514Pascal定理與Brianchon定理

1、三、應(yīng)用三、應(yīng)用1. 作圖題作二階曲線上的點(diǎn)作切線2. 證明題證明共線點(diǎn), 共點(diǎn)線問(wèn)題 例3. 如圖, 設(shè)abcdef是一條二次曲線的內(nèi)接六點(diǎn)形, 且 abcd=p, cdef=q, de af=l, afbc=m, bcde=n, efab=r.求證: pl,mq,rn共點(diǎn). 證明. 考察簡(jiǎn)單六點(diǎn)形abcdef, 利用pascal定理, 再利用desargues定理即得結(jié)論. 例4. 若兩個(gè)三點(diǎn)形abc和abc的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線交于一點(diǎn)s(如圖), 且其中一個(gè)三點(diǎn)形的邊與另一個(gè)三點(diǎn)形的非對(duì)應(yīng)邊交于d,e,f,g,h,i六個(gè)點(diǎn)，證明此六點(diǎn)在同一條二次曲線上. 證明. 應(yīng)用desargues定理于a

2、bc和abc, 再考察簡(jiǎn)單六點(diǎn)形defghi, 利用pascal定理的逆定理, 即得結(jié)論. 例5. 如圖, 三點(diǎn)形abc內(nèi)接于二階曲線, 其每一頂點(diǎn)處的切線構(gòu)成另一個(gè)三點(diǎn)形 abc. 求證：aa, bb, cc共點(diǎn). 證明. 由利用pascal定理的極限情況定理4.12知, 三點(diǎn)形abc與abc的對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)共線, 據(jù)desargues透視定理得結(jié)論. 例6. 如上題圖及條件. 求證：a(bc,ac) = b(ac,ba) = c(ca,cb) = -1. 提示：利用上例結(jié)論以及完全四點(diǎn)形的調(diào)和性(思考). 例7. (p.116, ex.6)設(shè)a,b,c,d為二階曲線上四個(gè)定點(diǎn), p,q為上的動(dòng)

3、點(diǎn). padc=x, pbqd=y. 求證xy過(guò)定點(diǎn). 做不出！必定題目有問(wèn)題！ 改正： 將padc=x 改為 paqc=x. 考察六點(diǎn)形apbcqd, 由pascal定理, xy經(jīng)過(guò)定點(diǎn)adbc.一、極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線 在二次曲線理論中十分重要, 二次曲線的大部分重要性質(zhì)均與配極有關(guān). 只討論二階曲線, 總假定：非退化總假定：非退化.設(shè)) 1 (. 0| ,0:31,ijjiijjijiijaaaxxas1. 引入定義4.6 兩點(diǎn)p, q關(guān)于共軛. (如圖) 定理4.13 點(diǎn)p關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線sp=0. 證明 設(shè)p(pi), q(qi). 則pq與 : s=0的交點(diǎn)m(pi

4、+qi)滿足. 022pppqqqsss設(shè)其兩根為1, 2. 則交點(diǎn)為mj( pi+ jqi), (j=1,2). 于是(pq,m1m2)=1 1/ 2=1 1+ 2=0. 002pqqqpqsss將qi改為流動(dòng)坐標(biāo)xi, 得p關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為直線sp=0.一、極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線1. 引入定理4.13 點(diǎn)p關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線sp=0.推論4.5 兩點(diǎn)p, q關(guān)于共軛spq=0. 即注2. p在上, 則spp=0, 由推論4.5, 規(guī)定規(guī)定：上的點(diǎn)關(guān)于自共軛自共軛.注1. 驗(yàn)證兩點(diǎn)p, q關(guān)于共軛, 只要驗(yàn)證上式. 0),(321332313232212131211321qq

5、qaaaaaaaaappp2. 極點(diǎn)與極線定義4.7 對(duì)于點(diǎn)p, 若p則稱p關(guān)于的共軛點(diǎn)軌跡pp切線p為p關(guān)于的極線極線, 方程為sp=0. 反之, 稱p為直線p關(guān)于的極點(diǎn)極點(diǎn). 注. 由定義4.7及推論4.5, 有 定義4.6: 相互在對(duì)方極線上的兩點(diǎn)稱為關(guān)于的共軛點(diǎn).一、極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線 推論4.6 平面上任一點(diǎn)p關(guān)于的極線存在唯一, 方程為sp=0. 反之, 平面上任一直線p關(guān)于的極點(diǎn)存在唯一. 證明 只要證后半. 設(shè)直線u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u關(guān)于的極點(diǎn).設(shè)p(pi)為其一個(gè)極點(diǎn), 由于p(pi)的極線唯一存在為sp=0, 從而u與sp=0為同一直線, 即

6、2. 極點(diǎn)與極線)0(332211uxsuxsuxsppp即. 3 , 2 , 1, 0iuxsipi一、極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線 推論4.6 平面上任一點(diǎn)p關(guān)于的極線存在唯一, 方程為sp=0. 反之, 平面上任一直線p關(guān)于的極點(diǎn)存在唯一. 展開(kāi)上式, 得)17. 4(.321332313232212131211321pppaaaaaaaaauuu因?yàn)閨aij|0, 故(4.17)對(duì)于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的極點(diǎn)p唯一存在.(4.17)表示直線u與它的極點(diǎn)p之間的關(guān)系, 稱為極點(diǎn)方程組極點(diǎn)方程組.2. 極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線一、極點(diǎn)與極線3. 極點(diǎn)與極線的計(jì)算(1). 已知p

7、(pi), 求極線, 直接求sp=0. (2). 已知uui, 求極點(diǎn), 將ui代入(4.17), 解出(pi). (注：在實(shí)際計(jì)算時(shí), 可取=1, 見(jiàn)教材, 例4.11) 注：(4.17)是一個(gè)非奇異線性變換, 是由 : s=0通過(guò)關(guān)于它的極點(diǎn)極線關(guān)系規(guī)定的同底點(diǎn)場(chǎng)與線場(chǎng)之間的一個(gè)雙射.定義4.8 相互通過(guò)對(duì)方極點(diǎn)的直線稱為關(guān)于的共軛直線共軛直線. 注. 利用maclaurin定理及對(duì)偶原則, 有: 兩直線ppi, qqi關(guān)于 : s=0共軛tpq=0)19. 4(. 0),(321332313232212131211321qqqaaaaaaaaappp根據(jù)推論4.5, 可以對(duì)偶地給出下列定

8、義二、配極變換二、配極變換1. 配極變換定義4.9 稱由)18. 4(. 0| , 3 , 2 , 131ijjiijjjijiaaaixau決定的同底點(diǎn)場(chǎng)與線場(chǎng)之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線 : s=0的配極變換配極變換.注2. 任一非退化二階曲線都決定了平面上的一個(gè)配極變換.注3. 配極變換是異素變換, 是一個(gè)雙射.)18. 4(0, 0|333223113332322211223132121111ijaxaxaxauxaxaxauxaxaxau 注1. (4.18)表示點(diǎn)x與直線u是關(guān)于 : s=0的極點(diǎn)極線關(guān)系. 另一種寫(xiě)法為.二、配極變換二、配極變換1. 配極變換 注. 本定理給出了

9、配極變換的最基本的幾何性質(zhì). 定理4.14(配極原則)點(diǎn)p關(guān)于的極線p通過(guò)點(diǎn)q點(diǎn)q關(guān)于的極線q通過(guò)點(diǎn)p. 定理4.14(配極原則) 直線p關(guān)于的極點(diǎn)p在直線q上直線q關(guān)于的極點(diǎn)q在直線p上. 證明. (左邊)設(shè) : s=0, p(pi), q(qi). 則p的極線sp= 0 過(guò)點(diǎn)q spq= 0 sqp= 0 q的極線sq過(guò)點(diǎn)p. 對(duì)偶地, 可得右邊.二、配極變換二、配極變換1. 配極變換 推論4.7 兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)為此二點(diǎn)極線的交點(diǎn)；兩直線交點(diǎn)的極線為此二直線極點(diǎn)的連線. 推論4.8 共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線. 推論4.9 關(guān)于非退化二階曲線的配極變換使得點(diǎn)列對(duì)應(yīng)于線束, 線束

10、對(duì)應(yīng)于點(diǎn)列；圖形對(duì)應(yīng)于其對(duì)偶圖形. 推論4.10 關(guān)于非退化二階曲線的配極變換使得共線四點(diǎn)的交比等于其對(duì)應(yīng)共點(diǎn)四直線的交比. 因此, 配極變換配極變換規(guī)定了一個(gè)點(diǎn)列與其對(duì)應(yīng)線束之間的一個(gè)射影射影對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng).綜上：非退化二階曲線配極變換二維異素射影變換二維異素射影變換對(duì)偶變換從而配極原則特殊的對(duì)偶原則二、配極變換二、配極變換2. 自極三點(diǎn)形(應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念) 定義4.10 若一個(gè)三點(diǎn)形關(guān)于每個(gè)頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn)(即每邊是其對(duì)頂?shù)臉O線), 則稱此三點(diǎn)形為關(guān)于的一個(gè)自極三點(diǎn)形自極三點(diǎn)形. 定理4.15 內(nèi)接于非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形是關(guān)于的一個(gè)自極三點(diǎn)形. 證明

11、：如圖, 設(shè)完全四點(diǎn)形abcd內(nèi)接于非退化二階曲線, pqr為其對(duì)邊三點(diǎn)形. 設(shè)qr交一組對(duì)邊ad, bc于點(diǎn)e, f. 則由完全四點(diǎn)形的調(diào)和性有. 1),(; 1),(epbcfpad于是點(diǎn)e, f均為點(diǎn)p關(guān)于共軛點(diǎn), 即qr為p關(guān)于的極線. 同理, rp, pq為q, r關(guān)于的極線. 所以, pqr為關(guān)于的一個(gè)自極三點(diǎn)形.二、配極變換二、配極變換2. 自極三點(diǎn)形(應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念) 定義4.10 若一個(gè)三點(diǎn)形關(guān)于每個(gè)頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn)(即每邊是其對(duì)頂?shù)臉O線), 則稱此三點(diǎn)形為關(guān)于的一個(gè)自極三點(diǎn)形自極三點(diǎn)形. 定理4.15 內(nèi)接于非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形的對(duì)邊三點(diǎn)形

12、是關(guān)于的一個(gè)自極三點(diǎn)形. 注1. 自極三點(diǎn)形的任一頂點(diǎn)不在上. 注2. 自極三點(diǎn)形恰有一個(gè)頂點(diǎn)在的“內(nèi)部”. 注3. 自極三點(diǎn)形任意兩頂點(diǎn)相互共軛;任意兩邊相互共軛. 例1. 給定不在上的一點(diǎn)p(pi), 任求的一個(gè)自極三點(diǎn)形pqr. 解. (i) 求p(pi)的極線p： sp=0. (ii) 在p上任取不屬于的一點(diǎn)q(qi), 求q的極線q： sq=0. (iii) 求p與q的交點(diǎn)r(ri), 則pqr必為的一個(gè)自極三點(diǎn)形.3. 配極變換的基本應(yīng)用(1). 幾何證明題靈活運(yùn)用配極原則以及自極三點(diǎn)形等概念(2). 極點(diǎn)極線作圖 例2. 已知非退化二階曲線及不在上一點(diǎn)p, 求作p關(guān)于的極線p. 例3. 已知非退化二階曲線以及一直線p, 求作p關(guān)于的極點(diǎn)p. 作法. 在p上任取不在上兩相異點(diǎn)q,r, 利用上例, 作q,r關(guān)于的極線q,