3年高考2年模擬2021版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2對數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像第1課時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像講義新人教B版必修第二冊

1、第1課時對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì).(重點)2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù).(易混點)3.初步掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),會求與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域、值域問題.(難點)1.通過對數(shù)函數(shù)定義的學(xué)習(xí),培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.借助對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí),提升直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).問題:已知細胞的分裂個數(shù)y與分裂次數(shù)x滿足函數(shù)y=2x,那么反過來,x是不是關(guān)于y的函數(shù)?關(guān)系式是什么?答案因為y=2x是增函數(shù),所以對于任意y(0,+),都有唯一確定的x與之對應(yīng),故x也是關(guān)于y的函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式是x=log2y.1.對數(shù)

2、函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=logax稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a0且a1.2.對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)的性質(zhì)與圖像定義y=logax(a0,a1,x0)圖像a10a0且a1)的底數(shù)變化對圖像位置有何影響?提示觀察題圖可知:(1)上下比較:在直線x=1的右側(cè),a1時,a越大,圖像越靠近x軸;0a1還是0a0且a1)的圖像經(jīng)過點(1,0)、(a,1)和1a,-1.探究一對數(shù)函數(shù)的概念例1(易錯題)若函數(shù)y=log(2a-1)x+a2-5a+4是對數(shù)函數(shù),則a=.易錯辨析:忽視對數(shù)函數(shù)對系數(shù)、底數(shù)、真數(shù)的要求致誤.答案4解析因為y=log(2a-1)x+a2-5a+4是對數(shù)函數(shù),所以2

3、a-10,2a-11,a2-5a+4=0,解得a=4.易錯點撥判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法1.(1)函數(shù)f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是對數(shù)函數(shù),則實數(shù)a=.(2)已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x(0,+)時,f(x)=log2x,則f(-8)=.答案(1)1(2)-3解析(1)由a2-a+1=1,解得a=1或a=0,又a+10,且a+11,所以a=1.(2)因為f(x)是定義在r上的奇函數(shù),所以f(-8)=-f(8)=-log28=-3.探究二對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)例2(1)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a0,a1)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論成立的

4、是()a.a1,c1b.a1,0c1c.0a1d.0a1,0c1(2)已知函數(shù)f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是()a.(22,+)b.22,+)c.(3,+)d.3,+)答案(1)d(2)c解析(1)由題圖知函數(shù)單調(diào)遞減,0a1.當(dāng)x=1時,loga(x+c)=loga(1+c)1,c0,當(dāng)x=0時,loga(x+c)=logac0,即c1,0c1,故選d.(2)因為f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)或b=1a,所以a+2b=a+2a,又0ab,所以0a1b,令f(a)=a+2a,0af(1)=1+21=3,即a+2b

5、的取值范圍是(3,+),故選c.2.函數(shù)f(x)=loga|x|+1(0a0時,f(x)=logax+1,其圖像可以看作由f(x)=logax的圖像向上平移一個單位長度而得到,因為f(x)=loga|x|+1(0a1)是偶函數(shù),所以x0時的圖像關(guān)于y軸對稱,故選a.探究三對數(shù)函數(shù)的定義域、值域問題例3(1)求下列函數(shù)的定義域:y=lg(2-x);y=log(2x-1)(-4x+8).(2)求下列函數(shù)的值域:y=log2(x2+4);y=log12(3+2x-x2).解析(1)由題意得lg(2-x)0,2-x0,即2-x1,2-x0,解得x1.故函數(shù)y=lg(2-x)的定義域為(-,1.由題意得

6、-4x+80,2x-10,2x-11,解得x12,x1.故函數(shù)y=log(2x-1)(-4x+8)的定義域為12,1(1,2).(2)令t=x2+4,則t4,且y=log2t為增函數(shù),所以y=log2(x2+4)log24=2.即函數(shù)y=log2(x2+4)的值域為2,+).令t=3+2x-x2,則t=-(x-1)2+44,且y=log12t為減函數(shù),所以log12(3+2x-x2)log124=-2.即函數(shù)y=log12(3+2x-x2)的值域為-2,+).思維突破求函數(shù)值域的方法(1)求對數(shù)型函數(shù)的值域時,一般根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)的取值范圍求解.(2)求函數(shù)的值域時,一定要注意定義域

7、對它的影響,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解,當(dāng)函數(shù)中含有參數(shù)時,有時需討論參數(shù)的取值范圍.3.(1)(變條件)把本例(1)中的函數(shù)變成“y=log12(2-x)”,結(jié)果如何?(2)(變條件、變結(jié)論)把本例(1)中x的取值范圍限定為-8,1,其他條件不變,求函數(shù)的值域.解析(1)由題意可知log12(2-x)0,2-x0,所以log12(2-x)log121,2-x0,所以2-x1,2-x0,解得1x0且a1)與y=logax(a0且a1)b.y=x與y=xc.y=lgx與y=lgxd.y=x2與y=lgx2答案c選項a中,y=ax(a0且a1)的定義域為r,y=logax(a0且a1)的定義域為x|

8、x0;選項b中,y=x的定義域為r,y=x的定義域為x|x0;選項c中,兩函數(shù)的定義域均為x|x0;選項d中,y=x2的定義域為r,y=lgx2的定義域為x|xr且x0.故選c.2.函數(shù)f(x)=x+2-lg(1-x)的定義域為()a.-2,1b.-2,1)c.(-2,1)d.-2,+)答案b由題意得x+20,1-x0,解得-2x0,a0且a1),因為對數(shù)函數(shù)的圖像過點m(9,2),所以2=loga9,所以a2=9,因為a0,所以a=3.所以此對數(shù)函數(shù)的解析式為y=log3x.4.函數(shù)y=2+log2x(x1)的值域為.答案2,+)解析當(dāng)x1時,log2x0,所以y=2+log2x2.5.函數(shù)

9、f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a0,a1)的圖像必經(jīng)過點.答案(2,2)解析當(dāng)x=2時,f(2)=a0+loga1+1=2,所以f(x)的圖像必經(jīng)過點(2,2).數(shù)學(xué)抽象定義法判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)f(x)=ln2-x2+x的奇偶性.審:運用函數(shù)的奇偶性的定義,并結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得.聯(lián):當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱時,判斷其奇偶性的等價形式為f(-x)=f(x).解:由2-x2+x0,可得,所以函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),關(guān)于原點對稱.解法一:f(-x)=ln2+x2-x=-f(x),所以函數(shù)f(x)=ln2-x2+x是奇函數(shù).解法二:f(x)+f(-x)=ln2-x2

10、+x+ln2+x2-x=ln1=0,即f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)=ln2-x2+x是奇函數(shù).思:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)都是非奇非偶函數(shù),但并不妨礙它們與其他函數(shù)復(fù)合成奇函數(shù)(或偶函數(shù));含對數(shù)式的函數(shù)的奇偶性一般用f(x)f(-x)=0來判斷,其運算相對簡單.答案-2x0,可得xr,所以函數(shù)f(x)的定義域為r,關(guān)于原點對稱.解法一:因為f(-x)=lg(1+x2+x)=lg(1+x2+x)(1+x2-x)1+x2-x=lg11+x2-x=-lg(1+x2-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)=lg(1+x2-x)是奇函數(shù).解法二:因為f(x)+f(-x)=lg(1+x2-x)+lg(

11、1+x2+x)=lg(1+x2-x)(1+x2+x)=lg(1+x2-x2)=0,所以f(-x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)=lg(1+x2-x)是奇函數(shù).課時達標(biāo)訓(xùn)練1.若f(x)=loga(x-a2-a+6)是對數(shù)函數(shù),則a的值為()a.-3b.2c.-2d.3答案b若f(x)=loga(x-a2-a+6)是對數(shù)函數(shù),則a0,a1,且-a2-a+6=0,所以a=2.故選b.2.(原創(chuàng)題)將函數(shù)y=f(x)中的x,y對調(diào)后整理得到函數(shù)y=3x,則f(1)=()a.-1b.0c.1d.2答案b將函數(shù)y=3x中的x,y對調(diào)后得到x=3y,整理得函數(shù)y=log3x,即f(x)=log3x.故f(

12、1)=log31=0,故選b.3.函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域為()a.(0,1)b.(0,1c.(-,0)(1,+)d.(-,0)1,+)答案c由題意得x2-x0x1或x0,1-2log6x0,解得00,那么ff18的值為.答案127解析由題意得f18=log218=-3,則ff18=f(-3)=3-3=127.7.函數(shù)y=loga(2x-3)+1的圖像恒過定點p,則點p的坐標(biāo)是.答案(2,1)解析當(dāng)2x-3=1,即x=2時,對任意的a0,且a1,都有y=loga1+1=0+1=1,所以函數(shù)y=loga(2x-3)+1的圖像恒過定點(2,1),故點p的坐標(biāo)是(2,1).8.已知函數(shù)

13、f(x)=logax+1x-1(a0,且a1).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解析(1)要使函數(shù)有意義,則有x+1x-10,即x+10,x-10或x+10,x-11或x0,a1)的圖像恒過定點a,若點a也在函數(shù)f(x)=3x+b的圖像上,則b=.答案-1解析由題意得a-2,-89,點a在函數(shù)f(x)=3x+b的圖像上,-89=3-2+b,b=-1.12.已知f(x)=ax2+(b-1)x+2a是定義域為a-1,a的偶函數(shù),則a-b的值為;函數(shù)g(x)=loga(-bx2+a)的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案-12;0,22解析因為f(x)=ax2+(b-1)x+2a是偶函數(shù),所以b=1,因為函數(shù)f(x)的定義域為a-1,a,所以a-1+a=0,所以a=12,所以a-b=-12.所以g(x)=log12-x2+12,由-x2+120,解得-22x0且a1.(1)設(shè)a=2,函數(shù)f(x)的定義域為3,63,求函數(shù)f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)0的x的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2時,函數(shù)f(x)=log2(x+1)為3,63上的增