求展開式系數(shù)的六種常見類型

1、.求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考常考題型之一,本文以高考題為例，對二項式定理試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一 、型例1的展開式中項的系數(shù)是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通項公式中令=4，即得的展開式中項的系數(shù)為=840,故選A。 例2展開式中的系數(shù)為 。解析：通項公式 ，由題意得，則，故所求的系數(shù)為。評注：常用二項展開式的通項公式求二項展開式中某特定項的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定的值。二 、型例3的展開式中整理后的常數(shù)項等于 .解析；的通項公式為,令，則,這時得的展開式中的常數(shù)項為=32, 的通項公式為,令，則,這時得的

2、展開式中的常數(shù)項為=70，故的展開式中常數(shù)項等于。例4在的展開式中，含的項的系數(shù)是（ ）(A) (B) 5 (C) (D) 10解析：中的系數(shù), 中的系數(shù)為,故的展開式中的系數(shù)為,故選D 。評注：求型如的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式加減法求得所求項的系數(shù)。三 、型例5的展開式中項的系數(shù)是 。解析：的展開式中、的系數(shù)分別為和，故的展開式中項的系數(shù)為+=1008。例6的展開式中的系數(shù)是（ ） （A ） （B ） （C ） （D） 略解：的展開式中、的系數(shù)分別為和,故 展開式中的系數(shù)為,故選B。評注：求型如的展開式中某一項的系數(shù)，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的

3、系數(shù)。四 、型例7的展開式中整理后的常數(shù)項為 .解法一：=，通項公式, 的通項公式為,令，則，可得或或。當時，得展開式中項為；當時,，得展開式中項為；當時，得展開式中項為。綜上，的展開式中整理后的常數(shù)項為。解法二：=，對于二項式中，要得到常數(shù)項需，即。所以，常數(shù)項為。解法三：是5個三項式相乘。常數(shù)項的產(chǎn)生有三種情況：在5個相乘的三項式中，從其中一個取，從另外4個三項式中選一個取，從剩余的3個三項式中取常數(shù)項相乘，可得；從其中兩個取，從另外3個三項式中選兩個取，從剩余的1個三項式中取常數(shù)項相乘，可得；從5個相乘的三項式中取常數(shù)項相乘，可得=。綜上，的展開式中整理后的常數(shù)項為。評注：解法一、解法二

4、的共同特點是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項式轉(zhuǎn)化為二項式來解決。解法三是利用二項式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五 、 型例8在的展開式中，項的系數(shù)是。（用數(shù)字作答）解析：由題意得項的系數(shù)為。例9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=中的系數(shù)為，中的系數(shù)為,126+5= 121,故選D。評注：例8的解法是先求出各展開式中項的系數(shù)，然后再相加；例9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1x)，公比為(1x)的等比數(shù)列的前4項和，用等比數(shù)列求和公式減少項數(shù)，簡化了運算。例8和例9的解答方法是求的展開式中某特定項系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六 、求展開式中若干項系數(shù)的和或差例10若，則。(用數(shù)字作答)解析：在中，令，則，令，則故=2003+。例11，則的值為（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在中，令，可得，令，可得所以，=1,故選A。評注：求展開式中若干項系數(shù)的和或差常采用“賦值法”。賦值法是給代數(shù)式(或方程或函數(shù)表達式)中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達到便于解決問題的目的，它普遍適用于恒等式