線性代數(shù)課后習(xí)題答案復(fù)旦大學(xué)出版社熊維玲

1、第一章3.如果排列是奇排列,則排列的奇偶性如何？解：排列可以通過對排列經(jīng)過次鄰換得到，每一次鄰換都改變排列的奇偶性，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，排列為奇排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，排列為偶排列。4. 寫出4階行列式的展開式中含元素且?guī)ж?fù)號的項(xiàng).解：含元素的乘積項(xiàng)共有，六項(xiàng)，各項(xiàng)列標(biāo)排列的逆序數(shù)分別為， 故所求為，。5.按照行列式的定義,求行列式的值.解：根據(jù)行列式的定義，非零的乘積項(xiàng)只有，其中，故行列式的值等于： 6. 根據(jù)行列式定義,分別寫出行列式的展開式中含的項(xiàng)和含的項(xiàng).解：展開式含的乘積項(xiàng)為含的乘積項(xiàng)為8. 利用行列式的性質(zhì)計(jì)算下列行列式： 解： (1) (2) （第二行與第四行相同）(3) (4) 9.若=0

2、,求解： 即有：11. 利用行列式按行或列展開的方法計(jì)算下列行列式： 解： (2) ，其中：，.帶入上式即可。12. 設(shè)4階行列式，求 .解：顯然，行列式按第四列展開，即得。注意到該行列式的第四列與第一列元素成比例，其值為0，故.14. 當(dāng)、取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？解：當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，齊次線性方程組有非零解，于是要求b15.計(jì)算下列行列式:(1) （加邊法）（第二列的倍第列的倍都加到第一列） (2) (3) (4) 記，由范德蒙行列式的結(jié)論可知，. 第二章矩陣 1（本題為類似題）設(shè)， 求解:2（部分原題，部分類似題）計(jì)算下列乘積：(1)； (2)； (3)；(4)；(5).解:(1)

3、(2) (3) (4) (5) (6) 3求其中為自然數(shù)，解：時(shí)，時(shí)，設(shè)時(shí)，；則時(shí)，有故：由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意的自然數(shù)，有4矩陣a稱為反對稱矩陣，若。已知a為階反對稱矩陣，b為為階對稱矩陣，試問ba-ab是對稱矩陣還是反對敵矩陣？試證明你的結(jié)論。 答：ba-ab是一個(gè)對稱矩陣。證明如下：因?yàn)椋核裕篵a-ab是對稱矩陣。5（部分原題，部分類似題）求下列矩陣的逆矩陣（請注意伴隨矩陣的計(jì)算公式）：(1)； (2)； (3)； (4)解：(1) ，故存在=(2) ，故存在(3) ，故存在 ，(4)由對角矩陣的性質(zhì)知6（部分原題，部分類似題）解下列矩陣方程：(1)； (3)；(2)； (4).解：(

4、1)；(2) ；(3)；(4)7設(shè)(為正整數(shù))，證明.（請注意證明過程的邏輯性要正確）證明：由于，于是有兩端同時(shí)右乘得8設(shè)矩陣；（1）求；（2）證明矩陣a可逆，并求出；（3）求解：（1）（2）因?yàn)樗?，故a可逆。又因?yàn)椋?）； ，9（本題為類似題）設(shè)方陣滿足，證明及都可逆，并求及.證明：由得于是，即，故，所以可逆；又由得于是，故也可逆.由；又由.10利用逆矩陣解下列線性方程組（注：第一題的方程次序不同，但方程組是同一個(gè)方程，請注意用逆矩陣解法，不可以用消元法）:(1) (2) 解：(1)方程組矩陣表示形式為記方程組為：，則，又， 故，所以有 (2) 方程組矩陣表示形式為記方程組為：，則， 又，

5、故，從而有11設(shè)，求.（注：請注意矩陣的左乘與右乘的單邊性，不可搞亂）及 解:由可得，故又，故：12設(shè)a和x滿足，其中，求矩陣x解：由得 又由于，所以，故a+e是可逆矩陣。 從而有：=12（本題是第12題的類似題，請注意區(qū)別解法的不一樣，再次提醒注意矩陣左乘和右乘的區(qū)別，不可隨意左乘和右乘）設(shè)，且，求解：由得由于，于是，故可逆所以13設(shè)次多項(xiàng)式，其中，記，則為矩陣a的設(shè)次多項(xiàng)式。（1）若=0；證明矩陣a可逆，并求出；（2）設(shè)a=；證明：；=；解：（1）；有 = （2） a=； 有= 而 14設(shè)矩陣a的伴隨矩陣是，證明： （1）若 ； (2) .證明:(1)用反證法證明假設(shè)則有 又由于所以，這與

6、矛盾故當(dāng)時(shí)，有.(2)由于， 則，于是 若 則；若，則由(1)知，此時(shí)命題也成立.故有.15設(shè)矩陣a=，其中矩陣，證明矩陣a可逆的充要條件是：均可逆。并求a。證明：因?yàn)閍=，其中矩陣， 所以：，故。即矩陣a可逆的充要條件是：均可逆。 設(shè)x=，其中矩陣；且ax=e；則=解得： 即：a=。16設(shè)n階矩陣a及階矩陣b均可逆，求。解：因?yàn)椋涸O(shè)n階矩陣a及階矩陣b均可逆；所以：設(shè) x=，其中是方陣；是方陣；且 =e；即，顯然可?。?，故=17已知a，b為三階對稱矩陣，且滿足其中e為三階單位矩陣。證明：（1）矩陣a-2e可逆，并求出 （2）若矩陣，求矩陣a。證明：（1） 又 a可逆，二邊同時(shí)左乘a知： 可

7、逆，且 又a，b為三階對稱矩陣； ；而且又已知 即：。故 （2），e=，故8 ；故：8，說明：本題解題切記要用上對稱矩陣的概念和性質(zhì)，多余的結(jié)論不用證明，只做題目要求的內(nèi)容。如b可逆是不必要在此提出的。18設(shè)矩陣x滿足，其中；，求矩陣x解：； 4，所以代入上式得：；由于所以19設(shè)三階矩陣a，b滿足，其中e為三階單位矩陣，求|b|。 解：； ； 又=，所以是可逆矩陣；故20設(shè)a，b均為三階矩陣，e為三階單位矩陣，已知ab=2a+b；，求。解： ；所以可逆，且 習(xí)題三設(shè)=，=求，解：，。設(shè)，其中，求解：由把向量表示為向量組的線性組合： (1) ， ，；解：設(shè)(2) ，,，解：設(shè)設(shè)是互不相同的數(shù)，.

8、 證明：任一維行向量都可由向量組線性表示解：設(shè)為任意的維行向量，并設(shè)，由此得到一個(gè)以為未知量，個(gè)方程的線性方程組，其系數(shù)行列式為范德蒙行列式，且不等于0（因?yàn)槭腔ゲ幌嗤臄?shù)），由克萊姆法則知，該線性方程組有唯一解，故可由線性表示，且表示方法唯一。判斷下列向量組的線性相關(guān)性：(1) ，；解：設(shè)線性無關(guān)。(2) ，解：仿（1）。 證明：上三角矩陣的行向量組線性相關(guān)的充要條件是主對角線上的元素至少有一個(gè)為零解：矩陣的行向量線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組有非零解，而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式，故矩陣的行向量線性相關(guān)的充要條件是的主對角線上的元素至少有一為零。設(shè) ，證明向量組

9、線性相關(guān)解：要證明線性相關(guān)，就要找到不全為零的數(shù)，使得 上式的左端可寫成 令，由于其系數(shù)行列式故有非零解。即存在不全為零的數(shù)，使成立，亦即成立，所以，線性相關(guān)。設(shè)向量組線性無關(guān)證明：向量組,也線性無關(guān)證明：設(shè)，即， 因?yàn)榫€性無關(guān)，解得，故向量組,線性無關(guān)。判斷下列各命題是否正確：（1）若向量組是線性相關(guān)的，則向量可由向量組線性表示（錯(cuò)）（2）若向量不能由向量組線性表示，則向量組,線性無關(guān)（錯(cuò)）（3）若不全為0時(shí)，0，則向量組線性無關(guān)（錯(cuò)）（4）若向量組和向量組分別線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù),，使得，同時(shí)成立（錯(cuò)）利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組：（1）（行階梯形）的列向量組線

10、性無關(guān)，列向量組的極大無關(guān)組就是它本身。（2）（行階梯形）的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為（或者或者等等）求下列向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示：（1），；解：令矩陣（行最簡形）， 則向量組的秩，極大無關(guān)組可取為，而（2），設(shè)，（1）證明：向量組線性無關(guān)；（2）把向量組擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示解：（1）顯然的，的對應(yīng)分量不成比例，故線性無關(guān)。 （2）令矩陣（行最簡形）所以，列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為，而求下列矩陣的秩：（1）（行階梯形），于是（2）（3）（4）均仿（1）。-設(shè)是一維向量組，己知維單位向量組能由它們線性表示，證明線性無關(guān)證明

11、：因可由線性表示，依題意，這兩個(gè)向量組等價(jià)，等價(jià)的向量組的秩相同， 由線性無關(guān)。設(shè) ，證明：向量組與向量組有相同的秩證明：依題意有：， 其中矩陣的行列式，故可逆，上式兩邊右乘得： 即向量組可由向量組線性表示，于是這兩個(gè)向量組等價(jià)，故它們有相同的秩。第四章線性方程組1求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系（1）；（2）；（3）解： （1）記，則方程組可改寫成：；因?yàn)椋海ɑ闪薬的行最簡型）由知，r（a）=2，故方程組的自由未知量應(yīng)有二個(gè)：，分別令和，所解得的二個(gè)解即構(gòu)成原齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：，。（2）記，則方程組可改寫成：；因?yàn)椋海ɑ闪薬的行最簡型）由知，r（a）=3，故方程組的自由未知量應(yīng)

12、有1個(gè)：，令，解得一個(gè)解即是原齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：（3）記，則方程組可改寫成：；系數(shù)矩陣直接就是行最簡型矩陣，r（a）=1是顯然的，故自由未知量有四個(gè)：，分別令，所解得的四個(gè)解即構(gòu)成原齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系：，；2求解下列非齊次線性方程組:(1) (2) (3)（增加的） (4)（增加的） 解 (1)（注：只做行初等變換）得原方程的同解方程組為，亦即令自由未知量得方程組的解為 ().(2) （注：只做行初等變換）得原方程的同解方程組為，即令自由未知量得方程組的解為()(3) （注：只做行初等變換）,方程組無解 (4) （注：只做行初等變換）得原方程的同解方程組為，亦即令自由未知量得

13、方程組的解為().3 取何值時(shí)，非齊次線性方程組(1)無解；(2)有唯一解； (3)有無窮多個(gè)解，并求其解?解 ：增廣矩陣：因?yàn)樵鰪V矩陣作行初等變換后可得：b=所以有：（1）當(dāng)而時(shí)，即當(dāng)時(shí)有，這時(shí)，由知，方程組無解.（2）當(dāng)即當(dāng)且時(shí)，時(shí)有（滿秩），此時(shí)方程組有唯一解.（3）當(dāng)且時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有 這時(shí)候方程組有無窮多解。這時(shí)，（注：只進(jìn)行行初等變換） 分別令和易解出其對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：；再令=，即解得非齊次方程組的一個(gè)特解：，故方程組的通解是： ，其中可取任意實(shí)數(shù)。4求，使線性方程組（1）無解；（2）有解并求其解。解： 增廣矩陣b=（增廣矩陣的行最簡型） 由上述矩陣可知：當(dāng)時(shí)，r（

14、a）=2，而r=3，故r（a）<r,這時(shí)方程組無解。 而時(shí)，r（a）=2=r<3。所以方程組有解。這時(shí)候： b=易求出對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為：；而方程組本身的一個(gè)特解可取故方程組的解是： +；其中可取任意實(shí)數(shù)。5求，使齊次線性方程組有非零解，并求解。解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣，故（1）當(dāng)?shù)臅r(shí)候，有，故r（a）=2<3,方程組有非零解。其基礎(chǔ)解系為：；通解為：，其中任取。（2）當(dāng)?shù)臅r(shí)候， 這時(shí)候只要，即時(shí)，方程組有非零解，且其基礎(chǔ)解系為：，通解為：，其中任取。 6證明線性方程組有解的充分必要條件是：；在有解的情形下，求出他的一般解。解：因?yàn)?所以，r（a）=4，從而知方程組有解的

15、充分必要條件為r（a）=4= ，即：=0當(dāng)=0時(shí)，求得方程組對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是 ，方程組的一個(gè)特解為：，故方程組的通解為： +，其中任取。7證明：線性方程組對任何的都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式|a|。證明：“”，設(shè)線性方程組對任何的都有解，但；由于|a|=0，所以a的行向量組線性相關(guān)， 若記，則，是一個(gè)線性相關(guān)的向量組。故存在某行向量，可以用其余n-1個(gè)行向量線性表示。不妨設(shè)可以由，線性表示，即存在一組常數(shù)：，使得=， 對矩陣（a，）施行如下的行初等變換（a，），顯然當(dāng)上述矩陣的最后一行最后一個(gè)元素是非零，此行對應(yīng)的方程無解。這與線性方程組對任何的都有解相矛盾。故不可能成立。

16、故有“”設(shè)，則有克萊姆法則知，方程組有唯一解，故方程組有解。綜合上述題目獲證。8略9設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解，證明：也是它的解. 其中：為實(shí)數(shù)，滿足.證明：是非齊次線性方程組的個(gè)解.且，且是方程的解10是線性方程組的一組解，而是它的導(dǎo)出組（即對應(yīng)的齊次線性方程組）的一組基礎(chǔ)解系。令，。證明線性方程組的任一個(gè)解，都可以表成： ，其中： 證明：是線性方程組的一組解 對于方程組的任意一個(gè)解，都有-是導(dǎo)出組的一個(gè)解。 又 是導(dǎo)出組）的一組基礎(chǔ)解系。故存在一組常數(shù)： 使得 -= -= =+ = 令：； 則且 成立。故命題成立。11設(shè)；，證明如果線性方程組 的解全是方程組的解，則可由向量組線性表示。證明

17、：記（1）為，記（2）為。則a的行向量組是，而b的行向量組是，由于方程組的任意一解都滿足方程組，顯然也滿足方程組；反之，由于方程組包含方程組中的所有方程，故方程組的任意一解一定都滿足方程組。所以，方程組（1）和方程組（2）是同解方程。從而知其系數(shù)矩陣a和b的行向量組等價(jià)。故向量組，可由向量組線性表示。特別地，向量組，中的向量當(dāng)然可由向量組線性表示。證畢。 第五章1求下列矩陣的特征值和特征向量（部分類似）: (1)； (2)； (3).解：(1)（注：三個(gè)不同特征值的情形） 的特征值為對于特征值時(shí)，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量；對于特征值時(shí)，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，

18、向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量；對于特征值時(shí)，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量.(2) （注：特征值是三重根的情形） 的特征值為（三重根） 對于特征值，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量. (3) （注：二個(gè)特征值都是二重根的情形） 的特征值為，均為二重根對于特征值時(shí)，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量；對于特征值時(shí)，由于，故方程的基礎(chǔ)解系為，向量就是特征值為對應(yīng)的特征向量. 2設(shè)方陣與相似，求.解：由于方陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，即3設(shè)都是階方陣，且，證明與相似證明：可逆與相似4略。提示：用正交矩陣概念驗(yàn)算：即可。5試

19、通過施密特正交化過程把下列向量組進(jìn)行正交化（類似題）。 (1)；(2)解:(1) ，(2) ，6試求一個(gè)正交的相似變換矩陣，將下列對稱矩陣化為對角矩陣:(1)； (2)。解:(1)，矩陣的特征值為對特征值，解方程得基礎(chǔ)解系，將正交化、單位化后得兩個(gè)向量，；（注：重根特征值求出來的多個(gè)特征向量一般情況只是線性無關(guān)向量組，不保證正交性，故必須組內(nèi)進(jìn)行正交規(guī)范化，以滿足后邊求正交變換矩陣的要求）對特征值，解方程得基礎(chǔ)解系，將單位化得:得正交陣取，則為正交矩陣并使.（2）矩陣的特征值為對特征值，解方程得基礎(chǔ)解系，將單位化得；對特征值，解方程得基礎(chǔ)解系，將單位化得；對特征值，解方程得基礎(chǔ)解系，將單位化得

20、；取，則為正交矩陣并使.7設(shè)a、b為正交陣，證明下列矩陣為正交陣： （1）； （2）證明：（1）都是正交矩陣，所以：若記；則，所以c也是一個(gè)正交矩陣。 （2）記，則 所以d也是一個(gè)正交矩陣。8證明：正交矩陣的特征值的絕對值為1 證明：設(shè)是一個(gè)正交矩陣，是a的任一特征值。是與對應(yīng)的特征向量。a=成立。故有（a）=（ ） ，故，所以9略。10請參照例題選講中的例3完成此題。11已知是矩陣的一個(gè)特征向量（1）求參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值；（2）問能否相似對角化？并說明理由解 （1）設(shè)是特征向量所對應(yīng)的特征值，則 ，即 （2）由于，故的特征值為由于知，方程的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，因此不能相似對角化12設(shè)是階方陣，2，4，2n是矩陣a的n個(gè)特征值。e是n階單位陣。計(jì)算行列式：；解：記則的n個(gè)