保險精算第三章PPT演示文稿

1、1/25知識回顧知識回顧n生命的分布函數(shù)、生存函數(shù)、余命、生命的分布函數(shù)、生存函數(shù)、余命、t的分布函數(shù)、的分布函數(shù)、 t的生的生存函數(shù)、概率密度函數(shù)存函數(shù)、概率密度函數(shù)nk(x)、 k(x)與與t(x)的關(guān)系的關(guān)系n死力的定義，計算公式，與生存函數(shù)的關(guān)系，與死力的定義，計算公式，與生存函數(shù)的關(guān)系，與t的概率密的概率密度函數(shù)的關(guān)系。度函數(shù)的關(guān)系。2/25學(xué)習目標學(xué)習目標n掌握生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。掌握生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。n掌握死亡數(shù)，死亡率的含義，計算。掌握死亡數(shù)，死亡率的含義，計算。n掌握生存率的含義，計算。掌握生存率的含義，計算。n掌握掌握n n年內(nèi)生存概率，年內(nèi)生存概

2、率，n n年內(nèi)死亡概率的計算公式，年內(nèi)死亡概率的計算公式，n掌握平均余命或生命期望值的計算。掌握平均余命或生命期望值的計算。n掌握完全平均余命的計算掌握完全平均余命的計算3/25 3.2 生命表生命表n生命表是壽險精算的科學(xué)基礎(chǔ)生命表是壽險精算的科學(xué)基礎(chǔ),它是壽險費率和責任準備金它是壽險費率和責任準備金計算的依據(jù)，也是壽險成本核算的依據(jù)。計算的依據(jù)，也是壽險成本核算的依據(jù)。n3.2.1 生命表的含義：生命表的含義： 生命表是根據(jù)已往生命表是根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制編制的由每個年齡死亡率所組成的匯總表。生命表是過去經(jīng)驗的由每個年齡死亡率所組成的

3、匯總表。生命表是過去經(jīng)驗的記錄，通常用于預(yù)測那些將來和過去情況大致相同的未的記錄，通常用于預(yù)測那些將來和過去情況大致相同的未來事件來事件 。生命表中最重要的就是設(shè)計產(chǎn)生每個年齡的死亡。生命表中最重要的就是設(shè)計產(chǎn)生每個年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、習性、以往病史、種族、居住環(huán)境等。一般情況下，在設(shè)習性、以往病史、種族、居住環(huán)境等。一般情況下，在設(shè)計生命表時，只注重考慮年齡和性別。計生命表時，只注重考慮年齡和性別。 4/25n生命表可分為：生命表可分為：(1) 國民生命表國民生命表。國民生命表是根據(jù)全體國。國民生命表是

4、根據(jù)全體國民或者以特定地區(qū)人口的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)編制的生命表，主民或者以特定地區(qū)人口的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)編制的生命表，主要來源于人口普查的統(tǒng)計資料。要來源于人口普查的統(tǒng)計資料。(2) 經(jīng)驗生命表經(jīng)驗生命表。經(jīng)驗生命。經(jīng)驗生命表是根據(jù)人壽保險、社會保險以往的死亡記錄表是根據(jù)人壽保險、社會保險以往的死亡記錄(經(jīng)驗經(jīng)驗)所編制所編制的生命表。保險公司使用的是經(jīng)驗生命表，主要因為國民的生命表。保險公司使用的是經(jīng)驗生命表，主要因為國民生命表是全體國民生命表，沒有經(jīng)過保險公司的風險選擇，生命表是全體國民生命表，沒有經(jīng)過保險公司的風險選擇，一般情況下與保險公司使用的生命表中的死亡率不同。一般情況下與保險公司使用的生命

5、表中的死亡率不同。n生命表的特點生命表的特點構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）布假定（非參數(shù)方法）5/25n3.2.2 生命表的內(nèi)容生命表的內(nèi)容n在生命表中，首先要選擇初始年齡且假定在該年齡生存的一在生命表中，首先要選擇初始年齡且假定在該年齡生存的一個合適的人數(shù)，這個數(shù)稱為個合適的人數(shù)，這個數(shù)稱為基數(shù)基數(shù)。一般選擇。一般選擇0歲為初始年齡，歲為初始年齡，并規(guī)定此年齡的人數(shù)，通常取整數(shù)如并規(guī)定此年齡的人數(shù)，通常取整數(shù)如10萬、萬、100萬、萬、1000萬萬等。等。 在生命表中還規(guī)定最高年齡，用在生命表中還規(guī)定最

6、高年齡，用w表示，滿足表示，滿足lw+1=0。一般的生命表中都包含以下內(nèi)容：一般的生命表中都包含以下內(nèi)容： (1) x: 年齡年齡. (2)lx: 生存數(shù)，是指從初始年齡至滿生存數(shù)，是指從初始年齡至滿x歲尚生存的人數(shù)。歲尚生存的人數(shù)。 例：例：l25表示在初始年齡定義的基數(shù)中有表示在初始年齡定義的基數(shù)中有l(wèi)25人活到人活到25歲。歲。 1) lx表示自出生至滿表示自出生至滿x歲時尚存活人數(shù)的期望值。歲時尚存活人數(shù)的期望值。 2) lx為連續(xù)函數(shù)，隨年齡為連續(xù)函數(shù)，隨年齡x增加而遞減。但生命表中則以增加而遞減。但生命表中則以6/25 整數(shù)年齡表示，在整數(shù)年齡表示，在0歲附近死亡率變化較大，從而生

7、存人數(shù)在歲附近死亡率變化較大，從而生存人數(shù)在短期內(nèi)也有顯著差異。短期內(nèi)也有顯著差異。 3) 通常以通常以l0=10 000 000人為基數(shù)，表示出生時的人數(shù)，若存活人為基數(shù)，表示出生時的人數(shù)，若存活函數(shù)函數(shù)s(x)為生存至為生存至x歲時的生存概率，則所有歲時的生存概率，則所有l(wèi)0人在人在x歲時有歲時有l(wèi)0 *s(x)人仍生存，此即為在人仍生存，此即為在x歲時的所有生存人數(shù)歲時的所有生存人數(shù)lx ，故，故 lx= l0 *s(x)n(3) dx：死亡數(shù)，是指：死亡數(shù)，是指x歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù),即指即指x歲的歲的生存數(shù)生存數(shù)lx人中，經(jīng)過人中，經(jīng)過1年死亡的人數(shù)。年死

8、亡的人數(shù)。 1) dx表示表示x歲的生存人數(shù)歲的生存人數(shù)lx中，經(jīng)過整中，經(jīng)過整1年所死亡的人數(shù)，亦即年所死亡的人數(shù)，亦即lx中自中自x歲至歲至x+1歲間歲間1年內(nèi)死亡的人數(shù)，稱為年內(nèi)死亡的人數(shù)，稱為x歲的死亡人數(shù)。歲的死亡人數(shù)。7/25n例例3.2.1 404041dll9 292 079 -9 259 817 =32 262(人人) n(4) 極限年齡極限年齡,即生命的最高年齡，以即生命的最高年齡，以w表示，表示，lw+1=0.(5) qx:死亡率，表示死亡率，表示x歲的人在歲的人在1年內(nèi)死亡的概率。年內(nèi)死亡的概率。 1) qx表示表示x歲的人在歲的人在1年內(nèi)死亡的概率。年內(nèi)死亡的概率。1

9、xxxxxxdllqll 2)1xxxxdlll n2)8/25n另：另：( )(1)( )xs xs xqs x9/25(6) px:生存率，表示生存率，表示x歲的人在歲的人在1年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。 即到即到x +1歲時仍生存的概率。歲時仍生存的概率。 1) px 表示表示x歲的人經(jīng)過歲的人經(jīng)過1年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。11xxxxlpql 2)1xxpq 3)（7）npx表示表示x歲的人在歲的人在n年后仍生存的概率。年后仍生存的概率。10/25 意義：意義： (x)在在 x+m+n年后仍年后仍生存的概率等于生存的概率等于x在在m年后仍生存的概率，乘以至年后仍生存

10、的概率，乘以至x+m歲時歲時又生存了又生存了n年的概率，因為兩者是相依事件，所以要用乘法。年的概率，因為兩者是相依事件，所以要用乘法。m nxmxnm xppp11/25（8）nqx: x歲的人在歲的人在n年內(nèi)死亡的概率。如下圖年內(nèi)死亡的概率。如下圖12/25（9）m|nqx：x歲的人在歲的人在x+m歲與歲與x+m+n歲的歲的n年內(nèi)死亡的年內(nèi)死亡的概率。概率。13/25n如圖所示：如圖所示：當當n=1時，用時，用m| qx表示表示x歲的人在生存歲的人在生存m年后的那一年年后的那一年(m+1年年)中內(nèi)死亡的概率。則：中內(nèi)死亡的概率。則：14/2515/25n(10)ex：平均余命或生命期望值：平

11、均余命或生命期望值 1) ex表示現(xiàn)年表示現(xiàn)年x歲的人尚可再生存若干年的平均數(shù)，即每歲的人尚可再生存若干年的平均數(shù)，即每一個到達一個到達x歲的人，今后仍生存的平均年數(shù)。歲的人，今后仍生存的平均年數(shù)。 2) 假定死亡者都在年初死亡，則假定死亡者都在年初死亡，則x歲后第歲后第1年全體生存的年全體生存的年數(shù)共年數(shù)共lx+1年，同理，第年，同理，第2年全體生存年數(shù)為年全體生存年數(shù)為lx+2年。依此類年。依此類推，此推，此x歲的人的總生存年數(shù)為歲的人的總生存年數(shù)為123()xxxxxllllel123xxxllll16/25n 但事實上這一現(xiàn)象并不合理，因為不可能所有的人都在年但事實上這一現(xiàn)象并不合理，

12、因為不可能所有的人都在年初死亡，于是假定初死亡，于是假定1年內(nèi)死亡人數(shù)呈均勻分布，或可假定于年內(nèi)死亡人數(shù)呈均勻分布，或可假定于年中死去，即每人應(yīng)該比年初死亡多活半年，年中死去，即每人應(yīng)該比年初死亡多活半年， 所以定義，所以定義， 并稱此為并稱此為完全平均余命或完全完全平均余命或完全生命期望值生命期望值。n例例3.2.4 下表為某個生命表的一部分下表為某個生命表的一部分0.5xxee17/2518/25n根據(jù)這部分生命表，我們可以算出各種有用的概率。例如，根據(jù)這部分生命表，我們可以算出各種有用的概率。例如，查表可得查表可得34歲的人在歲的人在35歲以前死亡的概率為歲以前死亡的概率為q34=0.0

13、0150n34歲的人在歲的人在35歲仍活著的概率為歲仍活著的概率為p34=1- q34=0.99850n兩年后仍活著的概率為兩年后仍活著的概率為2p34= p34 *p35=p34 *(1- q35) =0.99691n在兩年內(nèi)死亡的概率為在兩年內(nèi)死亡的概率為2q34 =1- 2p34=0.00309n在在36歲歲37歲之間死亡的概率為歲之間死亡的概率為2|q34 =2p34 *q36=0.00169n例例3.2.5 已知已知20歲的生存人數(shù)為歲的生存人數(shù)為1 000人，人，21歲的生存人數(shù)歲的生存人數(shù)為為998人，人，22歲的生存人數(shù)為歲的生存人數(shù)為992人。試求人。試求20歲的人在歲的人在

14、2l歲那歲那年死亡的概率年死亡的概率1|q20n (0.06)19/25n例例3.2.6 已知已知40歲的死亡率為歲的死亡率為0.04，41歲的死亡率為歲的死亡率為0.06，而而42歲的人生存至歲的人生存至43歲的概率為歲的概率為0.92。如果。如果40歲生存人數(shù)為歲生存人數(shù)為100人，求人，求43歲時的生存人數(shù)。歲時的生存人數(shù)。n83.0208(人人)n(11) n完全平均余命完全平均余命 是隨機變量的數(shù)學(xué)期望，即：是隨機變量的數(shù)學(xué)期望，即：xxee和xe20/25n(3.2.11)式的證明過程：式的證明過程：注意注意 ，因為，因為 t 大于一定年數(shù)之后大于一定年數(shù)之后 等于零等于零21/2

15、5取整平均余命是取整余命取整平均余命是取整余命k(x)的數(shù)學(xué)期望，記為的數(shù)學(xué)期望，記為ex，即，即(3.2.12)(3.2.13)(3.2.14)22/2523/25知識小結(jié)知識小結(jié)n生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。生命表中生存數(shù)的表示方法，含義。n死亡數(shù)，死亡率的含義，計算。死亡數(shù)，死亡率的含義，計算。n生存率的含義，計算。生存率的含義，計算。nn n年內(nèi)生存概率，年內(nèi)生存概率，n n年內(nèi)死亡概率的計算公式，理解年內(nèi)死亡概率的計算公式，理解n平均余命或生命期望值的計算。平均余命或生命期望值的計算。n完全平均余命的計算完全平均余命的計算24/25練習題：練習題：n1.給出生存函數(shù)給出生存函數(shù)

16、，求：，求： (1)人在人在50歲歲60歲之間死亡的概率。歲之間死亡的概率。 (2)50歲的人在歲的人在60歲以前死亡的概率。歲以前死亡的概率。 (3)人能活到人能活到70歲的概率。歲的概率。 (4)50歲的人能活到歲的人能活到70歲的概率。歲的概率。n 2.已知已知 求求n3.已知已知2( )exp()2500 xs x 5(60)60.1895,pt (60)50.92094p t60q8080810.07,3129,qdl求25/25練習題：練習題：n4.設(shè)某群體的初始人數(shù)為設(shè)某群體的初始人數(shù)為3000人，人，20年內(nèi)的預(yù)期死亡人數(shù)為年內(nèi)的預(yù)期死亡人數(shù)為240人，第人，第21年和第年和第22年的死亡人數(shù)分別為年的死亡人數(shù)分別為15人和人和18人。求人。求生存函數(shù)生存函數(shù)s(x)在在20歲、歲、21歲