等比數(shù)列前n項(xiàng)和二

1、等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和項(xiàng)和等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)：項(xiàng)和的性質(zhì)：qssnnn 奇奇偶偶則則，等等比比數(shù)數(shù)列列中中，若若項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)為為),(2. 1*成成等等比比數(shù)數(shù)列列kkkkksssss232,. 2 的的值值。求求若若項(xiàng)項(xiàng)和和為為的的前前設(shè)設(shè)等等比比數(shù)數(shù)列列qssssnann,2,. 1963 性質(zhì)應(yīng)用：性質(zhì)應(yīng)用：的的值值。求求若若項(xiàng)項(xiàng)和和為為的的前前設(shè)設(shè)等等比比數(shù)數(shù)列列41248,3,. 2sssssnann 性質(zhì)應(yīng)用：性質(zhì)應(yīng)用：。求求通通項(xiàng)項(xiàng)，項(xiàng)項(xiàng)中中數(shù)數(shù)值值最最大大項(xiàng)項(xiàng)為為在在前前項(xiàng)項(xiàng)和和前前項(xiàng)項(xiàng)和和為為的的前前設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)等等比比數(shù)數(shù)列列nnnnansnsna54

2、,65602,80. 32 最值問題：最值問題：取值范圍。取值范圍。的的的公比的公比，求，求中最大值，且中最大值，且數(shù)列數(shù)列項(xiàng)和組成的項(xiàng)和組成的是它的前是它的前項(xiàng)和項(xiàng)和的前的前如果數(shù)列如果數(shù)列，設(shè)，設(shè)是等比數(shù)列，是等比數(shù)列，若若qasssnsbnnbaannnannn7)(log8. 4877*21 最值問題：最值問題：(n+2)sn=n(sn+1- -sn). 證證: (1)an+1=sn+1- -sn, 又又 an+1= sn, n+2n整理得整理得 nsn+1=2(n+1)sn. n+2nsn+1- -sn= sn,sn nsn+1n+1 =2 . 5.數(shù)列數(shù)列 an 的前的前 n 項(xiàng)和

3、記為項(xiàng)和記為 sn, 已知已知 a1=1, an+1= sn(n=1, 2, 3,), 證明證明: (1)數(shù)列數(shù)列 是等比數(shù)列是等比數(shù)列; (2) sn+1=4an.n+2nsn nsn n 是以是以 1 為首項(xiàng)為首項(xiàng), 2 為公比的等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. (2)由由(1)知知 =4 (n2),sn+1n+1sn- -1n- -1于是于是 sn+1=4(n+1) =4an(n2),sn- -1n- -1又又 a2=3s1=3a1=3, 故故 s2=a1+a2=4=4a1.因此對(duì)于任意正整數(shù)因此對(duì)于任意正整數(shù) n, 都有都有 sn+1=4an. 3.設(shè)設(shè) an 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, tn=

4、na1+(n- -1)a2+2an- -1+an, 已知已知 t1= 1, t2=4. (1)求數(shù)列求數(shù)列 an 的首項(xiàng)和公比的首項(xiàng)和公比; (2)求數(shù)列求數(shù)列 tn 的通項(xiàng)公的通項(xiàng)公式式.解解: (1)設(shè)設(shè)等比數(shù)列等比數(shù)列 an 的公比為的公比為 q, 則則: t1=a1, t2=2a1+a2. 又又 t1=1, t2=4, a1=1, 2a1+a2=4a2=2. q=2.數(shù)列數(shù)列 an 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為 1, 公比為公比為 2.(2)解法解法1 由由(1)知知: a1=1, q=2, an=2n- -1.tn=n 1+(n- -1) 2+(n- -2) 22+2 2n- -2+1 2n-

5、-1. 2tn=n 2+(n- -1) 22+(n- -2) 23+2 2n- -1+1 2n. tn=- -n+2+22+2n- -1+2n =2n+1- -n- -2. 解法解法2 設(shè)設(shè) sn=a1+a2+an. an=2n- -1, sn=2n- -1. tn=na1+(n- -1)a2+2an- -1+an=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+an)=s1+s2+sn=2+22+2n- -n=2n+1- -n- -2. 4.在公差為在公差為 d( (d 0) ) 的等差數(shù)列的等差數(shù)列 an 和公比為和公比為 q 的等比數(shù)列的等比數(shù)列 bn 中中, 已知已知 a1=

6、b1=1, a2=b2, a8=b3, (1)求求 d, q 的值的值; (2)是否存在是否存在常數(shù)常數(shù)a, b, 使得對(duì)于一切正整數(shù)使得對(duì)于一切正整數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立? 若存若存在在, 求出求出 a 和和 b, 若不存在若不存在, 說明理由說明理由.解解: (1)a1=b1=1, a2=b2, a8=b3, d 0, 解得解得 d=5, q=6. 故故 d, q 的值分別為的值分別為 5, 6. 1+d=q 且且 1+7d=q2. (2)由由(1)及已知得及已知得 an=5n- -4, bn=6n- -1. 假設(shè)假設(shè)存在常數(shù)存在常數(shù) a, b, 使使得對(duì)于一切

7、正整數(shù)得對(duì)于一切正整數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立, 則則 5n- -4=loga6n- -1+b 對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù) n 都成立都成立. 即即 5n- -4=nloga6+b- -loga6 對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù) n 都成立都成立. loga65, b- -loga6=- -4. a= 6 , b=1. 5 故故存在常數(shù)存在常數(shù) a, b, 它們的值分別為它們的值分別為 6 , 1, 使得對(duì)于一切正整使得對(duì)于一切正整數(shù)數(shù) n, 都有都有 an=lgabn+b 成立成立. 5 5.設(shè)設(shè) sn 為數(shù)列為數(shù)列 an 的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和, 且滿足且滿足 2sn=3(

8、an- -1), (1)證明證明數(shù)列數(shù)列 an 是等比數(shù)列并求是等比數(shù)列并求 sn; (2)若若 bn=4n+5, 將數(shù)列將數(shù)列 an 和和 bn的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列中的順序排成一個(gè)新的數(shù)列的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列中的順序排成一個(gè)新的數(shù)列 dn, 證證明明 dn 是等比數(shù)列并求其通項(xiàng)公式是等比數(shù)列并求其通項(xiàng)公式.證證: (1)由已知由已知 a1=3, 當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí), an=sn- -sn- -1.2an=2(sn- -sn- -1)=2sn- -2sn- -1=3(an- -an- -1) an=3an- -1. 故故數(shù)列數(shù)列 an 是首項(xiàng)與公比均為是首項(xiàng)與公比均為 3 的等比數(shù)列的等比數(shù)

9、列.從而從而 an=3n, sn= (3n+1- -3).12(2)易知易知 d1=a2=b1=9. 設(shè)設(shè) dn 是是 an 中的第中的第 k 項(xiàng)項(xiàng), 又又是是 bn 中的中的第第 m 項(xiàng)項(xiàng), 即即 dn=3k=4m+5. ak+1=3k+1=3(4m+5)=4(3m+3)+3 不不是數(shù)列是數(shù)列 bn 中的項(xiàng)中的項(xiàng), 而而 ak+2=3k+2=9(4m+5)=4(9m+10)+5 是是bn的第的第(9m+10)項(xiàng)項(xiàng), dn+1=ak+2=3k+2.dn+1 dn 由由=9 知知: dn 是首項(xiàng)與公比均為是首項(xiàng)與公比均為 9 的等比數(shù)列的等比數(shù)列, 故故 dn=9n. 2 111 6.an, b

10、n 都是各項(xiàng)為正的數(shù)列都是各項(xiàng)為正的數(shù)列, 對(duì)于任意的自然數(shù)對(duì)于任意的自然數(shù) n, 都有都有 an, bn, an+1 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, bn, an+1, bn+1成等比數(shù)列成等比數(shù)列. (1)求證求證 bn 是是等差數(shù)列等差數(shù)列; (2)如果如果 a1=1, b1= 2 , sn= + + , 求求 sn.2 2 a1 a2 an an0, bn0, 由式得由式得 an+1=bn bn+1.(1)證證: 依題意有依題意有: 2bn=an+an+1, an+1=bn bn+1. 2222從而從而當(dāng)當(dāng) n2 時(shí)時(shí), an=bn- -1 bn, 代入得代入得 2bn=bn- -1 bn+bn bn+1.22bn=bn- -1+bn+1(n2). bn 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. (2)解解: 由由 a1=1, b1= 2 及兩式易得及兩式易得 a2=3, b2= 2.