到。P的距離為;（2）求點(diǎn)M （3,0）到直線y 2x 1的距離；如果點(diǎn)N（0,a）到直線y 2x 1的距離為3，那么a的值是;（3）如果點(diǎn)G（0,b）到拋物線y x2的距離為3,請(qǐng)直接寫出b的值.解析：29.(1) 4;.2 分(2)直線y 2x

6、1記為I，過(guò)點(diǎn)M作MH I，垂足為點(diǎn)H ,設(shè)I與x, y軸的交點(diǎn)分別為E,F ，貝V E(1-,0), F(0,1). EF 52.3分EOFs MHEMH ME MHOF百，即-T7-MH_5T7、55點(diǎn)M至煩線y 2x 1的距離為7 55.4分.6分(3) b3 或 b 37.8分通州29.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A(2 , 3)、B(6 , 3)，連結(jié)AB若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)P,線段AB上都存在點(diǎn)Q使得PQC 1,則稱點(diǎn)P是線段AB的“鄰近點(diǎn)”.(1)判斷點(diǎn)D(7,匹)，是否線段AB的“鄰近點(diǎn)” (填“是”或“否”)；5 5(2)若點(diǎn)H(m n)在一次函數(shù)y x 1的圖象上，且是線

7、段AB的“鄰近點(diǎn)”，求m的取值范圍.(3) 若一次函數(shù)y x b的圖象上至少存在一個(gè)鄰近點(diǎn)，直接寫出 b的取值范圍.解析：29. (1)點(diǎn)D是線段AB的“鄰近點(diǎn)”；.(2分)(2).點(diǎn)H (m n)是線段AB的“鄰近點(diǎn)”，點(diǎn)H (m n)在直線y=x1 上, n = m 1; .(3 分)直線y=x1與線段AB交于(4, 3) 當(dāng)m4時(shí)，有n= m- 1 3,又AB/ x軸，此時(shí)點(diǎn)H(m n)到線段AB的距離是n-3， 0 n 3 1， 4 m5， .(4分) 當(dāng)m0)的頂點(diǎn)為M直線 y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn) A和點(diǎn)B,如果 AMB為等腰直角三角形，我們把拋 物線上A、B兩點(diǎn)之間部分

8、與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線的準(zhǔn)蝶形，頂點(diǎn)M稱為碟頂， 線段AB的長(zhǎng)稱為碟寬.(1) 拋物線y 2x2的碟寬為，拋物線y=ax2 (a0)的碟寬為.(2) 如果拋物線y=a(x 1)2-6a (a0)的碟寬為6,那么a=.(3) 將拋物線yn=anx2+bnx+c (an0)的準(zhǔn)蝶形記為Fn (n=1, 2, 3,)，我們定義Fi, F2,，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比.如果Fn與Fn-1的相似比為-，且Fn的碟2頂是Fn-1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)在將(2)中求得的拋物線記為yi，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為Fi. 求拋物線y2的表達(dá)式； 請(qǐng)判斷Fi , F2,，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)是否在一條

9、直線上？如果是，直接寫出該直線 的表達(dá)式；如果不是，說(shuō)明理由.解析：29.(本小題滿分8分)解：(1) 4 ,-;a(2 ) 1 ;3(3)t F1的碟寬：F2的碟寬=2: 1,2ala24分5分6分7分1 .又由題意得F2的碟頂坐標(biāo)為(1 , 1 ) , 2 2 y2 x 11 3F1 , F2 ,，F(xiàn)n的碟寬的右端點(diǎn)在一條直線上；其解析式為 y = x+5.石景山29.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在直線I上，以A為圓心，OA為半徑的圓與y軸 的另一個(gè)交點(diǎn)為E.給出如下定義：若線段0E，O A和直線I上分別存在點(diǎn)B ,點(diǎn)C和 點(diǎn)D，使得四邊形ABCD是矩形(點(diǎn)A,B,C,D順時(shí)針排列)，則

10、稱矩形ABCD為直線I的 “理想矩形”.例如,下圖中的矩形ABCD為直線I的“理想矩形”.備用圖(1) 若點(diǎn)A( 1,2)，四邊形ABCD為直線x 1的“理想矩形”，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；(2) 若點(diǎn)A(3,4)，求直線y kx 1 (k 0)的“理想矩形”的面積；(3) 若點(diǎn)A(1, 3)，直線l的“理想矩形”面積的最大值為 ，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.解析：29.解:(1) D 1,0 . 2分(2) 連結(jié) AO, AC，過(guò)點(diǎn)A作AF y軸于點(diǎn)F .則 AC AO 5，AF 3.Q EF 3145AE 3,2在Rt AEB中，由勾股定理AB 32在Rt ABC中，由勾股定理得，BC 、7.所求“理想矩形

11、”ABCD面積為 AB BC 3.14 . 5分(3)“理想矩形”面積的最大值是5. 6分D 1, 2 或 3, 2 .8 分延慶29.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和線段AB,給出如下定義：在線段AB外有一點(diǎn)P, 如果在線段AB上存在兩點(diǎn)C D,使得/ CPI=90。，那么就把點(diǎn)P叫做線段AB的懸垂點(diǎn).(1)已知點(diǎn) A (2, 0), O (0, 0)1 若C(1,-) , D (1, 1), E (1, 2),在點(diǎn)C, D, E中，線段AO的懸垂點(diǎn)是; 如果點(diǎn)P (m n)在直線y x 1上 ,且是線段AO的懸垂點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)如下圖是帽形M (半圓與一條直徑組成，點(diǎn) M是半圓

12、的圓心)，且圓M的半徑是1 , 若帽形內(nèi)部的所有點(diǎn)是某一條線段的懸垂點(diǎn)，求此線段長(zhǎng)的取值范圍.解析: DE=BE在 Rt DBE 中,2分3由勾股定理得：DE=24 1亞m12且m分1 622(3)設(shè)這條線段的長(zhǎng)為a分29.(1) 線段AO的懸垂點(diǎn)是C, D;(2) 以點(diǎn)D為圓心，以1為半徑做圓, 設(shè)y x 1與O D交于點(diǎn)B, C與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(0, -1 )/ ODB=45 當(dāng)a 2時(shí)，如圖 當(dāng)a 2時(shí)，如圖 當(dāng)a 2時(shí)，如圖綜上所述：a 21, 凡是O D外的點(diǎn)不滿足條件;2, 所有的點(diǎn)均滿足條件；3, 所有的點(diǎn)均滿足條件；8圖1圖2燕山29.在平面直角坐標(biāo)系中，如

13、果點(diǎn) P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn) P為和諧點(diǎn).例 如點(diǎn)(1, 1), ( ,), ( V2,丿2)，都是和諧點(diǎn).33(1) 分別判斷函數(shù)y 2x 1和y x2 1的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和 諧點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 若二次函數(shù)y ax2 4x c(a 0)的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn),-)，且當(dāng)2 20 x m時(shí),函數(shù)y ax2 4x c - (a 0)的最小值為一3,最大值為1,求m的4取值范圍.(3) 直線l: y kx 2經(jīng)過(guò)和諧點(diǎn)P ,與x軸交于點(diǎn)D,與反比例函數(shù)G: y -的圖象交x于M N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,且DM DN 3 2 , 請(qǐng)直接寫出n的取值范圍.解析:2x1 x，解得x1圖229解:(1)令3，函數(shù)y2x1的圖象上有個(gè)和諧點(diǎn)1 1 (,)3 32 2令x 1 = X,即卩 x X 1=0,根的判別式=( 1)24 1 1 =- 30,方程x2 x 1=0無(wú)實(shí)數(shù)根,函數(shù)y x21的圖象上不存在和諧點(diǎn).(2)令 ax2 4x c = x，即 ax2 3x c= 0 ,2由題意，= 3 4ac = o，即 4ac 9,解得a函數(shù)yax2 4x c如圖，該函數(shù)圖象頂點(diǎn)為 4分3，即 y x 4x 3