盤點(diǎn)高考試題中關(guān)于三角函數(shù)的幾種解題技巧

1、盤點(diǎn)咼考試題中關(guān)于二角函數(shù)的幾種解題技巧3113 3本人在十多年的職中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中， 面對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容的相關(guān)教學(xué)時(shí)，積 累了一些解題方面的處理技巧以及心得、體會(huì)。下面嘗試進(jìn)行探討一下：1、由于（sincos)2 sin2cos22 si n cos12 si n cos 故知道(sincos )，必可推出sincos (:或 sin 2），例如:例1已知sincos,求 sin33 cos 。3分析：由于3 sincos3(sincos)(sin2 2 sin cos cos2 )(sincos )(sincos ) 3sin cos 其中，sincos已知，只要求出sin cos即可，此題

2、是典型的知sin-cos ，求 sin (cos的題型。解： (sincos)2 12 si ncos故：12 si ncos(3)21sin cos13333 sin3 cos(sincos)(sin、2cos )3sin cos 、關(guān)于sin cos與sin cos （或sin 2 ）的關(guān)系的推廣應(yīng)用:22、關(guān)于tg +ctg與sincos ，sincos的關(guān)系應(yīng)用：由于tg+ctg =sincos.2 sincos21cossinsincossin cos故：tg+ctg ，sincos，sincos三者中知其一可推出其余式子的例2若 sin +cos =m2，且 tg +ctg =n，

3、貝U m n 的關(guān)系為(）2 2 2A. m=nB . m= 1 Cn分析：觀察sin +cos 與sin cos 的關(guān)系:sincos= (sincos )sin1 m2122而:tgctg1nsin cos11故:m21 12 2 m1，選Bo2nn例3已知：tg+ctg=4，則 sin2的值為（）。A1B11D1C2244分析：tg +ctg14 sincos1sincos4sin2 1故:sin2 2si n cos。 答案選Ao2分析：由上面例子已知，只要例 4 已知：tg +ctg =2,求sin4 cos4sin4 cos4能化出含 sin cos 或sincos的式子，則即可根

4、據(jù)已知tg+ctg 進(jìn)行計(jì)算。由于tg+ctgsincos 1 sin 12cos此題只要將sincos4 化成含sincos的式子即可:解: sin44.4cos =si n=(sin=1-2 (sin=1-4+2 sin 22+cos )- 2 sincos )2(1)2cos22 cos2-2 sin2cos2 2cos_ 12通過以上例子，可以得出以下結(jié)論：由于sin+ctg三者之間可以互化，知其一則必可知其余二。這種性質(zhì)適合于隱含此但有一點(diǎn)要注意的；如果通過已知sin cos ，求含 cos的式子，必須討論其象限才能得出其結(jié)果的正、負(fù)號(hào)。這是由于 cos ）2=1 2sin cos

5、，要進(jìn)行開方運(yùn)算才能求出 sin coscos，sin cos 及tg三項(xiàng)式子的三角式的計(jì)算。sin（sin cos ） =1 2sin cos二、關(guān)于“托底”方法的應(yīng)用：在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算或證明題中，往往需要把式子添加分母，這常用在需 把含tg （或ctg ）與含sin （或cos ）的式子的互化中，本文把這種添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下：例5 已知：tg =3,求Sin一3CO乞 的值。 2sin cos分析：由于tg 空，帶有分母cos ，因此，可把原式分子、分母各項(xiàng) cos除以cos ，“造出” tg ，即托出底：cos ；解：由于 tg =3 kcos 02sincos3

6、故，原式=遊型(cos )21ctg * ( 3)261 ( 3)25（95年全國(guó)成人高考理、工科數(shù)學(xué)試卷）x ,0 y ，且sinxsiny sin(? x)sin(石 y)(ctgx -3)(ctgy. 3)的值分析：此題是典型已知含正弦函數(shù)的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于0 x ,0 y ?，故sinx 0,sin y 0，在等式兩邊同除以 sin xsin y，托出分母 sin xsin y為底，得:解：由已知等式兩邊同除以si nxsi ny 得:02 sincos2tg 12 3 1coscos例 6 已知：ctg = -3，求 sin cos -cos2 =?分

7、析：由于ctg cos ，故必將式子化成含有c二的形式，而此題與例4 sinsin有所不同，式子本身沒有分母，為了使原式先出現(xiàn)分母，利用公式：sin2 cos21及托底法托出其分母，然后再分子、分母分別除以sin ，造出ctg解: sin2cos21 sin cos cos2. 2 sin cos cos；22sin coscos cos ) 2求:分子,分母同除以sin2 型迓一噸寒】sin(x)si n(y)36sin xsin ysin cos cossinx33sin xsin cos y cos sin y6 6 1sin ycosy 、3sin y sin y1、3 cosx si

8、n x4 sin x】( . 3ctgx 1)(ctgy 3) 14-4 (ctgx #)(ctgy . 3)1(ctgx f)(ctgy. 3)“托底”適用于通過同角的含正弦及余弦的式子與含正切、余切的式子的互 化的計(jì)算。由于tg 空，ctgcos值關(guān)系，故它們間的互化需“托底”cos嗎，即正切、余切與正弦、余弦間是比 sin，通過保持式子數(shù)值不變的情況下添加分母達(dá)到根據(jù)已知求值的目的。而添加分母的方法主要有兩種:一種利用 sin2改變?cè)降闹? 生分母。cos21，把sin 2cos2 作為分母，并不另一種是通過等式兩邊同時(shí)除以正弦或余弦又或者它們的積，產(chǎn)的方法，使它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，三

9、、關(guān)于形如:acosx bsinx的式子，在解決三角函數(shù)的極值問題時(shí)的應(yīng)用:可以從公式si n Acosx cos A si nx sin(A x)中得到啟示：式子acosx bs inx與上述公式有點(diǎn)相似，如果把 a，b部分變成含si nA，cosA的式 子，則形如 acosx bsinx的式子都可以變成含 sin(A x)的式子，由于-1 wsin( A x) 1,不能直接把a(bǔ)當(dāng)成sinA=3，cosA=4，考慮:所以，可考慮用其進(jìn)行求極值問題的處理，但要注意一點(diǎn): sinA，b當(dāng)成cosA，如式子：3cosx 4sinx中，不能設(shè)-1 sinA 1，-1 cosAw 1，可以如下處理式子

10、：；2 2a cosx bsi nx a ba cosx a2 b2sin x b2由于打b2)2(兒)21。OI故可設(shè)： si nA ，貝U cosA1 si nA，：2 , 2 7 a b即:cos Ab_爲(wèi)廠b2 acosx bsinx a2 b2(sin Acosx cosAsinx)a2 b2 sin(A x)無論 A x取何值，-1 sin(A x) 1,、a2 b2 a2 b2 sin(A x) . a2 b2即： .a2 b2 acosx bsinx a2 b2下面觀察此式在解決實(shí)際極值問題時(shí)的應(yīng)用：例1( 98年全國(guó)成人高考數(shù)學(xué)考試卷)求：函數(shù)y3cos2x sinxcosx

11、的最大值為()A . 1B分析：sin xcos2sin xcosx2式子：cos2x 2cos2 x 12cos x1sin 2x，再想辦法把cos2 x變成含cso2x的 2cos2x 12D . 3 1仝cos2x2!si n2x2于是：y 3 cOs2x 1 dn2x2 2Is in 2x)21- y 12由于這里：a 號(hào)山 1,貝 ka2 b2 W號(hào))2 (f)2 122J31y 1( cos2x sin 2x)22 3設(shè)：sinA命嚀夢(mèng)則cosA 2J3y sin Acos2x cosAsin 2x 2sin(A 2x)2無論A-2x取何值，都有-1 sin(A-2x) 1,故 y

12、的最大值為1,3即答案選A。例2（96年全國(guó)成人高考理工科數(shù)學(xué)試卷）在厶ABC中，已知：AB=2 BC=1 CA=;3，分別在邊AB BC CA上任取點(diǎn) DE、卩，使厶DEF為正三角形，記/ FECWa，問：sin a取何值時(shí)， EFD的邊長(zhǎng) 最短？ 此最短邊長(zhǎng)。分析：首先，由于 BC2 CA2 12 C.3）2 4 AB2，可知 ABC為 Rt，其中AB為斜邊，所對(duì)角/ C為直角，又由于si nA-,故A 30，則/ B=AB 290/ A=60，由于本題要計(jì)算厶DEF的最短邊長(zhǎng)，故必要設(shè)正 DEF的邊長(zhǎng) 為I，且要列出有關(guān)I為未知數(shù)的方程，對(duì)I進(jìn)行求解。觀察 BDE已知：/ B=60, D

13、E=，再想辦法找出另兩個(gè)量，即可根據(jù)正弦定理列出等式，從而產(chǎn)生關(guān)于 I的方程。在圖中，由于 EC= cos a,貝U BE=BC-EC=1l- cos a。 而/ B+/ BDE/ 仁 180/a +/ DEF/ 仁 180/ BDE/a/ B=60，/ DEF=60 J在厶BDE中，根據(jù)正弦定理：BFDE1 l coslsin BDEsin Bsinsin 60cos ) lsin3,l sin(1 ll cos222sinlcos2在這里，要使l有最小值，必須分母:- 3cos2sin有最大值，觀察:3cos2sin,a于,b 1a2 b2(；)2 12.3cossinV(3cos sin )277設(shè)：sin A旦，則cosA7故: #C0Ssin(sin acos2cosasin )厶in(A23 cos2Sin的最大值為-23即：I的最小值為：2.217而 sin( A）取最大值為時(shí)，A2k 22k A2sinsin (2k A)2cos A即：sin7時(shí)，DEF的邊長(zhǎng)最短，最短邊長(zhǎng)為從以上例子可知，形如aco