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1、指點迷津指點迷津( (二二) )球與空間幾何體的切接問題球與空間幾何體的切接問題第七章第七章20221.外接球的問題球面經(jīng)過多面體的所有頂點的球,叫多面體的外接球.球面經(jīng)過旋轉(zhuǎn)體的底面圓周和頂點(如果有頂點的話)的球,叫旋轉(zhuǎn)體的外接球.解決外接球的問題,要注意球心到頂點的距離就是球的半徑,長方體外接球的直徑就是長方體的對角線長,三棱錐的外接球要找出三棱錐的底面截球所得的截面圓,畫出以這個截面圓的直徑為弦的球的大圓,把問題轉(zhuǎn)化為研究圓的問題,利用大圓的弦(三棱錐底面外接圓的直徑)和球半徑之間的關(guān)系,求出球的半徑,那么問題就容易解決了.旋轉(zhuǎn)體的外接球問題,要畫出軸截面,把問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓的問

2、題來解決.思路分析計算空間幾何體外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,結(jié)合球心與截面圓圓心的距離、球半徑、截面圓半徑所構(gòu)造的直角三角形勾股關(guān)系求解.方法總結(jié)要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見方法有:若三棱錐的三條棱兩兩垂直則用4r2=a2+b2+c2(a,b,c為三條棱的長);若sa平面abc(sa=a),則4r2=4r2+a2(r為abc外接圓半徑);可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.變式發(fā)散若本例(1)中,三棱錐p-abc的底面abc變?yōu)檫呴L為 的等邊三角形,其他條件不變,求該三棱錐外接球的表面積.2.內(nèi)切球的問題與多面體(或旋轉(zhuǎn)

3、體)的各個面都相切的球,叫做多面體(或旋轉(zhuǎn)體)的內(nèi)切球.解答內(nèi)切球的問題時,首先要找準(zhǔn)切點,通過部分切點和球心作球的大圓截面來解決.如正四面體的內(nèi)切球,要用兩個切點和球心三點確定的平面作截面,如圖截面三角形只有兩條邊和球的大圓相切,有了這個截面圖形,問題轉(zhuǎn)化為三角形和圓的問題,再利用切點是等邊三角形的中心,那么問題很容易解決.【例2】 設(shè)球o內(nèi)切于正三棱柱abc-a1b1c1,則球o的體積與正三棱柱abc-a1b1c1的體積的比值為.方法總結(jié)處理球的“切”問題的求解策略與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體與旋轉(zhuǎn)體,解答時首先要找準(zhǔn)切點,通過作截面來解決.如果內(nèi)切于多面體,則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.答案 b 對點練習(xí)2球o與棱長為2的正方體abcd-a1b1c1d1的各個面都相切,點

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