3年高考2年模擬2021版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用講義新人教B版必修第二冊(cè)

1、第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用探究一對(duì)數(shù)值的大小比較例1(1)下列大小關(guān)系正確的是()a.0.4330.4log40.3b.0.43log40.330.4c.log40.30.4330.4d.log40.330.40.43(2)比較下列各組中兩個(gè)值的大小.log534與log543;log132與log152;log23與log54.答案(1)c解析(1)00.431,log40.30,故選c.(2)解法一:對(duì)數(shù)函數(shù)y=log5x在(0,+)上是增函數(shù),且3443,log534log543.解法二:log5340,log53415,0log213log215,1log2131log215,

2、log132log22=1=log55log54,log23log54.思維突破比較對(duì)數(shù)值大小的方法比較對(duì)數(shù)值的大小主要依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.(1)若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.(2)若底數(shù)為同一字母,則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響,對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較,也可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增大畫出函數(shù)的圖像,再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.1.比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)ln0.3,ln2;(2)loga3.1(a0,且a1),loga5.2(a0,且a1);(3)l

3、og30.2,log40.2;(4)log3,log3.解析(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=lnx是增函數(shù),且0.32,所以ln0.31時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+)上是增函數(shù),又3.15.2,所以loga3.1loga5.2;當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)y=logax在(0,+)上是減函數(shù),又3.1loga5.2.(3)因?yàn)?log0.23log0.24,所以1log0.231log0.24,即log30.23,所以log3log33=1.同理,1=loglog3,所以log3log3.探究二求解對(duì)數(shù)不等式例2(易錯(cuò)題)(1)已知loga121,則a的取值范圍是.(2)已知log0.72x1得loga12loga

4、a.當(dāng)a1時(shí),不等式等價(jià)于a12,無解.當(dāng)0a1時(shí),不等式等價(jià)于12a,從而12a1.a的取值范圍是12,1.(2)函數(shù)y=log0.7x在(0,+)上為減函數(shù),由log0.72x0,x-10,2xx-1,解得x1,即x的取值范圍是(1,+).易錯(cuò)點(diǎn)撥常見的三種類型的對(duì)數(shù)不等式(1)形如logaxlogab的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,那么需分a1與0ab的不等式,應(yīng)先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式,再借助y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logaxlogbx的不等式,可利用函數(shù)圖像求解.2.若a0且a1,loga(2a+1)loga3a0,求a的取值范圍.

5、解析不等式可化為loga(2a+1)loga3a1,2a+10,2a+13a,03a1或0a3a,3a1,解得13a1,即a的取值范圍是13,1.探究三對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性例3求函數(shù)y=log12(-x2+2x+1)的值域和單調(diào)區(qū)間.解析設(shè)t=-x2+2x+1,則t=-(x-1)2+2.y=log12t為減函數(shù),且00,得1-2x0,0x2.令u=-x2+2x,則u(0,1,log12(-x2+2x)log121=0,函數(shù)y=log12(-x2+2x)的值域?yàn)?,+).函數(shù)u=-x2+2x在(0,1上是增函數(shù),在(1,2)上是減函數(shù),y=log12u是減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)y=log

6、12(-x2+2x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,2),單調(diào)減區(qū)間為(0,1.1.設(shè)a=log54,b=log53,c=log45,則()a.acbb.bcac.abcd.bac答案d由于b=log53a=log541log45=c,故bac.2.若loga340且a1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()a.0,34b.0,34(1,+)c.(1,+)d.(0,1)答案b當(dāng)a1時(shí),loga3401,不等式恒成立.當(dāng)0a1時(shí),y=logax為減函數(shù),由loga341=logaa,得0a34.綜上所述,0a1.3.函數(shù)y=log2(2x+1)的值域?yàn)?)a.(0,+)b.(1,+)c.(0,1)d.r答案a令u=2

7、x+1,則u1,所以y=log2(2x+1)=log2u0,故選a.4.比較大小:log0.2log0.23.14(填“”或“=”).答案3.14,log0.2log0.23.14.5.函數(shù)f(x)=log2(x2-1)的增區(qū)間為.答案(1,+)直觀想象數(shù)形結(jié)合求解不等式中含參問題當(dāng)x(1,2)時(shí),不等式(x-1)21,loga21,解得1a2,因此a的取值范圍是(1,2.故選c.已知關(guān)于x的不等式x2logax在x0,12內(nèi)恒成立,則a的取值范圍是.答案116,1解析設(shè)f(x)=x2,g(x)=logax.由題意知,當(dāng)x0,12時(shí),函數(shù)f(x)的圖像在函數(shù)g(x)的圖像的下方,如圖,所以0a

8、1,f12g12,即0a1,14loga12,解得116a0,1+x0,得-1x1,即f(x)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.f(-x)=lg1+x1-x=-lg1-x1+x=-f(x),f(x)為奇函數(shù).故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.若loga(a2+1)loga2a0且a1,(a2+1)-2a=(a-1)20,a2+12a.0a1.又loga2a1a12.綜上,a的取值范圍是12,1.3.已知函數(shù)f(x)=2log13x的值域?yàn)?1,1,則函數(shù)f(x)的定義域是()a.-1,1b.33,3c.33,3d.-3,3答案b由-12log13x1,得-12log13x12,即log

9、1313-12log13xlog131312,解得33x3.4.函數(shù)f(x)=log12x的單調(diào)遞增區(qū)間是()a.0,12b.(0,1c.(0,+)d.1,+)答案d函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,由圖像可知其單調(diào)遞增區(qū)間為1,+).5.已知f(x)=loga(2-ax)在0,1上為減函數(shù),則a的取值范圍是()a.(0,1)b.(1,2)c.(0,2)d.2,+)答案b令y=2-ax,由題意知a0,且a1,所以y=2-ax為減函數(shù),故要使f(x)=loga(2-ax)在0,1上是減函數(shù),則需a1,且y=2-ax0在x0,1上恒成立,即2-a0,故1alog12(3-x)的解集為.答案x|-12x0

10、,3-x0,2x+1-12,x3,x23-12x0,且a1)在2,4上的最大值與最小值的差是1,則a的值為.答案2或12解析當(dāng)a1時(shí),函數(shù)y=logax在2,4上是增函數(shù),所以loga4-loga2=1,即loga42=1,所以a=2.當(dāng)0ab1;0baa1;0ab0,解得x0,因此f(x)的定義域?yàn)?0,+).(2)任取x1,x2(0,+),且x1x2,則04x1-14x2-1,所以log4(4x1-1)log4(4x2-1),即f(x1)0,得x(-,-1)(1,+),故a中論述正確;當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lg(x2-1),x2-1(0,+),則f(x)=lg(x2-1)的值域?yàn)閞,故b中

11、論述錯(cuò)誤,c中論述正確;若f(x)在區(qū)間2,+)上單調(diào)遞增,則y=x2+ax-a-1的圖像的對(duì)稱軸方程為x=-a22,解得a-4.但當(dāng)a=-4時(shí),f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2時(shí)無定義,故d中論述錯(cuò)誤.故選ac.11.已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若ab,且f(a)=f(b),則a+b的取值范圍是()a.(1,+)b.1,+)c.(2,+)d.2,+)答案cf(x)=|lgx|的圖像如圖所示,由題可設(shè)0a1,|lga|=-lga,|lgb|=lgb,-lga=lgb,即1a=b,a+b=a+1a(0a1).函數(shù)y=x+1x(0x2,即a+b的取值范圍是(2,+).12.函數(shù)y=log

12、2(-x2+4x)的定義域是,增區(qū)間是.答案(0,4);(0,2(或者(0,2)解析由-x2+4x0,解得0x0的條件下的增區(qū)間,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得,在滿足t0的條件下,函數(shù)t=-x2+4x的增區(qū)間是(0,2.故函數(shù)y=log2(-x2+4x)的增區(qū)間為(0,2.13.(2019山東寧陽(yáng)一中高一月考)已知函數(shù)f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1在r上單調(diào)遞減,那么a的取值范圍是.答案17,13解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1在r上單調(diào)遞減,所以3a-10,0a1,(3a-1)1+4aloga1,解得17a0且a1),設(shè)h(x)=f(x)-

13、g(x).(1)求函數(shù)h(x)的定義域;(2)判斷h(x)的奇偶性,并說明理由;(3)若f(3)=2,求使h(x)-1,g(x)=loga(1-x)的定義域?yàn)閤|x1,h(x)=f(x)-g(x)的定義域?yàn)閤|-1x1.(2)h(x)為奇函數(shù).理由:h(x)的定義域?yàn)閤|-1x1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,h(x)=f(x)-g(x)=loga(1+x)-loga(1-x),h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1+x)-loga(1-x)=-h(x),h(x)為奇函數(shù).(3)f(3)=loga(1+3)=loga4=2,a=2.h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),

14、h(x)0等價(jià)于log2(1+x)log2(1-x),1+x0,1-x0,解得-1x0.故使h(x)0成立的x的取值范圍是x|-1x0.15.已知函數(shù)f(x)=|log3x|,實(shí)數(shù)m,n滿足0mn,且f(m)=f(n),若f(x)在m2,n上的最大值為2,則nm=.答案9解析因?yàn)閒(x)=|log3x|=-log3x,0x1,log3x,x1,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在1,+)上單調(diào)遞增,由0mn且f(m)=f(n),可得0m1,log3n=-log3m,則0m1,mn=1,所以0m2mf(m)=f(n),所以f(x)在m2,n上的最大值為f(m2)=-log3m2=2,解得m=1

15、3,則n=3,所以nm=9.16.f(x)=ex-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)2,則a的取值范圍是.答案-12,0解析由題意得,f(x)的定義域?yàn)?-1,1),設(shè)g(x)=f(x)-1=ex-e-x+ln1+x1-x(x(-1,1),又g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是奇函數(shù),因?yàn)閒(a)+f(1+a)2,所以f(1+a)-1-f(a)+1,所以f(1+a)-1-f(a)-1,即g(1+a)-g(a)=g(-a),因?yàn)閥=ex-e-x在(-1,1)上單調(diào)遞增,y=ln1+x1-x在(-1,1)上單調(diào)遞增,所以g(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,則-1a1,-11+

16、a-a,解得-12a0.滾動(dòng)提升練(一)一、選擇題1.若10x=3,10y=4,則103x-2y=()a.-1b.1c.2716d.910答案c依題意得,103x-2y=103x102y=(10x)3(10y)2=3342=2716.故選c.2.已知f(x)=1+log2(2-x),x1,2x-1,x1,則f(-2)+f(2)的值為()a.6b.5c.4d.3答案b由題意得f(-2)+f(2)=1+log24+2=5,故選b.3.已知a=0.42,b=30.4,c=log40.3,則()a.cbab.cabc.acbd.abc答案b0a=0.4230=1,c=log40.3log41=0,故c

17、ab,故選b.4.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2-x與y=-log2x的圖像都正確的是()答案a因?yàn)閥=2-x=12x,所以函數(shù)單調(diào)遞減,排除b,d.因?yàn)閥=-log2x=log12x,所以函數(shù)單調(diào)遞減,排除c.故選a.5.(多選)若0mn1,則()a.log4mlog4nb.3n3mc.logm314n答案ad因?yàn)閥=log4x在(0,+)上單調(diào)遞增,且0mn1,所以log4mlog4n,故a正確;因?yàn)閥=3x在r上單調(diào)遞增,且0mn3m,故b錯(cuò)誤;取m=14,n=12,則logm3logn3,故c錯(cuò)誤;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知d正確.故選ad.6.下列函數(shù)的定義域與函數(shù)f(x)=15x的值

18、域相同的是()a.y=|x|+2xb.y=lnx-2xc.y=1xd.y=x+1x答案b函數(shù)f(x)=15x的值域?yàn)?0,+),函數(shù)y=|x|+2x的定義域?yàn)閞;函數(shù)y=lnx-2x的定義域?yàn)?0,+);函數(shù)y=1x的定義域?yàn)?-,0)(0,+);函數(shù)y=x+1x的定義域?yàn)?-,0)(0,+).故選b.二、填空題7.(2019天津高一期末)函數(shù)f(x)=1x+1-log3(4-x)的定義域?yàn)?答案x|-1x0,4-x0,解得-1x0且a1)的圖像恒過定點(diǎn)p(m,n),則m+n=,函數(shù)g(x)=ex2+nx的單調(diào)遞增區(qū)間為.答案2;(-1,+)解析由題意得,f(0)=2,因此有m=0,n=2m+

19、n=2.因此g(x)=ex2+2x=e(x+1)2-1,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)g(x)=ex2+nx的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+).9.給出下列四個(gè)命題:若f(x)=x2-2ax在1,+)上是增函數(shù),則a=1;函數(shù)y=log2(-x2+2x+3)的最大值是2;函數(shù)y=2|x|的最小值是1;函數(shù)f(x)=xlg(x+1+x2)是偶函數(shù),其中真命題的序號(hào)是.答案解析f(x)=x2-2ax的圖像的對(duì)稱軸為直線x=a,因?yàn)閒(x)在1,+)上是增函數(shù),所以a1,所以為假命題.設(shè)t=-x2+2x+3,則t=-(x-1)2+44,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得log2(-x2+2x+3)log24=2,故為真命題.設(shè)t=|x|0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有y=2|x|20=1,故為真命題.令g(x)=lg(x+1+x2),易知其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又