2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章一元二次函數(shù)方程和不等式2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué)案含解析新人教A版必修第一冊(cè)

1、2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第1課時(shí)一元二次不等式及其解法學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.掌握一元二次不等式的解法(重點(diǎn))2.能根據(jù)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(難點(diǎn))通過(guò)一元二次不等式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).(1)已知三個(gè)方程：x24x30；x24x40；x24x50.(2)已知三個(gè)函數(shù)y1x24x3，y2x24x4，y3x24x5及三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象問(wèn)題：(1)中三個(gè)方程的解分別為x11，x23；x1x22；無(wú)解，(2)中三個(gè)函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為1,3；2；無(wú)交點(diǎn)由圖象觀察可知在(2)中三個(gè)函數(shù)中，x分別取何值函數(shù)值為正、負(fù)？提示：對(duì)于y1x24x3，當(dāng)x1或x3時(shí)，

2、y1x24x30，當(dāng)1x3時(shí)，y1x24x30；對(duì)于y2x24x4，當(dāng)x2時(shí)，y2x24x40；對(duì)于y3x24x5，當(dāng)xr時(shí)，y3x24x50.1一元二次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)思考1：不等式x2y20是一元二次不等式嗎？提示：此不等式含有兩個(gè)變量，根據(jù)一元二次不等式的定義可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)一元二次不等式的解，其解的集合，稱(chēng)為這個(gè)一元二次不等式的解集思考2：類(lèi)比“方程x21的解集是1，

3、1，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含義是什么？提示：不等式x21的解集為x|x1，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，即不等式的每一個(gè)解均使不等式成立4三個(gè)“二次”的關(guān)系設(shè)yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式y(tǒng)0或y0的步驟求方程y0的解有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1x2沒(méi)有實(shí)數(shù)根畫(huà)函數(shù)yax2bxc(a0) 的圖象解不等式y(tǒng)0或y0的步驟得等的集不式解y0x|xx1_或xx2ry0x|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x10的解集為r，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？提示：結(jié)合二次函數(shù)圖象可知

4、，若一元二次不等式ax2x10的解集為r，則解得a，所以不存在a使不等式ax2x10的解集為r.1思考辨析(正確的畫(huà)“”，錯(cuò)誤的畫(huà)“”)(1)mx25x0，則一元二次不等式ax210無(wú)解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1，x2(x1x2)，則一元二次不等式ax2bxc0的解集為x|x1x0的解集為r.()提示(1)錯(cuò)誤當(dāng)m0時(shí)，是一元一次不等式；當(dāng)m0時(shí)，是一元二次不等式(2)錯(cuò)誤因?yàn)閍0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的解集為r.(3)錯(cuò)誤當(dāng)a0時(shí)，ax2bxc0的解集為x|x1xx2，否則不成立(4)正確因?yàn)?2)2120的解集為r.答案(1)(2)(3)(4)2不

5、等式3x22x10的解集為()a.bc drd因?yàn)?2)243141280，所以不等式3x22x10的解集為r.3不等式35x2x20的解集為()a.b.c.drc35x2x202x25x30(x3)(2x1)0x3或x.4若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)x3或x4要使有意義，則x2x120，(x3)(x4)0，x3或x4.一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x27x30；(2)4x218x0；(3)2x23x20，所以方程2x27x30有兩個(gè)不等實(shí)根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為0，所以原不等式的解集為.(3)原

6、不等式可化為2x23x20，因?yàn)?42270；(2)x24x40；(3)x22x30.解(1)0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x20的解集為.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x40的解集為.(3)原不等式可化為x22x30，由于0，方程x22x30無(wú)解，不等式x22x30的解集為r.(4)原不等式可化為3x25x20，方程3x25x20的兩根為x1，x21，不等式3x25x20的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10.思路點(diǎn)撥對(duì)于二次項(xiàng)的系數(shù)a是否分a0，a0三類(lèi)進(jìn)行討論？當(dāng)a0時(shí)，是否還要比較兩根的大小

7、？解當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(ax1)(x1)0.當(dāng)a0，1，x1.當(dāng)a0時(shí)，原不等式可化為(x1)0.若1，則x1，即0a1，則1x.綜上所述，當(dāng)a1；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為.解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟提醒：對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論的每一種情況是相互獨(dú)立的一元二次不等式的解集，不能合并2解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a0)解原不等式移項(xiàng)得ax2(a2)x20，化簡(jiǎn)為(x1)(ax2)0.a0，(x1)0.當(dāng)2a0時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，x1；當(dāng)a2時(shí)，1x.綜上所述，當(dāng)2a0時(shí)，解集為；當(dāng)a2時(shí)，解集為x|x1；當(dāng)a0，y0時(shí)自變量x組成的集合，亦即二次函

8、數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合x(chóng)|x3；同理，滿(mǎn)足y0時(shí)x的取值集合為x|1x0(a0)或ax2bxc0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y0時(shí)，函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y0或y0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？這又說(shuō)明什么？提示：方程x22x30的解集為1,3不等式x22x30的解集為x|x3，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x30解集的端點(diǎn)值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc0(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|xx2，x|x1xx2(x10(a0)和ax2bxc0)的解集分別為x|

9、xx2，x|x1xx2(x10的解集為x|2x3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5，6且a0.c0，即x2x0，即x2x0的解集為x|2x3變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa0的解集解由

10、ax2bxc0的解集為知a0.又20，則c0.又，2為方程ax2bxc0的兩個(gè)根，.又，ba，ca，不等式cx2bxa0變?yōu)閤2xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為.已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式；(3)約去 a， 將不等式化為具體的一元二次不等式求解.1掌握1個(gè)知識(shí)點(diǎn)一元二次不等式的解法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：化不等式為

11、標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc圖象的簡(jiǎn)圖；由圖象得出不等式的解集(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解當(dāng)m0)，一根(0)，無(wú)根(2x的解集是_x|x5或x2x，得x24x50，因?yàn)閤24x50的兩根為1,5，故x24x50的解集為x|x52不等式x26x100的解集為_(kāi)原不等式可化為x26x100，364040，方程x26x100無(wú)實(shí)根，原不等式的解集為.3設(shè)a1，則關(guān)于x的不等式a(xa)0的解集為_(kāi)因?yàn)閍1，所以a(xa)0.又aa，所以x或xa.4已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為_(kāi)由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個(gè)根且a0，即為2x2